江苏省苏州市八校2024届高三三模适应性检测 数学试卷【含答案】

江苏省苏州市八校2024届高三三模适应性检测数学试卷一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．为纯虚数2．已知为等比数列，则“”是“为递减数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知集合，则（

）A． B．C． D．4．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（

）（参考数据:）A．8 B．7 C．6 D．55．已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（

）A．4 B． C． D．66．记“的不同正因数的个数”，“的展开式中项的系数”，则（

）A． B． C． D．7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．38．对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函”，为“的可移倒数点”.设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（

）A． B． C． D．二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．过抛物线的焦点的直线与相交于A，B两点，为坐标原点，则（

）A． B． C． D．10．已知是函数有四个零点，记的导函数为，则（

）A． B．C．在上的最小值为 D．存在，使得是奇函数11．在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（

）

A．点的轨迹长为 B．的最小值为C． D．三棱锥体积的最小值为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．函数的值域是.13．已知，则.14．已知函数.①当时，，记前项积为，若恒成立，整数的最小值是;②对所有n都有成立，则的最小值是.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，已知正方体的棱长为，，分别是和的中点.(1)求证：；(2)求直线和之间的距离；(3)求直线与平面所成角的正弦值.16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)若，求的面积;(2)若，求使得恒成立时，实数的最小值.17．2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的2014年-2023年全国新能源汽车保有量(百万辆)数据：年份代码12345678910年份2014201520162017201820192020202120222023保有量0.120.501.091.602.613.814.927.8413.1020.41并计算得:.(1)根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数(精确到0.01)；(2)现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，那么第2辆仍选择购买新能源汽车的概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源汽车的概率为0.8，计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率；(3)某汽车网站为调查新能源汽车车主的用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已知有4名候选车主是新能源汽车车主，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车主的分布列及数学期望.附:相关系数：.18．已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D.(1)求实数b的取值范围;(2)若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值;(3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由.19．已知函数.(1)时，求的零点个数;(2)若恒成立，求实数的最大值;(3)求证:.1．C【分析】根据已知复数逐个分析判断即可【详解】对于A，因为，所以，所以A错误，对于B，因为，的以不一定等于1，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以为实数，所以D错误，故选：C2．B【分析】通过且，可知虽然，但此时数列不是递减数列，充分性不成立；根据递减数列的定义可知必要性成立，从而得到结果.【详解】当等比数列且时，，此时不是递减数列

