高中数学选择性必修2课件：习题课二 求数列的和(人教A版)

习题课二求数列的和题型一分组分解求和【例1】已知正项等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝24. (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足bn＝log2an，求数列{an＋bn}的前n项和.解

(1)设数列{an}的公比为q(q>0)，∴an＝a1·qn－1＝2×2n－1＝2n.(2)bn＝log22n＝n，设{an＋bn}的前n项和为Sn，则Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn)＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)【训练1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n.解

(1)设等差数列{an}的公差为d，由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1×(2n－1)，∴T2n＝(1－3)＋(5－7)＋…＋[(4n－3)－(4n－1)]＝(－2)·n＝－2n.解

(1)设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn，因为S2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20，当q＝－2时，a1＝－5，所以an＋1＝(－4)×(－2)n－1＝－(－2)n＋1.【训练2】设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.解

(1)设数列{an}的公差为d，解得a1＝3，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn题型三错位相减法求和【例3】已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式；解(1)设{an}的公比为q，j规律方法1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.【训练3】已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，在等差数列{bn}中，bn>0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列. (1)求数列{anbn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn.解

(1)∵an＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9.∵在等差数列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，则b2＝5.设等差数列{bn}的公差为d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.∵bn>0，∴d＝－10应舍去，∴d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1.故anbn＝(2n＋1)·3n－1，n∈N*.(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.∴Tn＝n·3n，n∈N*.一、素养落地1.通过学习数列求和的方法，提升数学运算和逻辑推理素养.2.求数列的前n项和，一般有下列几种方法. (1)错位相减

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (2)分组求和

把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项相消

有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (4)奇偶并项

当数列通项中出现(－1)n或(－1)

n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论. (5)倒序相加

例如，等差数列前n项和公式的推导方法.二、素养训练答案C2.等比数列{an}中，a5＝2，a6＝5，则数列{lgan}的前10项和等于(

) A.6 B.5 C.4 D.3

解析

∵数列{an}是等比数列，a5＝2，a6＝5， ∴a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝10， ∴lga1＋lga2＋…＋lga10＝lg(a1·a2·…·a10)

＝lg(a5a6)5＝5lg10＝5.

故选B.

答案

B解析由题意得S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000.答案

50005.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*.∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.∴Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，两边同时乘以2得2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)×2n＋1.三、审题答题示范(一)数列求和问题【典型示例】

(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝4，2Sn＝nan＋n①，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式；满分示范(1)解数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝nan＋n，n∈N*，当n＝1时，2a1＝a1＋1，则a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1①，an＋1＝Sn＋1－Sn②.2分满分心得(1)利用数列的递推公式求通项公式主要应用构造法，即构造出等差、等比数列，或可应用累加、累乘求解的形式.(2)利用错位相减法求数列的和最容易出现运算错误，运算时要注意作差后所得各项的符号，所得等比数列的项数.(3)与数列的和有关的不等式证明问题，一般是先求和及其范围，再证明不等式.备用工具&资料满分示范(1)解数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝nan＋n，n∈N*，当n＝1时，2a1＝a1＋1，则a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1①，an＋1＝Sn＋1－Sn②.2分【训练3】已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，在等差数列{bn}中，bn>0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列. (1)求数列{anbn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn.解

(1)∵an＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9.∵在等差数列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，则b2＝5.设等差数列{bn}的公差为d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.∵bn>0，∴d＝－10应舍去，∴d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1.故anbn＝(2n＋1)·3n－1，n∈N*.题型三错位相减法求和【例3】已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)bn＝log22n＝n，设