2024河南中考数学专题复习 全等、相似三角形的性质与判定 课件

一题串讲重难点21考点精讲全等、相似三角形的性质与判定

课标要求1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；2.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；3.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；4.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；5.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．命题点1全等三角形的性质与判定(9年13考)

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值考查内容判定方法202314填空题3已知三角形的三边相等SSS202318解答题9已知三角形的两边及其夹角相等SAS202223(2)(3)解答题7已知直角三角形的一条直角边与斜边相等HL202123(1)(2)解答题7已知直角三角形的一条直角边与斜边相等，三角形的三条边相等HL，SAS202020解答题9已知三角形的两边及其夹角相等SAS202022(1)②解答题2已知三角形的一条边和一个角相等，需证明另一个角或另一条边相等AAS/ASA201917(1)解答题5已知三角形的一个角相等，需证明一条边及另一个角相等ASA考情分析年份题号题型分值考查内容判定方法201922(1)解答题3已知三角形的两条边相等，需证明夹角相等SAS201822(1)解答题2已知三角形的两条边相等，需证明夹角相等SAS201718(1)解答题5已知三角形的一条边相等，需证明另两个角相等AAS201722(1)(2)解答题7已知三角形的两条边相等，需证明夹角相等SAS201622解答题10已知三角形的两条边相等，需证明夹角相等SAS201517(1)解答题5已知三角形的一条边相等，需证明另外一条边和夹角相等SAS【考情总结】1.除2015和2023年外，每年都会在压轴题涉及考查；2.其中2017，2019，2020，2023年每年涉及2道题考查全等三角形的证明与性质．

课标要求1.通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比；2.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；3.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．*了解相似三角形判定定理的证明；4.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；5.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．命题点2相似三角形的性质与判定(9年9考)

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值考查内容202314填空题3已知三角形的一组角相等，需证明另一组角相等202320解答题9已知三角形的一组角相等，需证明另一组角相等202222(2)解答题5已知三角形的一组角相等，需证明另一组角相等20219选择题3已知三角形的一组角相等，需证明另一组角相等202023(1)(2)①解答题7需证明三角形的两组边对应成比例和夹角相等201922(2)解答题4需证明三角形的两组边对应成比例和夹角相等201822(2)(3)解答题8需证明三角形的两组边对应成比例和夹角相等201723(2)①解答题5相似三角形的性质，涉及分类讨论思想201522(1)(2)解答题8已知三角形的夹角相等，需证明两组边对应成比例【考情总结】1.仅2016年未考查，2021年在选择题考查，2023年在填空题考查，其他年份均在解答题考查；2.除2016，2021，2023年，其余年份每年都会在压轴题涉及考查相似三角形的判定与性质；3.三边对应成比例，暂时未考．全等、相似三角形的性质与判定性质边中位线角平分线周长中线角高线面积两角一边两边一角三边直角三角形判定全等判定思路已知两边已知两角已知一边和一角考点精讲性质对应关系全等三角形相似三角形示意图

角对应相等对应相等,,AD，A′D′为高线；AE，A′E′为角平分线；AF，A′F′为中线边对应相等对应成比例中位线对应相等对应成比例，且等于相似比即中线高线角平分线周长相等周长比等于相似比面积相等面积比等于相似比的平方判定已知条件示意图三角形全等三角形相似两角一边两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)(基本事实)两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)两边一角两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)(基本事实)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定已知条件示意图三角形全等三角形相似三边三边分别相等的两个三角形全等(SSS)(基本事实)三边成比例的两个三角形相似直角三角形一条直角边与斜边分别相等的两个直角三角形全等(HL)一条直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似(使用时需证明)全等判定思路1.已知两边找夹角→SAS找直角→HL或SAS找第三边→SSS2.已知一边和一角边为角的对边→找另一角→AAS边为角的邻边找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS3.已知两角找夹边→ASA找其中一角的对边→AAS一题串讲重难点全等模型分析平移型旋转型对称型有公共边有公共顶点解题思路(1)找等边：公共边、中点、等底角、相等边、通过线段和差关系得对应边相等；(2)找等角：公共角、对顶角、垂直找直角、等腰得等角、平行线的性质得等角等.全等三角形的简单模型例1如图，已知△ABC和△DEF，且点B，E，C，F在同一直线上．AC交DE于点H，已知∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.(1)请找出图中的相似三角形并说明依据；例1题图一题多解法解：(1)△ABC∽△HEC；依据：两角分别相等的两个三角形相似；△EHC∽△EDF；依据：两角分别相等的两个三角形相似；△ABC∽△DEF，依据：两角分别相等的两个三角形相似；(2)请添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，并写出证明过程及依据．例1题图(2)方法一：添加条件BC＝EF，在△ABC和△DEF中，