充分性不成立当等比数列为递减数列时，显然成立

必要性成立综上所述：“”是“为递减数列”的必要而不充分条件故选【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到数列单调性的定义，属于基础题.3．A【分析】求得集合，根据集合交集的概念可得.【详解】因为，，所以.故选：A.4．C【分析】设至少经过个小时才能驾驶，由题意可得，计算即可.【详解】设至少经过个小时才能驾驶，则由题意得，则，所以，所以他至少经过6个小时才能驾驶.故选：C.5．B【分析】根据题意，分别将与平方，然后作差可得，再由条件可得，即可求得，从而得到，即可得到结果.【详解】由题意可得，所以，即，所以①，因为，所以，即，所以②，①②可得，即又在方向上的投影向量为单位向量，则，即，解得，则，代入②中可得，解得.故选：B6．B【分析】由，即可求出的约数的个数，即可求出，再根据二项式定理求出，即可判断.【详解】因为，所以的约数有个，即，又展开式的项可以看作从个盒子中取出一个元素相乘，每个盒子中均有，，，要得到，需从个盒子中取出，个盒子中取出，个盒子中取出，所以，所以，即.故选：B7．C【分析】根据题意，联立直线方程可得点坐标，再由可得，在中可得，从而得到，再由离心率公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为双曲线，则其渐近线方程为，且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，则直线方程为，联立直线方程，解得，所以，过点作轴的垂线，交轴于点，因为，则，则，且，即，化简可得，则.故选：C8．A【分析】利用定义转化为求方程恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可.【详解】依题意，，由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，①当时，，方程可化为，解得，这与不符，因此在内没有实数根；②当时，，方程可化为，该方程又可化为．设，则，因为当时，，所以在内单调递增，又因为，所以当时，，因此，当时，方程在内恰有一个实数根；当时，方程在内没有实数根．③当时，没有意义，所以不是的实数根．④当时，，方程可化为，化为，于是此方程在内恰有两个实数根，则有，解得，因此当时，方程在内恰有两个实数根，当时，方程在内至多有一个实数根，综上，的取值范围为．故选：A【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．9．ACD【分析】利用已知可得，可判断A；联立直线与抛物线方程，可得可得判断B；求得判断C；可判断D.【详解】对于A：因为直线经过点，可得，即，所以，故A正确；对于B：设由，所以，所以所以所以所以与不垂直，故B不正确；，故C正确；对于D：，故D正确.故选：ACD.10．BCD【分析】由展开得到对应系数相等，即可判断A、B，求出函数的导函数，说明的单调性，即可判断C，求出的对称中心，即可判断D.【详解】由题意可得，所以即为系数的相反数，即，故A错误；即为常数项，即，故B正确；因为，所以，则在上单调递增，又，则在恒成立，所以在单调递减，所以，故C正确；因为，则，所以，所以的对称中心为，所以关于对称，即为奇函数，则，所以存在，使得为奇函数，故D正确．故选：BCD．11．BC【分析】由已知方程可得点的轨迹，画出图形，再计算轨迹长度可得A错误；由投影法可得，当点在上投影最小时，向量积最小，求出投影长可得B正确；由平面可得C正确；当点位于半圆弧中点时，可由棱锥的体积公式计算体积的最小值可得D错误；【详解】对于A：由可知，点在以为球心，1为半径的球上，又由可知，点在平面上，所以点为球面与平面的交线，如图（2）所示，在矩形中，以为圆心，1为半径的半圆，所以点的轨迹长为，故A错误；对于B：由投影法可得，当点在上投影最小时，向量积最小，此时点位于半圆弧中点，投影长为，所以，故B正确；对于C：因为平面，平面，所以，故C正确；对于D：因为平面，所以点到平面平面的距离为，则，由图（2）可知当点位于半圆弧中点时，的面积最小为，所以，故D错误；故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题选项A关键是能根据已知点的方程结合图形画出点的轨迹平面图形，从而计算即可.12．【分析】首先分析函数的周期，再分，求出函数的取值范围，即可得到函数的值域.【详解】因为，所以是以为周期的周期函数，当时，由，则，所以，则；当时，由，则，所以，则；综上可得的值域为.故答案为：13．##【分析】由条件概率和全概率公式结合已知计算即可.【详解】因为，所以，故答案为：.14．3【分析】①先得到，，故，构造，，求导得到其单调性，从而确定当时，，利用放缩和等比数列求和公式得到，求出，确定，整数的最小值为3；变形得到，令，求导得到函数单调性和最值，得到，故，得到答案.【详解】，，，故，设，，则，故在上单调递减，则，故当时，，则，所以，综上，，若恒成立，整数的最小值为3，，化简得，即，令，，当时，，所以在上单调递减，又，所以，故，解得，所以的最小值为.故答案为：3，【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.15．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可得证；（2）首先说明，即点到直线的距离即为两条平行线和之间的距离，再由空间向量法求出点到直线的距离，即可得解；（3）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）在正方体中，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，所以，故；（2）因为，，所以，所以，由题意知，，，不共线，故，故知点到直线的距离即为两条平行线和之间的距离，又，则，，，设点到直线的距离为，则，即直线和之间的距离为；（3）因为，，设平面的法向量为，则，取，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16．(1)(2)【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解；（2）根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到，再由基本不等式代入计算，即可得到，从而得到结果.【详解】（1）因为，即，所以，即，则，所以，所以，且，由正弦定理可得，则，所以，则.（2）因为，由余弦定理可得，又，则，即，所以，化简可得，因为，所以，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，故即可，所以的最小值为.17．(1)0.89(2)0.7(3)分布列见详解，1【分析】（1）直接根据公式计算即可；（2）利用全概率公式即可求解；（3）设被选到新能源汽车车主人数为，则可能取值为，分别计算出其概率，然后列出分布列，由公式算出数学期望.【详解】（1）由，则.（2）设“第1辆购买新能源汽车”，“第1辆购买非新能源汽车”，“第2辆购买新能源汽车”，，由全概率公式得，，所以苏同学第2辆购买新能源汽车的概率为.（3）设被选到新能源汽车车主人数为，则可能取值为，，，则被选到新能源汽车车主的分布列为，0123所以.18．(1)(2)当时四边形ABDC的面积最大(3)，理由见解析【分析】（1）利用圆与直线相交可建立关于的不等式，求解即可；（2）联立圆与直线的直线方程，利用韦达定理和表示出四边形ABDC的面积，再构造函数，利用导数求解即可；（3）表示出直线AD和直线BC交的直线方程，联立方程组得到的值，再结合韦达定理可得实数.【详解】（1）圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点，所以圆心到直线的距离，解得，则实数b的取值范围为；（2）设，则，由得，所以，，则，因为四边形为直角梯形，所以四边形的面积，令，，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时四边形ABDC的面积最大，且最大值为；

（3），则，且直线、的斜率存在，由（2），，，直线，直线，联立得，若为常数，则，其中为常数，可得，解得，所以当时点在一条平行于轴的直线上.

【点睛】关键点点睛：第二、三问解题的关键点是利用韦达定理表示出面积、的值.19．(1)2个(2)(3)证明见解答【分析】（1），求导后令，