西藏自治区拉萨市第三高级中学2023-2024学年高三下学期5月月考文科 数学试题【含答案】

2024届高三5月大联考（全国甲卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知是方程的根，则（

）A． B． C．2 D．33．空气质量指数（AirQualityIndex，简称）等级表：空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量指数（AQI）以下是某市2024年4月1日至22日空气质量指数分布的散点图，下列关于这22天空气质量的描述，不正确的是（

）A．空气质量为“良”的天数最多B．空气质量为“优”和“良”的天数超过一半C．17日空气质量为“重度污染”D．该市这22天空气质量越来越差4．已知平面向量，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（

）

A．8 B．7 C．6 D．56．函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

7．已知正四面体中，是的中点，连接是的中点，点满足，则（

）A．B．平面C．平面D．平面平面8．已知，则（

）A． B．C． D．9．已知椭圆的离心率为是椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为.设点，则的最小值为（

）A． B． C． D．610．已知等差数列的公差为，前项和为.若成等差数列，且，则（

）A．12 B．21 C．32 D．5611．已知函数，下列关于的描述，不正确的是（

）A．B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称D．在上单调递增12．已知圆锥的母线长为，是底面圆的直径，为底面圆周上一点，，当圆锥的体积最大时，直线和所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数．14．已知等比数列的前项和为，则.15．某企业钳工、车工和焊工三个车间分别推荐了1名男员工和1名女员工，供该企业工会从中选出2名员工参加全国技能比赛.若这6名员工每人被选上的机会相等，则选出的2人恰好是1名男员工和1名女员工，且他们来自不同车间的概率为.16．设双曲线的左､右焦点分别为为左顶点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率，.三､解答题：共0分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知的内角的对边分别为.(1)求；(2)若，求的面积.18．为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动.该校学生会从全校学生中随机抽取60名男生和60名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分（满分：100分）统计，分别绘制成频率分布直方图，如图所示.(1)现有10张某戏剧的演出票送给得分在80分以上（含80分）的同学，根据男生组和女生组得分在80分以上（含80分）的人数，按分层抽样比例分配，则男生组､女生组分别得多少张该戏剧的演出票？(2)假定学生竞赛成绩在80分以上（含80分）被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成绩及性别制成下列列联表表示参加竞赛的学生成绩：男生女生合计合计根据列联表，判断是否有的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关？参考公式：（其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．如图，在正四棱柱中，，为棱上一点（含端点），且.(1)证明：；(2)当时，证明：平面；(3)设几何体的体积为，若，求的取值范围.20．已知函数.(1)讨论的单调性：(2)若有两个极值点，求证：.21．已知抛物线，准线与轴交于点为抛物线上一点，交轴于点.当时，.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与抛物线的另一交点为（点在点之间），过点且垂直于轴的直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．已知直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)设是曲线上的两点，且.若直线上存在点，使得，求的取值范围.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)当时，函数有两个零点，且满足，求实数的值.1．C【分析】求出集合A，B，根据集合的并集运算，即得答案.【详解】由题意，知，所以.故选：C.2．A【分析】代入方程，根据复数相等即可得出即可得解.【详解】由题意，得，即，所以，且，解得，所以.故选：A.3．D【分析】根据空气质量指数分布的散点图，逐项分析各选项，即可得答案.【详解】从该市4月1日至22日空气质量指数分布的散点图可以看出，空气质量为“良”的天数有8天，相比其它情况天数最多；为“优”和“良”的天数15天，超过一半；17日的空气质量指数位于之间，属于“重度污染”，所以A，B，C都正确，而这22天的空气质量有变化，16,17,18,19日这几天污染严重些，但后几天污染情况又有所减轻好转，不完全是越来越差，所以D错误.故选：D.4．B【详解】由已知得，，又，所以，即，所以，解得.故选：B.5．B【分析】按照框图的箭头方向和每个框的指令要求运行即可.【详解】执行程序框图，初始值，判断“否”；第一次执行循环体：，判断“否”；第二次执行循环体：，判断“否”；第三次执行循环体：，判断“否”；第四次执行循环体：，判断“否”；第五次执行循环体：，判断“否”；第六次执行循环体：，判断“是”，输出.故选：B.6．C【分析】根据函数的奇偶性单调性与函数值符号确定函数的图象.【详解】由，得，所以的定义域为.又，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故B错误；因为，所以当时，，所以，且在定义内为增函数，故A，D错误.对C：符合函数的定义域，奇偶性，单调性，故C正确.故选:C7．C【分析】对于A，B，D选项可用反证法，找出矛盾，否定结论；对于C选项，可以用线面平行判定证明.【详解】如图，连接，平面即平面，由是的中点和，知与相交.对于，因为四面体为正四面体，所以.若，又平面，且相交，所以平面.又平面，所以，与矛盾，所以错误；对于，若平面，由平面，平面平面，得，与相交矛盾，所以错误；对于，由，知三点共线，且.取的中点，连接，所以，所以.又平面平面，所以平面.又是的中点，所以.又平面平面，所以平面.因为平面，且，所以平面平面.因为平面，所以平面，所以正确；对于，连接，因为是的中点，所以，若平面平面，又平面平面，所以平面.又平面，所以，与矛盾，所以D错误.故选：C.8．B【分析】根据对数函数性质判断即可.【详解】由已知条件得，，所以.故选：B.9．A【分析】根据条件求出，设椭圆的左焦点为，根据椭圆的定义将转化为，根据三角形中两边之差大于第三边求解.【详解】设椭圆的半焦距为，由题意，得，所以.设椭圆的左焦点为，则，在椭圆内部，且，所以.故选：A10．C【分析】设公差，利用等差中项概念得方程，解方程求出，继而利用等差数列求和公式计算即得.【详解】因为数列的公差为则，因成等差数列，则有，即，两边取平方整理得，再两边取平方整理得，，解得或（因，故舍去）.故当时，.故选：C.11．D【分析】对于A，代入，计算即可，对于B，C，D选项，由，画出函数的部分简图，依次判断即可.【详解】对于A，，所以A正确；，画出函数的部分简图，如图：

