高中数学选择性必修二课件：4 2 1 第3课时 等差数列的性质(人教A版)

第3课时等差数列的性质第四章4.2.1等差数列的概念1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算.学习目标同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一个非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2,4,6,8,10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质.导语随堂演练课时对点练一、由等差数列构造新等差数列二、等差数列中任意两项之间的关系三、等差数列中多项之间的关系内容索引一、由等差数列构造新等差数列问题1

若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？提示设新数列为{bn}，公差为d′，则有b1＝a1，b6＝a2，所以b6－b1＝a2－a1＝d，故有5d′＝d，所以d′＝

d.知识梳理若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)例1

有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为A.15 B.16 C.17 D.18√解析易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，而n∈N*，所以n的最大值为16.反思感悟对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数.反思感悟对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数.跟踪训练1

已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝_______；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是____.12n－125解析由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.故{cn}的项数为25.二、等差数列中任意两项之间的关系问题2如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗？提示由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d.知识梳理设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；(2)an＝am＋

(m，n∈N*)；(3)d＝

(m，n∈N*，且m≠n).(n－m)d知识梳理设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；(2)an＝am＋

(m，n∈N*)；(3)d＝

(m，n∈N*，且m≠n).(n－m)d例2

已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解方法一

(利用an＝am＋(n－m)d)设数列{an}的公差为d，则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d，方法二(利用隔项成等差数列)因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24.反思感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担.跟踪训练2

已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝____.8解析方法一∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.三、等差数列中多项之间的关系问题3

若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？提示由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，容易发现am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，故有am＋an＝ap＋aq.知识梳理1.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝

.2.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝

.注意点：(1)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝….ap＋aq2ap例3

已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于A.7 B.14 C.21 D.7(n－1)解析因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.√延伸探究在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.解方法一

设数列{an}的公差为d.则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d)＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)＝4a10＝40，∴a10＝10.方法二∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10.反思感悟等差数列运算的两种常用思路(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.跟踪训练3

数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是√解析由3＋an＝an＋1，得an＋1－an＝3.所以{an}是公差为3的等差数列.又a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4，所以3a4＝9，则a4＝3，所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.1.知识清单：(1)由等差数列构造新的等差数列.(2)等差数列中任意两项之间的关系.(3)等差数列中多项之间的关系.2.方法归纳：公式法、构造法、解方程组法.3.常见误区：不注意运用性质而出错或解法烦琐.课堂小结随堂演练12341.在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于A.3 B.－6 C.4 D.－3解析由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，√12342.在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于A.3 B.－3 C. D.－解析由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.√12343.在等差数列{an}中，a3＋a7＝4，则必有A.a5＝4 B.a6＝4C.a5＝2 D.a6＝2√解析因为a3＋a7＝2a5＝4，所以a5＝2.12344.在等差数列{an}(n∈N*)中，若a1＝a2＋a4，a8＝－3，则a20的值是______.－15解析∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4，又a1＝a2＋a4，∴a5＝0，课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为A.7 B.5 C.3 D.1√解析由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.123456789101112131415162.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于A.5 B.8C.10 D.14√解析方法一设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.方法二由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.123456789101112131415163.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为A.12 B.8 C.6 D.4解析由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.√123456789101112131415164.在等差数列{an}中，a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100，a6－a2＝12，则a1等于A.1 B.2 C.3 D.4√12345678910111213141516解析∵a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100，∴5a7＝100，∴a7＝20，∵a6－a2＝12，∴4d＝12，∴d＝3，∴a7＝a1＋6d＝20，∴a1＝2.12345678910111213141516√解析设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝5，am＝3，123456789101112131415166.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是A.{|an|} B.{an＋1－an}C.{pan＋q}(p，q为常数) D.{2an＋n}√√√12345678910111213141516解析数列－1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立.若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立.若{an}的公差为d，则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立.(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，D成立.123456789101112131415167.在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝____.∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4.4123456789101112131415168.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝_____.35解析因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.123456789101112131415169.在等差数列{an}中.(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；解根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12.12345678910111213141516(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.12345678910111213141516解由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17，1234567891011121314151610.在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.(1)求数列{an}的通项公式；12345678910111213141516解根据题意，设等差数列{an}的公差为d，若a3＋a8＋a13＝12，则3a8＝12，则a8＝4，又由a3a8a13＝28，得a3a13＝(4－5d)(4＋5d)＝7，12345678910111213141516(2)求a23的值.则a23＝13或－5.123456789101112131415综合运用1611.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－

a11的值为A.14 B.15 C.16 D.17√解析设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，1234567891011121314151612.等差数列an中，若a2，a2020为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1011＋a2021等于A.10 B.15 C.20 D.40√解析∵a2，a2020为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a2＋a2020＝10，由等差数列的性质得2a1011＝10，即a1011＝5，∴a1＋a1011＋a2021＝3a1011＝15.1234567891011121314151613.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有A.a1＋a101>0 B.a1＋a101<0C.a3＋a99＝0 D.a51＝51√解析由等差数列的性质得，a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，故a3＋a99＝2a51＝0.1234567891011121314151614.已知等差数列{an}，若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，则a2＋a5＋a8＋a11＝_____.7解析∵a1＋a2＋a3＋…＋a12＝21，∴a2＋a5＋a8＋a11＝7.拓广探究123456789101112131415161解析由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，16.已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，求新数列的第50项，a50是新数列的第几项？123456789101112131415161