，∴△ABC≌△DEF(ASA)，依据：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；方法二：添加条件AB＝DE，在△ABC和△DEF中，

，∴△ABC≌△DEF(AAS)，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；例1题图方法三：添加条件AC＝DF，在△ABC和△DEF中，

，∴△ABC≌△DEF(AAS)，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．(答案不唯一，选一种即可)例1题图变式1

改变△DEF放置方式

如图，如果将△ABC和△DEF如图放置．一题多解法(1)已知

，请添加一个条件，使得△ABC∽△EDF，并选择一个写出证明过程及依据；变式1题图解：(1)方法一：添加条件∠A＝∠FED，∵＝

，∠A＝∠FED，∴△ABC∽△EDF，依据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；方法二：添加条件

＝

，∵＝

＝

，∴△ABC∽△EDF，依据：三边成比例的两个三角形相似；(答案不唯一，选一种即可)变式1题图(2)已知AB＝DE，AC＝EF(即＝1)，请添加一个条件，使得△ABC≌△EDF，并写出证明过程及依据．变式1题图(2)方法一：添加条件∠A＝∠FED，∵∠A＝∠FED，在△ABC和△EDF中，

，∴△ABC≌△EDF(SAS)，依据：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；方法二：添加条件BC＝DF，∵BC＝DF，在△ABC和△EDF中，

，∴△ABC≌△EDF(SSS)，依据：三边分别相等的两个三角形全等．(答案不唯一，选一种即可)变式1题图相似模型分析A字型8字型解题思路(1)找等角：找同侧(或异侧)的一组角相等、有平行线的截线用平行线的性质找等角；(2)找对应边：有等角，找等角的两边对应成比例．相似三角形的简单模型例2如图，已知△ABC和△ADE，且点B，A，D在同一直线上，点C，A，E在同一直线上，若∠BAC＝∠DAE＝90°.(1)请添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，并选择一个写出证明过程及依据；一题多解法例2题图解：(1)方法一：添加条件∠B＝∠D，∵∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，依据：两角分别相等的两个三角形相似；方法二：添加条件∠C＝∠E，∵∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，依据：两角分别相等的两个三角形相似；例2题图方法三：添加条件

＝

，∵

＝

，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，依据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(答案不唯一，选一种即可)(2)已知AB＝AD，请添加一个条件，使得△ABC≌△ADE，并写出证明过程及依据．例2题图(2)方法一：添加条件AC＝AE，在△ABC和△ADE中，

，∴△ABC≌△ADE(SAS)，依据：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；

一题多解法思路点拨：解法二：添加条件∠B＝∠D，依据：ASA；解法三：添加条件∠C＝∠E，依据：AAS；解法四：添加条件BC＝DE，依据：HL.方法二：添加条件∠B＝∠D，在△ABC和△ADE中，

，∴△ABC≌△ADE(ASA)，依据：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；例2题图方法三：添加条件∠C＝∠E，在△ABC和△ADE中，

，∴△ABC≌△ADE(AAS)，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；例2题图例2题图方法四：添加条件BC＝DE，在Rt△ABC和Rt△ADE中，

，∴△ABC≌△ADE(HL)，依据：一条直角边与斜边分别相等的两个直角三角形全等．(答案不唯一，选一种即可)例3如图，在△ABC中，点D是AB上的点，点E是AC上的点，连接CD与BE交于点F.(1)请添加一个条件，使得△BFD∽△CFE，并选择一个写出证明过程及依据；一题多解法例3题图解：(1)方法一：添加条件∠BDF＝∠CEF，∵∠BDF＝∠CEF，∠BFD＝∠CFE，∴△BFD∽△CFE，依据：两角分别相等的两个三角形相似；方法二：添加条件∠DBF＝∠ECF，∵∠DBF＝∠ECF，∠BFD＝∠CFE，∴△BFD∽△CFE，依据：两角分别相等的两个三角形相似；例3题图方法三：添加条件

＝