高中数学选择性必修二课件：习题课 等比数列的性质的综合问题(人教A版)

习题课等比数列的性质的综合问题第四章§4.3

等比数列1.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.2.理解等比数列的常用性质.3.掌握等比数列的判定及证明方法.学习目标随堂演练课时对点练一、等比数列的实际应用二、等差数列与等比数列的转化三、等比数列的综合应用内容索引一、等比数列的实际应用例1

某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；解从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元.(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.反思感悟等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.跟踪训练1

有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精_____________升.则第九次和第十次共取出纯酒精数量为则第九次和第十次共取出纯酒精数量为二、等差数列与等比数列的转化问题1若等差数列an＝2n＋1，那么数列{22n＋1}是等差或等比数列吗？问题2若等比数列an＝2n，则{lgan}为等差数列吗？提示若等比数列an＝2n，则bn＝lgan＝lg2n＝nlg2是关于n的一次函数，是等差数列.知识梳理1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{

}是等比数列.2.若数列{an}是公比为q(q>0)的等比数列，则数列{logaan}是等差数列.注意点：(1)其底数a满足a>0，且a≠1；(2)等比数列{

}的公比为ad；(3)等差数列{logaan}的公差为logaq.例2已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝

，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.解依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，例2已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝

，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.解依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，延伸探究已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝log2an，求证：数列{bn}是等差数列，并求其通项公式.解设等比数列{an}的公比为q，∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2(n≥2)，b1＝log2a1＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2n－1.反思感悟在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义.跟踪训练2

数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1(n∈N*)，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)的值是A.n－1

B.n＋1 C.2n－1 D.2n＋1√解析由log2an－1＝log2an＋1，即log2an＋1－log2an＝－1，∵a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝n－1.三、等比数列的综合应用例3

已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；解设数列{an}的公差为d，由题意知所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值.因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.反思感悟解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.(2)对于解答题注意基本量及方程思想.(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题.(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系.跟踪训练3

若等比数列{an}满足2a1＋a2＋a3＝a4，a5－a1＝15.(1)求数列{an}的首项a1和公比q；解得a1＝1，q＝2.(2)若an>n＋100，求n的取值范围.解由(1)可知an＝2n－1，即2n－1>n＋100，验证可得n≥8，n∈N*.1.知识清单：(1)等比数列的实际应用.(2)等差数列与等比数列的相互转化.(3)等比数列的综合应用.2.方法归纳：公式法、构造法.3.常见误区：在应用题中，容易忽视数列的项数.课堂小结随堂演练12341.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成A.64个 B.128个

C.256个 D.255个解析某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256个.√12342.已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为A.100 B.－100C.10000 D.－10000√12343.若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcnA.是等比数列 B.是等差数列C.每项取倒数成等差数列 D.每项取倒数成等比数列√解析因为a，b，c成等比数列，可知logna，lognb，lognc成等差数列，12344.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则

＝_____.1解析{an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，课时对点练基础巩固123456789101112131415161.在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8等于A.2 B.4 C.6 D.8√解析原式＝log2(a1a2a3…a8)＝log2(a2a7)4＝4log24＝8.123456789101112131415162.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为解析因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，√设数列{an}的公差为d，则d≠0，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，所以a1＝2d，123456789101112131415163.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为A.－24 B.－3 C.3 D.8即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝0(舍去)，d＝－2，√123456789101112131415164.在公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，且a3，a7，a16成等比数列，则公差为解析设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由a1＝1，a3，a7，a16成等比数列，√123456789101112131415165.已知{an}是等差数列，且公差d≠0，若a＝

，b＝

，c＝

，则a，b，cA.是等比数列，非等差数列B.是等差数列，非等比数列C.既非等比数列，又非等差数列D.既是等差数列，又是等比数列√12345678910111213141516解析由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列，若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列.123456789101112131415166.(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于A.－2 B.2 C.－8 D.8√√故a＝2或a＝8.123456789101112131415167.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝_____.解析由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.－6∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.123456789101112131415168.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________.2048解析依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，123456789101112131415169.受疫情影响，某公司的销售额受到严重影响，从2020年的7月销售收入128万元，9月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候跌至每月销售收入8万元？12345678910111213141516解设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售收入构成了等比数列{an}，a1＝128，则a2＝a1(1－x)，a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%.设an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，即从2020年7月算起第5个月，也就是在2020年的11月该公司的销售收入跌至8万元.1234567891011121314151610.在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{bn}是等差数列；证明因为bn＝log2an，所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.12345678910111213141516(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an.12345678910111213141516解因为b1＋b3＋b5＝6，所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.又因为a1>1，所以b1＝log2a1>0，又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，又因为d＝log2q＝－1，即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N*).123456789101112131415综合运用1611.设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于A.2 B.－2 C. D.－解析因为{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，√代入可得(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析设等比数列{an}的公比为q，数列{log2an}的前10项之和为12345678910111213141516√12345678910111213141516解析由f(x)＝logax(a>0，a≠1)，令y＝logax，可得x＝ay，故对于A，有an＝

，不是等比数列；对于B，an＝

，不是等比数列；对于C，an＝a2n，为等比数列；对于D，an＝

，不是等比数列.1234567891011121314151614.已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，

，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为______.102412345678910111213141516所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝

，所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1024.拓广探究1234567891011121314151615.已知a1，a2，a3，……，an是各项不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则n的值为A.4 B.6 C.7 D.无法确定√12345678910111213141516解析当n≥6时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列，又是等比数列，则该数列为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则n＝4或n＝5.当n＝5时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时a1a5＝a2a4⇒a1(a1＋4d)＝(a1＋d)(a1＋3d)⇒d＝0，不满足题意.故n＝4.验证过程如下：当n＝4时，有a1，a2，a3，a4.将此数列删去某一项得到的数列(按照原来的顺序)是等比数列.如果删去a1或a4，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意.12345678910111213141516故可以知道删去的是a2或a3.如果删去的是a2，则a1∶a3＝a3∶a4，故a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，如果删去的是a3，则a1∶a2＝a2∶a4，故a1(a1＋3d)＝(a1＋d)2，故答案为A.16.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝

，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；1234567891011121314151612345678910111213141516而a1＝1适合上式，∴an＝n.1234567891011121314151612345678910111213141516∴nan＋1－nan＝n，∴an＋1－a