高中数学选择性必修二课件：4 3 2 第1课时 等比数列前n项和公式(人教A版)

第四章

4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列前n项和公式学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式

知识点一等比数列的前n项和公式知识点二等比数列前n项和的性质1.数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，

仍构成等比数列.2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋

(n，m∈N*).S3n－S2nqnSm4.若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列.(

)1.等比数列前n项和Sn不可能为0.(

)2.若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2题型探究PARTTWO一、等比数列前n项和公式的基本运算例1

在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；一、等比数列前n项和公式的基本运算例1

在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.解因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根.反思感悟等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，

都可看作一个整体.(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.跟踪训练1在等比数列{an}中.∴q＝－2，∴n＝5.(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.解若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1，∴q＝2或q＝－2，二、利用错位相减法求数列的前n项和反思感悟错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和.(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式.②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.解根据题意得两式相减得三、等比数列前n项和的性质例3

(1)在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝____.28解析∵数列{an}是等比数列，且易知公比q≠－1，∴S2，S4－S2，S6－S4也构成等比数列，即7，S4－7,91－S4构成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2·(1＋q2)>0，∴S4＝28.(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝____.2解析由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，(3)若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝___.解析∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，延伸探究反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.跟踪训练3

(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于A.8 B.6 C.4 D.2√解析S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列.∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式.解设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.3随堂演练PARTTHREE1.在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于A.－25 B.25 C.－31 D.3112345√解析因为an＋1＝2an，且a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，解析当x＝1时，Sn＝n；123452.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于√3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于A.3∶4 B.2∶3

C.1∶2 D.1∶312345√解析在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，得S15∶S5＝3∶4，故选A.123451234512345所以a1＋a2＝3，1234580解析令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.1.知识清单：(1)等比数列前n项和公式.(2)利用错位相减法求数列的前n项和.(3)等比数列前n项和的性质.2.方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论.3.常见误区：(1)忽略q＝1的情况而致错.(2)错位相减法中粗心出错.(3)忽略对参数的讨论.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.在等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于A.4－2100 B.4＋2100 C.4－2－98 D.4－2－100基础巩固√12345678910111213141516√解析易知q≠－1，因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于12345678910111213141516解析等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋a－(2n－2＋a)，化简得an＝2n－2.则a3a5＝2×23＝16.3.若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，则a3a5等于A.4 B.8 C.16 D.3212345678910111213141516√4.设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则

等于A.10 B.9 C.－8 D.－5√解析设数列{an}的公比为q，由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0，因为a4≠0，所以27＋q3＝0，则q＝－3，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析设数列{an}的公比为q，显然q≠1，123456789101112131415166.若等比数列{an}的前n项和Sn＝2·3n＋r，则r＝_____.12345678910111213141516－2解析Sn＝2·3n＋r，由等比数列前n项和的性质得r＝－2.7.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝____，a1＝___.解析由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，5

3123456789101112131415168.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为_____.解析由题意知2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，若q＝1，则Sn＝na1，式子显然不成立，12345678910111213141516－2故2qn＝qn＋1＋qn＋2，即q2＋q－2＝0，∴q＝－2.123456789101112131415169.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列.(1)求数列{an}的公比q；解依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.12345678910111213141516(2)若a1－a3＝3，求Sn.12345678910111213141516(1)求an与bn；12345678910111213141516解由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*).由题意知：当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.12345678910111213141516(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.解由(1)知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*).11.在等比数列{an}中，a1＝4，q＝5，则使Sn>107的最小正整数n的值是A.11 B.10 C.12 D.9综合运用√解析由题意可知在等比数列{an}中，a1＝4，q＝5，12345678910111213141516∵Sn>107，∴5n－1>107，∴n>10.01，∵n为正整数，∴n≥11，故n的最小值为11.12345678910111213141516√解析设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得12345678910111213141516故当n＝1或2时，Tn取最大值，为2.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为14.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,2Sn＝an＋1－1，则Sn＝______.解析当n＝1时，则有2S1＝a2－1，∴a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得出2Sn－1＝an－1，上述两式相减得2an＝an＋1－an，∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151612345678910111213141516当n≥2时，an＝Sn－Sn－112345678910111213141516可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32×1＝9，1234567891011121314151616.已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；解设等差数列{an}的公差为d，故数列{an}的通项公式为an＝2－n，n∈N*.123