北师大版初中九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第2课时相似三角形的判定定理2课件

第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第2课时相似三角形的判定定理2基础过关全练知识点3相似三角形的判定定理21.(教材变式·P92随堂练习)(2023山东济南市中期中)如图,已

知△ABC,则下列4个三角形中,与△ABC相似的是

(

)

D解析由题图可知AB=AC=6,∠B=75°,∴∠C=75°,∴∠A=30°,根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可知D

中三角形与△ABC相似.2.(易错题)(教材变式·P93T3)(2024河北石家庄长安期末)如图,已知∠1=∠2,点D在BC上,添加下列条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是

(

)

A.∠B=∠ADE

B.∠2=∠EDCC.

=

D.

=

D易错警示

有两边成比例和一角相等的时候,一定要注意相等的角是不是成比例的两边的夹角.解析A.∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE,

又∠B=∠ADE,∴△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意;B.∵∠2=∠EDC,∠AFE=∠DFC,∴∠E=∠C,又∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意;C.∵∠BAC=∠DAE,

=

,∴△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意;D.∠BAC=∠DAE,

=

,∠BAC不是AB,BC的夹角,∠DAE不是AD,DE的夹角,∴不能推出△ABC∽△ADE,故本选项符

合题意.故选D.3.(2024河南邓州期末)如图,比例规是伽利略发明的一种画

图工具,使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.它是由

长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.如果把比例规的两脚

合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD,OB=3

OC),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段l的两个端点

上,若量得CD的长度,便可知AB的长度.本题依据的主要数学

原理是

(

)

CA.各角分别相等,各边成比例的两个多边形相似B.两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等C.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似D.平行线分线段成比例解析

∵OA=3OD,OB=3OC,∴OA∶OD=OB∶OC=3∶1,∵∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△DOC.故选C.4.(2024云南文山期末)如图,在△ABC中,点D、E分别在边

AC、AB上,且AD·AC=AE·AB.求证:△ADE∽△ABC.

证明∵AD·AC=AE·AB,∴

=

,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.5.如图,在△ABC中,D、E分别是AC、BC边上的点,BC=6,AC

=4,CE=2,AD=1.求证:△ABC∽△EDC.

证明∵AC=4,AD=1,∴CD=AC-AD=4-1=3,又∵BC=6,CE=2,∴

=

=2,

=

=2,∴

=

,又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△EDC.6.如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD

的中点,求证:△ADQ∽△QCP.

证明设正方形的边长为4a,则AD=CD=BC=4a.∵Q是CD的

中点,BP=3PC,BC=BP+PC,∴DQ=CQ=2a,PC=a.∴

=

=2.又∵∠D=∠C=90°,∴△ADQ∽△QCP.能力提升全练7.(新考法)(2024安徽亳州利辛期末,8,★★☆)如图,在三角形纸片ABC中,AB=6,BC=8,AC=4.选项中沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是

(

)

B解析在三角形纸片ABC中,AB=6,BC=8,AC=4.A.∵∠B=∠B,

=

=

,

=1,

≠1,∴沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似,故此选项错误;B.∵

=

,

=

,∴

=

,又∵∠C=∠C,∴沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似,故此选项正确;C.∵∠A=∠A,

=

,

=

=

,

≠

,∴沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似,故此选项错误;D.∵∠B=∠B,

=

=

,

=

,

≠

,∴沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似,故此选项错误.故选B.8.(2024河南原阳期中,13,★★☆)如图,在△ABC中,D为BC上

一点,BC=

AB=3BD,则AD∶AC的值为

.

解析∵BC=

AB=3BD,∴

=

=

,∵∠B=∠B,∴△ABC∽△DBA,∴

=

=

,∴AD∶AC=

=

.9.(分类讨论思想)(2023四川绵阳中学月考,16,★★☆)如图,

平面直角坐标系xOy中,已知点A(4,0)和点B(0,3),C是AB的中

点,点P在x轴上,若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相

似,那么点P的坐标是

.

(2,0)或

解析∵点A(4,0)和点B(0,3),∴OA=4,OB=3,∴AB=5,∵C是

AB的中点,∴AC=2.5.设P(x,0),由题意可知点P在点A的左侧,∴AP=4-x,∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似,∴有

两种情况.当△APC∽△AOB时,

=

,即

=

,解得x=2,∴P(2,0);当△ACP∽△AOB时,

=

,即

=

,解得x=

,∴P

.综上可知,点P的坐标为(2,0)或

.10.(2024河南许昌二中月考,13,★★☆)如图,在正方形网格中,∠1+∠2+∠3=

度.90解析令BC=1,易知AB=

,BD=2,∴

=

=

,

=

,∴

=

,又∠ABD=∠CBA,∴△ABC∽△DBA,∴∠BAC=∠3,∴∠2+∠3=∠2+∠BAC=∠1=45°,∴∠1+∠2+∠3=90°.故答

案为90.11.(2024湖南岳阳期末改编,22,★★☆)如图,△ADE与△ABC

有公共顶点A,△ADE∽△ABC.图中可以用字母表示的三角

形中,是否有其他的相似三角形?如果有,请说明理由.

解析有,△ABD∽△ACE.理由:∵△ADE∽△ABC,∴∠BAC=∠DAE,

=

,∴

=

,∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.12.(2024江苏南京鼓楼期末,21,★★☆)如图,BD,CE是△ABC

的两条高,它们相交于点F,连接DE.(1)求证:△ADE∽△ABC.(2)下列结论中,所有正确结论的序号是

.①△ABD∽△ACE;②△EBF∽△DCF;③△BEC∽△CDB;④△DEF∽△CBF.

解析

(1)证明:∵BD,CE是△ABC的高,∴∠AEC=∠ADB=90°,∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE,∴

=

,∴

=

,又∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.(2)∵∠AEC=∠ADB=90°,∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE.∵∠BEF=∠CDF=90°,∠BFE=∠CFD,∴△EBF∽△DCF.在△BEC与△CDB中只有∠BEC=∠CDB=90°,故不能判定△BEC∽△CDB.∵△EBF∽△DCF,∴

=

,∴

=

,∵∠DFE=∠BFC,∴△DEF∽△CBF.故答案为①②④.素养探究全练13.(推理能力)如图,已知∠MON=90°,A是∠MON内部的一点,

连接OA,过点A作AB⊥ON,垂足为B,AB=3cm,OB=4cm,动点

E,F同时从点O出发,点E以1.5cm/s的速度沿ON方向运动,点

F以2cm/s的速度沿OM方向运动,EF与OA交于点C.当点E到

达点B时,两点均停止运动.设运动时间为t(t>0)s.(1)当t=1时,△EOF与△ABO是否相似?请说明理由.(2)在运动过程中,无论t取何值时,总有EF⊥OA,为什么?解析

(1)相似.理由如下:当t=1时,OE=1.5cm,OF=2cm.∵AB=3cm,OB=4cm,∴

=

=

.又∵∠EOF=∠