微分方程建模(溶液浓度)

数学建模系列讲座之微分方程建模微分方程的应用

描述实际对象的某些性质随变量(时间或空间)的演变过程.

分析演变过程的规律.预测未来性态.微分方程建模的一般方法实际对象简化假设发现规律列出方程求解结果解释预测[例1]细菌的繁殖模型细菌的增长率与总数成正比.如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400,那么,培养到12h时的总数时多少?[解]瞬间都成立的事实，找到规律,列出微分方程:解得:找到题目中的特定瞬间信息:设y(t)表示t时刻细菌的总数，由题目告诉的任何几个简单的动态模型设一容器内原有100L盐溶液,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水.求容器内盐量变化的数学模型.

[例2]混合溶液的数学模型

[解]容器内盐的改变量=注入的盐水中所含盐量-抽出的盐水中所含盐量

容器内盐的改变量为dx注入的盐水中所含盐量为0.01

3dt

抽出的盐水中所含盐量为

列出微分方程:

方程的解为:设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量V1注入质量浓度为C1的溶液(指同一种类溶液,只是质量浓度不同),假定溶液立即被搅匀,并以V2的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.

一般的混合问题该模型还适用于讨论气体的混合以上两个简单例子的启示:关键是建立一个yˊ

、y、t

的方程.应注意题目的这些词:改变/变化/增加/减少

可以表示为导数的最常见的量:

速率

增长(生物学/人口问题)

衰减(放射性/污染物的净化)

“边际的”(经济学)根据规律列方程微元分析法模拟近似法利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。如何建立微分方程?微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法：求精确解；求数值解（近似解）；定性理论方法。[例3]市场价格模型

对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.

试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.

[解]

假设在某一时刻t,商品的价格为p(t),它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.

对于新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程.

假设价格p(t)

随时间t的变化率与需求和供给之差成正比,并记f(p)

为需求函数,g(p)

为供给函数.有：

假设需求函数

假设供给函数

则微分方程为：

式中,k,a,b,c,d

均为正常数.

其解为:结果讨论(1)设静态均衡价格为,则其应满足:这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.即于是得

则价格函数可写为:取极限得

结果讨论当时,,p(t)单调下降向靠拢.当时,,p(t)单调增加向靠拢.这说明:初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格.否则,动态价格就要逐步升高.

在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？[例4]古尸年代鉴定问题

年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，这意味着在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少。背景设t为死后年数，年代测定的修订：

1966年，耶鲁实验室的Minze

Stuiver和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的HansE.Suess在一份报告中指出：在2500到10000年前这段时间中测得的结果有差异，其根本原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差的峰值发生在大约6000年以前。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据碳测定出的2300年到6000年前这期间的年代：

真正的年代＝第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。

Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。[例5]范.梅格伦（VanMeegren)伪造名画案

为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。

但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为，

Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。原理著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：

物质的放射性正比于现存物质的原子数。设时刻的原子数为，则有为物质的衰变常数。初始条件半衰期碳-14铀-238镭-226铅-210能测出或算出，只要知道就可算出这正是问题的难处，下面是间接确定的方法。年代。油画中的放射性物质白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时，Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。铀238镭226铅210钋210铅206（放射性）（无放射性）假设（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用表示。（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。建模设时刻每克白铅中含铅210的数量为，为制造时刻每克白铅中含铅210的数量。为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量求解均可测出。可算出白铅中铅的衰变率，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。矿石中铀的最大含量可能2~3%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿石中含铀量超过4%。测定结果与分析画名钋210衰变原子数镭226衰变原子数Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.0若第一幅画是真品，铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。[例6]人口预测模型

影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素.

如果一开始就把所有因素都考虑进去,则无从下手.

因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.

英国人口统计学家Malthus于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的Malthus人口模型.

Malthus的基本假设是:在人口自然增长过程中,净相对增长(出生率与死亡率之差)是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r.

在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.

Malthus人口模型[解]设时刻t

的人口为N(t),把N(t)当作连续可微函数处理(因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理).根据Malthus的假设可得:其解为:此式表明人口以指数规律随时间无限增长!

Malthus人口模型检验

据统计1961年地球上的人口总数N0为3.06

109,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长.于是有:

上式非常准确地反映了在1700~1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍.

按此模型计算,到2670年,地球上将有36000亿人口.这是非常荒谬的结论.因此,这一模型应该修改.

Logistic模型

地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.

如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.

因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.

Verhulst

假设

1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数Nm,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数.假定净增长率随着N(t)的增加而减小,即假设净增长率等于:

当时,净增长率趋于零.由Verhulst

假定,Malthus模型应改为:

其解为:

Logistic模型模型分析模型分析即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值Nm.说明N(t)

是时间t

的单调递增函数.说明在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期.(4)用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计r=2.9%,又当人口总数为3.06

109时,人口每年以2%的速率增长,由Logistic模型得:即即世界人口总数极限值近100亿.用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合.但从1930年以后,误差愈来愈大.其原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见,该模型的缺点之一是Nm不易确定.事实上,一个国家经济越发达,它所拥有的食物就越丰富,Nm的值也就越大.(4)(5)关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,Logistic模型有着广泛的应用.

问题

描述传染病的传播过程

分析受感染人数的变化规律

预报传染病高潮到来的时刻

预防传染病蔓延的手段

按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型[例6]传染病模型

已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为

模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为

2）每个病人每天有效接触人数为

,且使接触的健康人致病建模

~日接触率SI模型模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻

(日接触率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt

最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为

~日治愈率建模

~日接触率1/

~感染期

~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3i0i0接触数

=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01

>10ti

>11-1/

i0t

1di/dt

<0模型4传染病