高中数学选择性必修二课件：4 3 2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用(人教A版)

第2课时等比数列前n项和的性质及应用第四章4.3.2等比数列的前n项和公式1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的

问题.学习目标同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质.导语随堂演练课时对点练一、等比数列前n项和公式的灵活应用二、等比数列中的片段和问题三、等比数列前n项和公式的实际应用内容索引一、等比数列前n项和公式的灵活应用问题1

类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？提示若等比数列{an}的项数有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶.知识梳理若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：例1

(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝____.2解析由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，例1

(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝____.2解析由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，(2)若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______.300反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住

＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.跟踪训练1

(1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为____，项数为____.29解析由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，即这个等比数列的项数为9.(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝_________________.解析设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.因为数列{an}的项数为偶数，又因为a1·a1q·a1q2＝64，即a1＝12，解析设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.因为数列{an}的项数为偶数，又因为a1·a1q·a1q2＝64，即a1＝12，二、等比数列中的片段和问题问题2你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n?提示思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.问题3类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？提示Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：思路一：当q＝1时，结论显然成立；故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.知识梳理1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋

(n，m∈N*).2.数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，

仍构成等比数列.注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.qnSmS3n－S2n例2在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解方法一∵S2n≠2Sn，∴q≠1，由已知得方法二∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，方法三由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算.(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.跟踪训练2

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于A.8 B.6 C.4 D.2√解析S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列.∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.三、等比数列前n项和公式的实际应用例3

《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为A.96 B.126 C.192 D.252√解析由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以

为公比的等比数列，因为该人6天后到达目的地，则有解得a1＝192，所以该人第1天所走路程里数为192.反思感悟(1)解应用问题的核心是建立数学模型.(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.(3)注意问题是求什么(n，an，Sn).跟踪训练3

我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____.3解析设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列，1.知识清单：(1)奇数项和、偶数项和的性质.(2)片段和性质.(3)等比数列前n项和的实际应用.2.方法归纳：公式法、分类讨论.3.常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件.课堂小结随堂演练12341.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3解析在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，√1234√解析由a1a2a3＝1得a2＝1，12343.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要A.6秒钟 B.7秒钟

C.8秒钟 D.9秒钟√1234解析根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，∴2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8，即至少需8秒细菌将病毒全部杀死.123480解析令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为A.8 B.－2 C.4 D.2√123456789101112131415162.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为A.6 B.8 C.10 D.12√解析设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析易知q≠－1，因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，123456789101112131415164.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为A.1.14a B.11×(1.15－1)aC.1.15a D.10×(1.16－1)a解析从今年起到第5年，这个厂的总产值为a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15√12345678910111213141516√12345678910111213141516解析5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，123456789101112131415166.(多选)下列结论不正确的是A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则

这个数列是等差数列B.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数C.等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列D.如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn√√12345678910111213141516解析对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确；对于B选项，对任意n∈N*，an＝1，则数列{an}为等差数列，且该数列的前n项和Sn＝n，B选项错误；所以Sn＝S2n－Sn＝S3n－S2n＝0，此时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列，C选项错误；对于D选项，对任意的n∈N*，Sn＋1＝(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1＝Sn＋an＋1，可得an＋1＝Sn＋1－Sn，D选项正确.123456789101112131415167.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于____.6解析每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.123456789101112131415168.设等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，则数列{an}的公比为_____.3解析易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)，故q3＝27，则q＝3.123456789101112131415169.一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.12345678910111213141516解方法一设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*).由已知a1＝1，q≠1，有由②÷①，得q＝2，故公比为2，项数为8.12345678910111213141516方法二∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.1234567891011121314151610.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63.(1)求数列{an}的通项公式；解由题意知S6≠2S3，q≠1，由等比数列的前n项和等距分段的性质知，∴an＝2n－1.12345678910111213141516(2)若bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解由(1)知bn＝2n－1＋n－1，∴Tn＝(1＋2＋…＋2n－1)＋[1＋2＋…＋(n－1)]12345678910111213141516综合运用11.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于A.40 B.60 C.32 D.50解析由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.√1234567891011121314151612.若数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值等于A.200 B.120 C.110 D.102√12345678910111213141516解析因为lgxn＋1＝1＋lgxn，所以数列{xn}是等比数列，公比为10，所以lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg[(x1＋x2＋…＋x100)·10100]＝lg(100×10100)＝102.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得12345678910111213141516所以Tn＝a1·a2·…·an故当n＝1或2时，Tn取最大值2.1234567891011121314151614.如图，画一个边长为4cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是_____cm2.3112345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151612345678910111213141516解析令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，又an＝f(n)，1234567