2024河南中考数学专题复习 动点综合训练 课件

动点综合训练针对15题：与动点有关的几何图形的计算1.在边长为6的菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E是对角线BD上的点，且AE＝2OE，则BE的长为________．2.如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线AC上(E不与A，C重合)，连接DE，GF⊥DE于点E，交直线AB，BC于点F，G.若直线GF与直线AD相交于点H，当△AEH∽△ADE时，则∠ADE的度数为_____________．第2题图22.5°或112.5°3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4

，AD＝4，点P为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E.若△AEP是等腰三角形，则的值为__________．第3题图4.(2023郑州一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PD⊥

AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是______．第4题图5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，点P，Q分别是AC，AB上的动点，连接PQ，取PQ的中点E，连接DE，设AP＝x，则AQ＝2x.当DE与△ABC的直角边平行时，DQ的长为_____．第5题图6.如图，在△ABC中，AB＝BC，点O是AC的中点，点P是边AC上一动点(点P不与A，O，C重合)，连接BP.过点A，C分别作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF.当90°＜∠ABC＜180°时，若|AE－CF|＝2，EF＝2

，且△POF是等腰三角形，则线段OP的长为___________．第6题图

解题关键点需分两种情况讨论：①点P在线段OA上；②点P在线段OC上．针对23题：与动点有关的探究链接：微专题13特殊三角形的分类讨论；微专题14线段或直线上点位置不确定产生的分类讨论1.综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“中点”为主题展开讨论．如图①，在矩形ABCD中，点O是AB边的中点，点M是边DC上一动点，点P在线段AM上(不与点A重合)，且满足OP＝

AB，连接BP.(1)问题提出判断△ABP的形状，并说明理由；第1题图①第1题图①(1)解：△ABP是直角三角形，理由如下：∵点O是AB的中点，∴OA＝OB＝

AB.∵OP＝

AB，∴OP＝OA＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO.∵∠OAP＋∠APO＋∠OBP＋∠OPB＝180°，∴∠APO＋∠OPB＝90°，∴∠APB＝90°，∴△ABP是直角三角形；(2)类比探究如图②，当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N.求证：PN＝AN；第1题图②(2)证明：如图，延长AM，BC交于点Q.∵点M是DC的中点，∴DM＝CM.∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM，∴AD＝QC＝BC.Q由(1)可知∠BPQ＝∠APB＝90°，∴PC＝

BQ＝BC，∴∠CPB＝∠CBP.∵∠OPB＝∠OBP，∴∠OBC＝∠OPC＝90°，∴∠OPN＝∠OPA＋∠APN＝90°.∵∠OAP＋∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，∴∠APN＝∠PAN，∴PN＝AN；第1题图②Q(3)拓展应用在(2)的条件下，若AB＝5，AD＝4，作点N关于直线AM的对称点N′，连接AN′并延长交矩形的边所在的直线于点E，请直接写出CE的长．第1题图②【解法提示】分两种情况，如解图，连接PN′，①当AN′的延长线与BC所在的直线交于点E时，记为E1，由(2)知，PN＝AN.∵点N与点N′关于AP对称，∴PN＝PN′，AN＝AN′，∴AN＝AN′＝PN′＝PN，第1题解图∴四边形NPN′A为菱形，∴PN′∥AN∥CE1，NC∥AE1，∴四边形PCE1N′是平行四边形，∴CE1＝PN′＝AN.设CE1＝AN＝x，则DN＝4－x，由(2)知，CP＝BC＝4，PN＝AN＝x，∴在Rt△DNC中，由勾股定理得，(4－x)2＋52＝(4＋x)2，解得x＝

；第1题解图②当AN′的延长线与DC所在的直线交于点E时，记为E2.∵△ADE2∽△E1CE2，∴.设CE2＝y，∴

，解得y＝

.综上所述，CE的长为

或

.第1题解图

解题关键点需分两种情况讨论：①点E落在直线BC上；②点E落在直线DC上．2.(2022葫芦岛)在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E.(1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；第2题图①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∵AD＝BD，∴∠BDC＝∠C＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，【解法提示】如图，连接BP，∵点P为CD的中点，∴DP＝BP，∠CPB＝90°，∴∠CDB＝∠PBD＝45°，∴∠ADP＝90°＋45°＝135°，∠PBE＝180°－45°＝135°.∴∠ADP＝∠PBE，∵PA⊥PE，∴∠APE＝∠DPB＝90°，∴∠APD＝∠EPB，∴△ADP≌△EBP(ASA)，∴PA＝PE.第2题图①(1)解：PA＝PE；(2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA＋

