高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)(原卷版+解析)

专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（二）平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).（三）平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.（四）平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))（五）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).数量积两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__两个向量垂直a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同．a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.（六）常用结论1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))【常考题型剖析】题型一：平面向量基本定理的应用例1.(2023·四川·高考真题（理））设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（）A．20 B．15 C．9 D．6例2．(2023·天津·高考真题（文））在中，，，.若，，且，则的值为______________.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．题型二：平面向量的坐标运算例3.(2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5例4.(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6例5.(2023·全国·专题练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为（）A．3 B．2 C． D．2例6.(2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．题型三：平面向量共线的坐标表示例7.（2023·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．例8．（2023·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知，，.(1)若，求D点的坐标；(2)设向量，，若与平行，求实数k的值.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则的充要条件是”解题比较方便．题型四：平面向量数量积的运算例9.【多选题】（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．例10.（2023·天津·高考真题（文））在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则__________.例11．（2023·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.总结提升：公式a·b＝|a||b|cos<a，b>与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．题型五：平面向量的模、夹角例12．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知向量，，，则（

）A．6 B．5 C．8 D．7例13.(2023·浙江高考真题）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−A．3−1B．3+1例14.（2023·湖南·高考真题）已知向量，，则___________例15.（2023·全国·高考真题（文））已知向量，则___________.例16.(2023·山东·高考真题（理））已知，是互相垂直的单位向量，若

与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__．【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提醒：〈a，b〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．题型六：两个向量垂直问题例17．(2023·全国·高考真题（理））已知向量，且，则m=（）A．−8 B．−6C．6 D．8例18．(2023·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．例19．(2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是_________．例20．（2023·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.【规律方法】1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．3.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．专题6.2平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（二）平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).（三）平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.（四）平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))（五）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).数量积两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__两个向量垂直a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同．a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.（六）常用结论1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))【常考题型剖析】题型一：平面向量基本定理的应用例1.(2023·四川·高考真题（理））设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（）A．20 B．15 C．9 D．6答案：C【解析】分析：根据图形得出,,,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,根据图形可得:,,,,,,，，故选C.例2．(2023·天津·高考真题（文））在中，，，.若，，且，则的值为______________.答案：【解析】【详解】,则.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．题型二：平面向量的坐标运算例3.(2023·全国·高考真题（文））已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D【解析】分析：先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D例4.(2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6答案：C【解析】分析：利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C例5.(2023·全国·专题练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为（）A．3 B．2 C． D．2答案：A【解析】【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设,易得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，则，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.例6.(2023·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．答案：3【解析】【详解】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．题型三：平面向量共线的坐标表示例7.（2023·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．答案：【解析】分析：利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.例8．（2023·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知，，.(1)若，求D点的坐标；(2)设向量，，若与平行，求实数k的值.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根据题意设，写出的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可.(1)设，又因为，所以，因为，所以，得，所以.(2)由题意得，，，所以，，因为与平行，所以，解得.所以实数的值为.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则的充要条件是”解题比较方便．题型四：平面向量数量积的运算例9.【多选题】（2023·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】分析：A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；C：由题意得：，，正确；D：由题意得：，，故一般来说故错误；故选：AC例10.（2023·天津·高考真题（文））在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则__________.答案：.【解析】分析：建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，．因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为．由得，，所以．所以．例11．（2023·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．答案：

【解析】分析：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.总结提升：公式a·b＝|a||b|cos<a，b>与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．题型五：平面向量的模、夹角例12．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知向量，，，则（

）A．6 B．5 C．8 D．7答案：D【解析】分析：先求出，再将两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案.【详解】由得：，由得，即得，故选：D例13.(2023·浙江高考真题）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−A．3−1B．3+1答案：A【解析】设a=(x,y),则由a,e=由b2−4因此|a−b|的最小值为圆心(2,0)到直线y=±3【思路点拨】先确定向量a,例14.（2023·湖南·高考真题）已知向量，，则___________答案：分析：利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】，所以.故答案为：例15.（2023·全国·高考真题（文））已知向量，则___________.答案：【解析】分析：根据向量夹角公式可求出结果.【详解】．例16.(2023·山东·高考真题（理））已知，是互相垂直的单位向量，若

与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__．答案：【解析】分析：根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1），则（，﹣1），λ（1，λ）；又夹角为60°，∴（）•（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提醒：〈a，b〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的，求向