2024河南中考数学专题复习 微专题12 构造直角三角形解决根号2、根号3倍的线段数量关系 课件

微专题12构造直角三角形解决

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倍的线段数量关系一、解决

倍的线段数量关系一阶

方法训练1.已知线段AB与射线AM交于点A，且夹角是45°.(1)如图①，请在射线AM上找到一点C，使得AC＝

；第1题图①解：(1)作图如图，过点B作AB的垂线，交射线AM于点C，此时AC＝

；C∟(2)如图②，请在射线AM上找到一点D，使得AD＝

.第1题图②D

(2)作图如图，

过点B作射线AM的垂线，交射线AM于点D，此时AD＝

.∟辅助线作法：①不含分式时，

在谁那里，谁就是直角边；②含分式时，分式在谁那里，谁就是斜边，要找的点就是直角顶点．满分技法

2.已知线段AB与射线AM交于点A，且夹角是30°.(1)如图①，请在射线AM上找到一点C，使得BC＝

；第2题图①

解：(1)作图如图，过点B作射线AM的垂线，交射线AM于点C，此时BC＝

；C二、解决

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倍的线段数量关系∟(2)如图②，请在射线AM上找到一点D，使得BD＝

.第2题图②D(2)作图如图，过点B作AB的垂线，交射线AM于点D，此时BD＝

.∟辅助线作法：①在谁那里，谁就是斜边，要找的点就是直角顶点；②在谁那里，谁就是长直角边，等号两边相同的字母就是直角顶点．满分技法∵AB＝BC，∠A＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠B＝90°，∠C＝∠A＝45°，∴∠DEB＋∠FEG＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°，∴∠FEG＝∠BDE，二阶

方法拓展1.如图，在△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，若∠A＝45°，试猜想CF与BE之间的数量关系，并说明理由．一题多解法第1题图解法一：解：CF＝

.理由如下：如图，过点F作FG⊥BC于点G，G∟在△FEG和△EDB中，∠FGE＝∠B∠FEG＝∠EDB,EF＝DE∴△FEG≌△EDB(AAS)，∴FG＝EB，在Rt△FGC中，∠FGC＝90°，∠C＝45°，∴CF＝

FG，∴CF＝

BE.第1题图G∟解法二：解：CF＝

.理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向下作等腰Rt△BEG.G第1题图∵AB＝BC，∠A＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠ABC＝90°，∠C＝∠A＝45°，∴∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠EDG＝90°，∴∠FEC＝∠EDG.∵△BEG是等腰直角三角形，∴∠G＝45°＝∠C，GE＝

，∠EBG＝∠ABC＝90°，∴D、B、G三点共线．在△DEG和△EFC中，∠EDG＝∠FEC∠G＝∠C,DE＝EF∴△DEG≌△EFC(AAS)，∴CF＝GE＝

.G第1题图解法三：解：CF＝

.理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向上作等腰Rt△BEG，同时以点F为直角顶点，FC为直角边向下作等腰Rt△CFH.第1题图GH∵AB＝BC，∠A＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠B＝90°，∠C＝∠A＝45°，∴∠DEB＋∠FEH＝90°，∠DEB＋∠EDG＝90°，∴∠FEH＝∠EDG.∵△BEG和△CFH都是等腰直角三角形，∴∠BGE＝∠CHF＝45°，EG＝

，FH＝CF，∴∠DGE＝∠EHF＝135°.在△DEG和△EFH中，∠DGE＝∠EHF∠EDG＝∠FEH,DE＝EF∴△DEG≌△EFH(AAS)，∴EG＝FH，∴CF＝EG＝

.GH第1题图变式题

将等腰直角三角形变为含30°的直角三角形如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝90°，若∠A＝30°，试猜想CF与BE之间的数量关系，并说明理由．一题多解法变式题图解法一：解：BE＝

.理由如下：如图，过点F作FG⊥BC于点G，∵∠A＝30°，∴∠C＝90°－∠A＝60°，∴在Rt△FGC中，FG＝

.∟G∵∠DEF＝∠B＝90°＝∠FGE，∴∠DEB＋∠FEG＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，∴∠FEG＝∠EDB，在△FEG和△EDB中，∠FGE＝∠B∠FEG＝∠EDB,EF＝DE∴△FEG≌△EDB(AAS)，∴FG＝BE，∴BE＝

.变式题图∟G解法二：解：BE＝

.G理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向下作含30°的Rt△BEG，令∠G＝60°，∵∠A＝30°，∠DEF＝∠ABC＝90°，∴∠G＝∠C＝60°，∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠EDG＝90°，BE＝

，∴∠FEC＝∠EDG，变式题图在△DEG和△EFC中，

∴△DEG≌△EFC(AAS)，∴CF＝GE，∴BE＝

.∠EDG＝∠FEC∠G＝∠C,DE＝EFG变式题图GH解法三：解：BE＝

.理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向上作含30°的Rt△BEG，且∠BGE＝60°，同时以点F为顶点，CF为边向下作等边三角形CFH，∵∠ACB＝60°，故可知点H恰好在边BC上，∵∠A＝30°，∠DEF＝∠B＝90°，∴∠BGE＝∠C＝∠FHC＝60°，∠DEB＋∠FEH＝90°，∠DEB＋∠EDG＝90°，BE＝

，FH＝CF，∴∠FEH＝∠EDG，∠DGE＝∠EHF＝120°，变式题图在△DEG和△EFH中，∴△DEG≌△EFH(AAS)，∴EG＝FH，∴CF＝EG，∴BE＝

.∠EDG＝∠FEH∠DGE＝∠EHF,DE＝EFGH变式题图2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，AF和DE相交于点P，连接BP，CP.(1)试猜想AF与DE的数量关系和位置关系，请说明理由；第2题图(1)解：AF＝DE，AF⊥DE.理由如下：∵正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADF＝∠DCE＝90°，DF＝CE，易证△ADF≌△DCE(SAS)，∴∠DAF＝∠CDE，AF＝DE，∵∠CDE＋∠ADP＝∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠DAF＝90°，∴∠APD＝90°，∴AF⊥DE；第2题图(2)若BP＝4，求正方形的边长；第2题图(2)解：如图，设H是AD的中点，连接BH交AF于点K，HK∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，∴HD∥BE，HD＝BE，∴四边形BEDH是平行四边形，∴HK∥DE，∵AF⊥DE，∴∠AKB＝∠APE＝90°，∵H是AD的中点，∴K是AP的中点，∴AB＝BP＝4，即正方形的边长为4；(3)求证：PE＋PF＝

.第2题图(3)证明：如图，延长DE到点N，使EN＝PF，连接CN，N由(1)得△ADF≌△DCE，∴∠AFD＝∠DEC，∴∠CEN＝∠CFP，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴CE＝CF，易证△CEN≌△CFP(SAS)，∴PC＝NC，∠PCF＝∠NCE，∴∠PCN＝∠DCB＝90°，∴△PCN是等腰直角三角形，∴PN＝

，∵PN＝PE＋EN＝PE＋PF，∴PE＋PF＝

.第2题图N

一题多解法思路点拨：第2(