DP＝DE；第2题图②(2)证明：如图，过点P作PF⊥CD交DE于点F，∵PF⊥CD，EP⊥AP，∴∠DPF＝∠APE＝90°，∴∠DPA＝∠FPE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，又∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，∟F∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∴∠PFD＝45°，∴∠PFD＝∠PDF，∴PD＝PF，∴∠PDA＝∠PFE＝135°，∴△ADP≌△EFP(ASA)，∴AD＝EF，在Rt△FDP中，∠PDF＝45°，∵cos∠PDF＝

，∴DF＝

＝

DP，∵DE＝DF＋EF，∴DA＋

DP＝DE；第2题图②∟F(3)点P在射线CD上运动，若AD＝3，AP＝5，请直接写出线段BE的长．第2题图②∟G【解法提示】分两种情况：①当点P在线段CD上时，如图，作AG⊥CD交CD延长线于G，则△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝3，∵AP＝5，∴GP＝4，∴PD＝1，由(2)得，DA＋

DP＝DE，∴3

＋

＝DE，∴DE＝4

，∴BE＝DE－BD＝4

－3

＝

；②当点P在CD的延长线上时，如解图，作AG⊥CD，交CD延长线于G，过P作PF⊥CD交DE于点F，同理可得△ADP≌△EFP，∴AD＝EF，∵PD＝PG＋DG＝4＋3＝7，∴DF＝

PD＝7

，∴BE＝BD＋DF－EF＝DF＝7

，综上所述，BE的长为

或7

.第2题解图(3)解：BE的长为

或7.

解题关键点需分两种情况讨论：①点P在线段CD上；②点P在线段CD的延长线上．3.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰Rt△CDE，点H是BD的中点，连接EH.【问题发现】(1)如图①，当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是________，EH与AD的位置关系是________；第3题图①【解法提示】∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，∵∠DCE＝45°，∴点E在线段CB上，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠B＝45°，∵DH＝HB，∴EH⊥DB，EH＝

DB＝

AD.∴EH＝

AD，EH⊥AD.第3题图①解：(1)EH＝

AD，EH⊥AD；【猜想论证】(2)如图②，当点D在边AB上且不是AB的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图②中的情况给出证明；若不成立，请说明理由；第3题图②(2)结论仍然成立．证明如下：如图，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF，BF.∵DE＝EF，CE⊥DF，∴CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD＝45°，F∵DE＝EF，CE⊥DF，∴CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD＝45°，∴∠ECF＝∠ECD＝45°，∴∠ACB＝∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠BCF，∵CA＝CB，∴△ACD≌△BCF(SAS)，∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，第3题图②F∵∠ABC＝45°，∴∠ABF＝90°，∴BF⊥AB，∵DE＝EF，DH＝HB，∴EH是△DBF的中位线，∴EH＝

BF，EH∥BF，∴EH＝

AD，EH⊥AD，即(1)中的结论仍然成立；第3题图②F【拓展应用】(3)若AC＝BC＝2

，其他条件不变，连接AE，BE.当△BCE是等边三角形时，请直接写出AD的长．第3题图②第3题解图②【解法提示】分两种情况：①如解图②，当△BCE是等边三角形时，∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝2

，∴∠CAE＝∠CEA＝75°，∵∠CAB＝45°，∴∠EAH＝30°，∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，∴∠DEB＝150°，∴∠EDB＝∠EBD＝15°，∵∠EAH＝∠ADE＋∠AED，∴∠ADE＝∠AED＝15°，∴AD＝AE，设EH＝x，则AD＝AE＝2x，AH＝

x，∵EH2＋DH2＝DE2，∴x2＋(2x＋

x)2＝8，∴x＝

－1(负值已舍)，∴AD＝2

－2；第3题解图②②如解图③，当△BCE是等边三角形时，同理可得AD＝2

＋2.综上所述，AD的长为2

－2或2

＋2.第3题解图③

解题关键点需分两种情况讨论：①点E在BC上方；②点E在BC下方．4.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别是直线AB，AC上的动点，且∠EDF＝∠BAD，连接EF(点E在点F的左侧)．(1)【发现问题】如图①，当点F和点O重合时，

＝__________；如图②，当点E与点B重合时，

＝__________；第4题图①第4题图②【解法提示】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC＝

