中心极限定理

第五章、大数定律与中心极限定理第一节：切比雪夫不等式第二节：大数定律第三节：中心极限定理第一节切比雪夫不等式切比雪夫定理举例或

由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件{|X-EX|<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.证我们只就连续型随机变量的情况来证明.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v

X与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.如取

可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则r.vX取值偏离EX超过3

的概率小于0.111.例1正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X,依题意，EX=7300,DX=7002所求为

P{5200X9400}P{5200X9400}=P{-2100X-EX2100}=P{|X-EX|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-EX|2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.第二节大数定律大数定律的背景及概念依概率收敛定义及性质三个大数定律小结一、大数定律的背景和概念

大量随机试验中1、大数定律的客观背景例1、掷一颗均匀正六面体的骰子，出现1点的概率是1/6。但掷的次数少时，出现1点的频率可能与1/6相差较大，但掷次数很多时，出现1点的频率接近1/6几乎是必然的。例2、测量一个长度a，一次测量的结果不见得就等于a，量了假设干次，其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的。概率论中用来说明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律〔lawoflargenumber)2、大数定律的概念本章将介绍三个大数定律：〔1〕切比雪夫大数定律、〔2〕贝努里大数定律〔3〕辛钦大数定律。它们之间既有区别也有联系。

二、依概率收敛定义及性质

定义性质请注意:三、大数定律1、定理一〔切比雪夫定理的特殊情况〕切比雪夫那么对任意的ε>0，有做前n个随机变量的算术平均证由切比雪夫不等式上式中令得说明3、定理的另一种表达方式：〔切贝雪夫定理〕切贝雪夫大数定律是1866年被俄国数学家切比雪夫所证明，它是关于大数定律的一个相当普遍的结论，很多大数定律的古典结果是它的特例。设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，那么对于任意正数ε>0，有2、定理二〔贝努里大数定律〕或此定理说明了频率的稳定性。由定理一有贝努里大数定律的重要意义： (1)从理论上证明了频率具有稳定性。〔2)提供了通过试验来确定事件概率的方法:

这种方法是参数估计的重要理论根底。〔3〕是“小概率原理”的理论根底。小概率原理：实际中概率很小的随机事件在个别试验中几乎是不可能发生的。下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列X1,X2,…相互独立，服从同一分布，具有数学期EXi=μ,i=1,2,…，那么对于任意正数ε，有3、定理三〔辛钦大数定律〕

1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.注2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性.要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如n块地.计算其平均亩产量，那么当n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.当n充分大时有三、小结大数定律

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性第三节中心极限定理中心极限定理的背景中心极限定理的定义中心极限定理小结

一、中心极限定理的客观背景在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合〔或和)影响所形成的.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素〔如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等〕综合影响的.每个随机因素的对弹着点〔随机变量和〕所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布？如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大.那么这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.二、中心极限定理定义

概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。

由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量，即：三、中心极限定理1、定理四〔独立同分布下的中心极限定理〕注3、虽然在一般情况下，我们很难求出的分布确实切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.2、定理五(棣莫弗－拉普拉斯〔DeLaplace定理〕设随机变量(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1)的二项分布，那么对任意x，有证

定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量的分布近似正态分布N(np,np(1-p)).即例4、某批产品的次品率为0.002，求1000件该产品例1、一盒同型号的螺丝钉共100个，螺丝钉的重量是随机变量，期望为100克，标准差为10克，求一盒中次品数不超过4件的概率。螺丝钉的重量超过10.2千克的概率。例5于是解例6.(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供给多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电缺乏而影响生产?用X表示在某时刻工作着的车床数，

解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作,工作的概率0.6,共进行200次独立重复试验.依题意，X~B(200,0.6),现在的问题是：P{X≤N}≥0.999的最小的N.求满足设需N台车床工作，〔由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.〕由德莫佛-拉普拉斯极限定理近似N(0,1),于是P{X≤N}=P{0≤X≤N}这里

np=120,np(1-p)=48查正态分布函数表得从中解得N≥141.5,即所求N=142.也就是说,应供给142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电缺乏而影响生产.≥3.1,