由图象，知的最小正周期为，所以正确；又的图象关于直线对称，由周期性，知的图象关于直线对称，所以C正确；因为在上单调递增，在上单调递减，由的周期性，知当时，在上单调递增，在上单调递减，所以D错误.故选D.故选：D12．A【分析】设圆锥的底面半径为，高为，利用圆锥体积公式可得，结合可导数求出圆锥体积最大时，，，延长交于点，连接，则四边形是平行四边形，所以直线与所成的角为或其补角，求出，即可求解.【详解】如图，圆锥的母线长.设圆锥的底面半径为，高为，则，圆锥的体积.令，则.令，得或.因为，易知在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时.因为，所以.延长交于点，连接，则四边形是平行四边形，所以，所以直线与所成的角为或其补角.在等腰三角形中，，所以，所以直线与所成角的余弦值为.故选：A.13．2【分析】首先求出曲线在点处的切线斜率，结合该切线与平行即可求解．【详解】因为，所以，所以，故答案为：2．14．【分析】设公比，由条件列出方程，求出公比和首项，代入等比数列求和公式计算即得.【详解】设等比数列的公比为，由，得，所以，又，故.故答案为：.15．##0.4【分析】先列出从6名员工中选出2名员工的基本事件总数，再列出来自不同车间的一名男员工和一名女员工数量，二者比值即为结果.【详解】设3名男员工分别为名女员工分别为，其情况如下表：钳工车工焊工男员工女员工则从6人中选出2人的基本事件有，共15个，其中满足条件的基本事件有，，共6个，所以选出的2人恰好是1名男员工和1名女员工，且他们来自不同车间的概率，故答案为：.16．2【分析】第一空，利用向量平行的性质与平行线分线段成比例得到，从而得到，由此得解；第二空，利用余弦定理，分别在与中，得到与，从而得解.【详解】如图，由题意，知，设双曲线的焦距为，则.由，得，且，所以，所以，即，所以双曲线的离心率.连接，设，则.在和中，由余弦定理的推论，得，化简整理，得，所以在中，由余弦定理的推论，得.故答案为：；.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）.17．(1)(2).【分析】（1）由正弦定理得到，结合，得到；（2）由余弦定理得，由面积公式求出答案.【详解】（1）由和正弦定理得，.因为，所以.因为，所以.（2）由余弦定理，得，所以，即，解得，所以的面积.18．(1)男生组､女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票(2)表格见解析，没有的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关.【分析】（1）根据频率分布直方图结合条件即可求出男生组、女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票；（2）根据（1）得计算结果得出列联表，再进行卡方检验计算，根据临界值表可得出结果.【详解】（1）由频率分布直方图得，男生组得分在80分以上（含80分）的有（人），女生组得分在80分以上（含80分）的有（人），男生占比为，女生占比为，所以男生组分得票数为，女生组分得票数为，所以男生组、女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票.（2）由（1）知，男生组得分在80分以上（含80分）的有9人，80分以下的有51人；女生组得分在80分以上（含80分）的有21人，80分以下的有39人，所以得如下列联表：男生女生合计92130513990合计6060120根据列联表中数据计算，得，根据临界值表可知，没有的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关.19．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）用线面垂直得到线线垂直；（2）证明线线垂直，结合第（1）问的线线垂直，即可得到线面垂直．（3）将几何体的体积为转化为几个体积之和差，全部用表示出来，后根据，解不等式即可．【详解】（1）如图，连接.因为是正四棱柱，所以底面为正方形，且平面，所以.又平面，所以.又平面，所以平面.又平面，所以.（2）当时，为的中点，所以，所以.又，所以，所以.由（1）知，.因为平面，所以平面.（3）因为为棱上一点（含端点），且，所以.又，则，因为，所以，解得，即的取值范围是.20．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出，分和两种情况讨论的正负，从而得到的单调性；（2）由（1）可知，且，从而将问题转化为证明，令，结合导数求出的范围即可证明.【详解】（1）的定义域为.①若，则，所以在上单调递增；②若，令，此时，(i)当，即时，，所以在上单调递增；(ii)当，即时，方程的两个实数根为，且，当或时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）有两个极值点，结合（1），知，且是方程的两个实数根，所以，所以.令，则.因为，所以，所以在上单调递减，所以，即，证毕.21．(1)(2)存在，【分析】（1）由于，所以四边形为平行四边形，得到代入抛物线方程，解出即可．（2），即．设直线方程，与抛物线联立方程组，用韦达定理，得到.将式子线段长度全部用坐标表示，消元后，结合韦达定理的结论，即可求解．【详解】（1）因为当时，，所以四边形为平行四边形，所以即所以将代入，得，解得所以抛物线的方程为.（2）如图，由题意，得.设直线斜率不能为0，故其方程为，则.由，得，所以.假设存在实数，使得，即.由题意，知，所以.又，所以，即存在实数，使得成立