高中数学选择性必修二课件：5 3 2 第1课时 函数的极值(人教A版)

第1课时函数的极值第五章5.3.2函数的极值与最大(小)值1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导

数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.学习目标同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这就是我们今天要研究的函数的极值.导语随堂演练课时对点练一、函数极值概念的理解二、求函数的极值三、由极值求参数的值或范围内容索引一、函数极值概念的理解问题1如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？提示在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.问题2你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？提示以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.知识梳理极值点与极值的概念1.极小值点与极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧

，右侧

，则把a叫做函数y＝f(x)的

，f(a)叫做函数y＝f(x)的

.f′(x)＜0f′(x)＞0极小值点极小值2.极大值点与极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧

，右侧

，则把b叫做函数y＝f(x)的

，f(b)叫做函数y＝f(x)的

.3.极大值点、极小值点统称为

，极大值和极小值统称为

.f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极大值极值点极值2.极大值点与极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧

，右侧

，则把b叫做函数y＝f(x)的

，f(b)叫做函数y＝f(x)的

.3.极大值点、极小值点统称为

，极大值和极小值统称为

.f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极大值极值点极值注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点.例1

函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：③⑤解析对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误；对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确；对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确.反思感悟解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.跟踪训练1

已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为A.1 B.2 C.3 D.4√跟踪训练1

已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为A.1 B.2 C.3 D.4√解析由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c<d，知在(－∞，c)，(d，b)上f′(x)≥0，所以此时函数f(x)在(－∞，c)，(d，b)上单调递增，在(c，d)上，f′(x)<0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值.则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.二、求函数的极值例2

求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；解函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.(2)f(x)＝x－alnx(a∈R).解f(x)＝x－alnx的定义域为(0，＋∞)，①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值.综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值.反思感悟函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程f′(x)＝0的根.(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.跟踪训练2

求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－x；解函数f(x)的定义域为R.当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表：(2)f(x)＝x2e－x.解函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减0单调递增4e－2单调递减因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，三、由极值求参数的值或范围例3

(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝_____，b＝_____.4－11解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，不符合题意，应舍去.而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.解f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示.解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞).反思感悟已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.跟踪训练3

若函数f(x)＝

x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是__________.∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，1.知识清单：(1)函数极值的定义.(2)函数极值的判定及求法.(3)函数极值的应用.2.方法归纳：方程思想、分类讨论.3.常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件.课堂小结随堂演练12341.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是A.在(1,2)上函数f(x)单调递增B.在(3,4)上函数f(x)单调递减C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点√1234解析根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0；x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上单调递增，在(2,4)上单调递减，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.12342.(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是A.(－∞，2) B.(3，＋∞)C.(2，＋∞) D.(－∞，3)√解析∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.√12343.设函数f(x)＝xex，则A.x＝1为f(x)的极大值点B.x＝1为f(x)的极小值点C.x＝－1为f(x)的极大值点D.x＝－1为f(x)的极小值点√解析令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故x＝－1为f(x)的极小值点.12344.已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＝_____，b＝_______.2－4解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，课时对点练基础巩固123456789101112131415161.下列函数中存在极值的是A.y＝ B.y＝x－exC.y＝2 D.y＝x3解析对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′<0.故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值.√123456789101112131415162.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)√12345678910111213141516解析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.123456789101112131415163.函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e)上的极大值为A.－e B.－1C.1－e D.0令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.√123456789101112131415164.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于A.－4 B.－2 C.4 D.2√解析∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.123456789101112131415165.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于A.－3或3 B.3或－9 C.3 D.－3√12345678910111213141516解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当a＝3，b＝－9时，f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x－1)(x＋3)，当－3<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，x＝1是极小值点；当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，x＝1不是极值点.∴a＝3.123456789101112131415166.(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是A.－4 B.－3 C.6 D.8√√解析由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.123456789101112131415167.函数f(x)＝

的极小值为_____.12345678910111213141516令f′(x)<0，得x<－2或x>1；令f′(x)>0，得－2<x<1.所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增，123456789101112131415168.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝_____.经检验，符合题意.123456789101112131415169.设函数f(x)＝alnx＋

＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值；由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，解得a＝－1.12345678910111213141516(2)求函数f(x)的极值.12345678910111213141516当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增.故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值.1234567891011121314151610.设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；12345678910111213141516解f′(x)＝3x2－2x－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：极小值是f(1)＝a－1.12345678910111213141516(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？12345678910111213141516解函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点.f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，12345678910111213141516123456789101112131415综合运用1611.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是√12345678910111213141516解析因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x＜－2时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.所以当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中的图象知选C.1234567891011121314151612.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是A.(－1,0) B.(0,1)C.(－∞，－1) D.(1，＋∞)√12345678910111213141516解析由题意知f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝lna，∴当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.可知x＝lna为f(x)的极值点，∴lna<0，∴a∈(0,1).12345678910111213141516√12345678910111213141516∴f′(x)＝2x2－5ax＋3a2，由题意可得f′(3)＝2×9－15a＋3a2＝0，整理得a2－5a＋6＝0，解得a＝2或a＝3.当a＝2时，f′(x)＝2x2－10x＋12＝2(x－2)(x－3)，令f′(x)>0，得x<2或x>3；令f′(x)<0，得2<x<3，此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极小值，不符合题意；当a＝3时，f′(x)＝2x2－15x＋27＝(x－3)(2x－9).12345678910111213141516此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，符合题意.综上所述，a＝3.1234567891011121314151614.若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______.[1,5)解析∵f′(x)＝3x2＋2x－a，函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根.∴1≤a<5.拓广探究1234567891011121314151615.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定A.等于0 B.大于0C.小于0 D.小于或等于0√12345678910111213141516解析f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.令f′(x)＝0，则x0和2是该方程的根.由题图知，f′(x)<0的解集为(x0,2)，∴3a>0，则b>0，∵f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)>0.1234567891011121314151612345678910111213141516解f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，分以下两种情况讨论：当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

12345678910111213141516所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上单调递增，在(－2a，a－2)上单调递减，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(