∠BAD，∠DAC＝∠DCA，∵∠EDF＝

∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC＝∠DAC.∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AD＝5，第4题图①第4题图②①当点F和点O重合时，∵∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠EDB＋∠ABO＝90°，∴∠DEB＝90°，∵OD＝OB，BD＝6，∴OE＝OD＝

BD＝3，∴∠FDE＝∠FED，∵∠DAC＝∠DCA＝∠FDE，∴△DEF∽△ACD，∴，即

；第4题图①②当点E和点B重合时，由菱形的对称性可得，DF＝EF，∴∠FDE＝∠FED，同①可证△DEF∽△ACD，∴ ，即

.第4题图②(2)【猜想验证】如图③，根据(1)中的结论，当点E为直线AB上任意一点时，猜想的值是否为定值？若是定值，就图③的情况进行证明；若不是定值，请说明理由；第4题图③(2)的值为定值

；证明如下：如图，在OC上取点H，连接BH，DH，H使得∠BDH＝∠EDF，则∠EDB＝∠FDH，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC＝∠ACD＝

∠BAD，DH＝BH，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AD＝5，∵∠EDF＝

∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC＝∠BDH＝∠DAC＝∠ACD，∵∠AOB＝∠DOH，∴∠ABO＝∠DHO，即∠EBD＝∠FHD，第4题图③H∵∠EDB＝∠FDH，∴△EDB∽△FDH，∴，∵DH＝BH，∴∠BDH＝∠DBH，又∵∠BDH＝∠EDF＝∠DAC＝∠ACD，∴△DBH∽△ACD，∴，即

，∴ ；第4题图③H(3)【拓展应用】若DF的长为

，直接写出BE的长．第4题图③【解法提示】①在OC上取点H，连接BH，DH，H使得∠BDH＝∠EDF，如图，当点F在线段OC上时，∵∠DOH＝∠AOB＝90°，∠BDH＝∠EDF＝∠BAD，∴△ODH∽△OAB，∴，即

，∴OH＝

，DH＝

，在Rt△DOF中，∵DF＝

，OD＝3，∴OF＝

，∴HF＝

－

＝1,由(2)可知，△EDB∽△FDH，∴

，即

，∴BE＝

；第4题图③H第4题解图②如解图，当点F在线段OA上时，依旧可得，OH＝

，DH＝

，OF＝

，∴FH＝

＋

＝

，由△EDB∽△FDH，得

，即

，∴BE＝

.综上所述，BE的长度为

或

.(3)BE的长为

或

.

解题关键点需分两种情况讨论：①点F在线段OC上；②点F在线段OA上．5.中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾.2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间一个小正方形，巧妙地证明了勾股定理．问题发现(1)如图①，若直角三角形的直角边BC＝3，斜边AB＝5，则中间小正方形的边长CD＝________，连接BD，△ABD的面积为________；第5题图①【解法提示】如图，连接BD，第5题图①解：(1)1，

；∵BC＝3，AB＝5，AC⊥BC，∴AC＝

＝4，∵图中4个直角三角形全等，∴AD＝BC＝3，∴CD＝AC－AD＝1，∴S△ABD＝

×AD·BC＝

×3×3＝

.知识迁移(2)如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC＝90°，BP＝

时，△PAB的面积为__；第5题图②【解法提示】如解图②，将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△CBP′，AB与CB重合，连接PP′，∵∠PBP′＝∠BPC＝90°，∴BP′∥PC，∴S△ABP＝S△BP′C＝S△PBP′，∵BP′＝BP＝

，∴S△BP′C＝

BP′·BP＝

＝5，即△PAB的面积为5.第5题解图②5拓展延伸如图③，已知∠MBN＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线BM，BN于A，C两点．(3)已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，在CE上取一点F，使EF＝BE，过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由；第5题图③(3)BE＝DE＋GF.理由：如图，过点G作GH⊥BE于点H，∵BE⊥CD，GF⊥CD，∴∠BHG＝∠EHG＝∠HEF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形，∴EH＝GF，EF＝GH，∵EF＝BE，∴GH＝BE，∵∠MBN＝90°，∴∠DBE＋∠GBE＝90°，第5题图③∟H∵∠BGH＋∠GBE＝90°，∴∠BGH＝∠DBE，∵∠BHG＝∠DEB＝90°，∴△GBH≌△BDE(ASA)，∴BH＝DE，∵BE＝BH＋EH，∴BE＝DE＋GF