上海市闵行区教育学院2024届高考 数学三模试卷【含答案】

2024届上海闵教院高考三模考试数学试卷0514一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．满分54分）1．已知为虚数单位，复数，则.2．若抛物线过点，则该抛物线的焦点为．3．二项式展开式中的系数为．4．已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为．5．已知随机变量，且，则.6．4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有种.7．现有一个底面半径为、高为的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为（损耗忽略不计）．8．已知随机变量X服从正态分布，若，则．9．方程的解集为．10．对24小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：0~1010~2525~5050~100①小雨②中雨③大雨④暴雨小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级．（只填入雨水等级所对应的序号）11．已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数．12．若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为.二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．已知：，：，则是的（

）A．必要非充分条件 B．充分非必要条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（

）A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散C．讲座后答卷得分的第80百分位数为95D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差15．对于函数，给出下列结论：（1）函数的图像关于点对称；（2）函数在区间上的值域为；（3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；（4）曲线在处的切线的斜率为1.则所有正确的结论是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）16．设P为曲线C:上的任意一点，记P到C的准线的距离为d．若关于点集和，给出如下结论：①任意，中总有2个元素；②存在，使得．其中正确的是（

）A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．在中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，.(1)若，求；(2)若，求的面积.18．如图，已知顶点为的圆锥其底面圆的半径为8，点为圆锥底面半圆弧的中点，点为母线的中点.

(1)若母线长为10，求圆锥的体积；(2)若异面直线与所成角大小为，求、两点间的距离.19．2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：(1)求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望.20．设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线过的右焦点，且，，求的值；(3)设直线的方程为，且，求的取值范围.21．已知函数.（其中为常数）(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的最小值；(3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.1．【分析】根据复数的乘法运算求得，可得，根据复数模的计算即得答案.【详解】由可得，故，故答案为：2．【分析】根据题意，代入求得，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】解：将代入抛物线方程，可得，即，所以抛物线的焦点为．故答案为：.3．5【分析】将化为，利用二项式系数结合组合数的计算，求得答案.【详解】因为，故展开式中的系数为，故答案为：54．【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可.【详解】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立，故答案为：25．12【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可.【详解】随机变量，，，则.故答案为：126．36【分析】先选两名志愿者看成一个整体，再与剩余志愿者一起排列，结合分步乘法计数原理运算求解.【详解】先选两名志愿者看成一个整体，共有种，再与剩余志愿者一起排列，共有种，所以不同的分法共有种.故答案为：36.7．【分析】根据圆柱的体积等于球的体积求出球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.【详解】设球的半径为，则，解得，所以该工件的表面积为.故答案为：.8．0.94【分析】根据正态分布的对称性即可求出指定区间的概率.【详解】由正态分布的对称性得.故答案为：0.94.9．【分析】依题意得到，解得即可.【详解】因为,则，解得，所以方程的解集为.故答案为：10．中雨【分析】由圆锥的体积公式，求出雨水的体积，再除以圆的面积，即可求解.【详解】设圆锥形容器中积水水面半径为，则，解得，所以积水厚度为，所以.所以一天的雨水属于中雨.故答案为：中雨.11．3【分析】根据数量投影公式，代入求值.【详解】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为，解得：.故答案为：312．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知，A为双曲线上一点，，B为双曲线上一点，则，即，∴由，则，已知，在△F1AF2中应用余弦定理得：，得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝故答案为：【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于或的方程，从而得到离心率的值.13．B【分析】根据充分不必要条件和分式不等式解出结果.【详解】因为，解得或，根据“谁大谁必要，谁小谁充分”得出是充分不必要条件，故选：B14．C【分析】根据茎叶图即可判断AB；再根据百分位数的计算公式即可判断C；根据极差的定义即可判断D.【详解】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A正确；讲座前的答卷得分主要分布在之间，而讲座后主要分布在之间，则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B正确；讲座后答卷得分依次为，因为，所以第80百分位数是第8个数与第个数的平均数，为，故C错误；讲座前答卷得分的极差为，讲座后得分的极差为，所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D正确.故选：C.15．C【分析】化简函数解析式可得，计算当时，的值，由此判断命题（1），计算时，的范围，利用正弦函数性质求函数的值域，判断命题（2），根据图象平移结论判断命题（3），利用导数求切线的斜率，判断命题（4）.【详解】因为，所以，当时，，所以不是函数的对称中心，（1）错误；由可得，所以，所以，当时，，当时，，所以函数在区间上的值域为，（2）正确；函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，（3）错误；由可得，所以，曲线在处的切线的斜率为1，（4）正确；所以正确的命题有（2）（4），故选：C.16．B【分析】根据题意可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的圆心，证明当点在原点处时，点在点的轨迹圆外，即可得出结论.【详解】曲线C:的焦点，则，由得，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的圆心，当点在原点处时，，此时，此时点的轨迹方程为，因为，所以点在圆外，则存在，使得两圆相离，即，故①错误，②正确.故选：B.17．(1)(2)【分析】(1)根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可.(2)先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得.【详解】（1）由,应用正弦定理得,,即得.（2）因为则,又由正弦定理得.18．(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式计算作答.（2）取的中点，作出异面直线与所成角，再利用线面垂直的性质结合勾股定理求解作答.【详解】（1）圆锥的底面圆半径为8，母线长为10，而，则，解得，所以圆锥的体积为.（2）取的中点，连接,，

由弧为圆锥底面的半圆弧知圆锥底面圆心在上且为中点，为母线的中点，则与所成角为或其补角，由平面，得平面，平面，则，于是有，由是半圆弧的中点可得，则，所以.19．(1)，(2)分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式代入计算即可；（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人，利用古典概型的概率公式代入计算，列出分布列求出数学期望即可．【详解】（1）这200位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为，.（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人，故X可能的取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P所以X的数学期望为.20．(1)(2)(3)【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系列出等式，进而可得椭圆的方程；（2）设的左焦点为，连接，利用向量的运算以及椭圆的定义和对称性推出，再代入三角形面积公式中即可求解；（3）设出，，三点的坐标，利用向量的运算得到，，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，将点的坐标代入椭圆方程中得到，此时满足，再结合弦长公式和换元法进行求解即可．【详解】（1）由的离心率是短轴的长的倍，得，即，又，则，故椭圆的方程为.（2）设的左焦点为，连接，因为，所以点、关于点对称，又，则，由椭圆的对称性可得，，且三角形与三角形全等，则，又，化简整理得，，则.（3）设，，，又，则，，由得，，，由韦达定理得，，，又，则，，因为点在椭圆上，所以，化简整理得，，此时，，则，令，即，则，则的取值范围是.【点睛】关键点点睛:本题考查直线与椭圆得位置关系及弦长范围问题，关键是向量坐标化得C坐标并代入椭圆方程得m,k的等量关系.21．(1)(2)(3)只有1个，理由见解析【分析】（1）当时，求得，得到且，进而求得切线方程；（2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解；（3）当时，求得在上有一个零点；当时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数.【详解】（1）解：当时，可得，可得，所以且，所以切线方程为，即，即曲线所以曲线在点处的切线方程为.（2）解：由函数，可得函数的定义域为，又由，令，解得，，当时，与在区间的情况如下表：极小值↗所以函数的极小值为，也是函数的最小值，所以当时，函数的最小值为（3）解：当时，，令，解得（舍去）所以函数在上有一个零点；当时