高中数学选择性必修2课件：培优课 求数列的通项(人教A版)

培优课求数列的通项求数列的通项公式多以小题的形式出现，但也可作为解答题，主要考查利用累加法、累乘法、公式法等求数列的通项公式，利用通项公式求数列中的项、公差、公比等，试题较灵活.类型一利用an与Sn的关系求通项【例1】

(1)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为__________________.解析由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，n又a1>0，∴a1＝1.∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n(n∈N*).类型二利用递推关系求通项【例2】

(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求数列{an}的通项公式；解∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)，(3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式；解因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＝2·3n－1－1.尝试训练1.数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通项公式.解

因为a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an＝2n.尝试训练1.数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通项公式.解

因为a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an＝2n.3.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an.解

由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以数列{an－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2×3n－2.备用工具&资料3.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an.解

由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以数列{an－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.3.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an.解

由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)，所以数列{an－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3.尝试训练1.数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通项公式.解

因为a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an＝2n.尝试训练1.数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n，求{an}的通项公式.解

因为a1＝2，an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，n≥2，以上各式累加得，an－a1＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an＝2n.得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2×3n－2.类型一利用an与Sn的关系求通项【例1】

(1)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为__________________.解析由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－