泛函分析第1章-预备知识

预备知识泛函分析是现代数学的重要分支之一，它起源于经典数学和物理学中的一些变分问题，是分析数学的高度开展。其内容主要涉及无穷维空间及其上定义的算子和泛函的根本理论，并且综合地运用了代数、几何与分析等经典学科中的观点和方法。为了学好泛函分析，了解实数空间及其上函数的有关理论是十分必要的。1.1集合的一般知识1.1.1集合及其运算1.集合的概念集合式现代数学的一个根本概念。一般地说，把具有某种公共特性的或满足一定条件的对象全体叫做集合，简称集。其中每个对象叫该集合的元素。本书根本上用大写字母表示集合，用小些字母表示集合的元素。集合的特点：集合具有任意性、确定性和互异性。即任意一些对象都可构成集合，集合中的每一个元素必须是确定的，集合中的每个元素都是不同的。集合的表示方法：列举法、解析法、区间法。列举法是把集合元素一一列举出来，用花括号扩上，如集合；解析法是把集合中的元素的公共属性描述出来，用花括号扩上，如集合表示所有大于等于且小于等于的实数集全体；区间法适用于实数集合分段表示的子集，如表示大于等于且小于等于的实数集。表示大于且小于的实数全体。设是集合，是集合中的元素，记为，而记号表示不是中的元素；不包含任何元素的集合成为空集，记为；给定，两个集合，如果中的每个元素都属于，那么说是的子集，记为或；规定集市任何集合的子集；假设且，那么称与相等，记为；假设，，那么称为的真子集；2.集合的运算集合的并与交：设，是两个集合，由集合与的全体元素构成的集叫与的并，记为，即；所有同时属于集合。差集与余集：设与是两个集，由集中不属于集中的那些元素组成的集合叫与的差集，记为；特别当时，常称差集为关于的余集或补集，记为，如果我们仅考察某固定集的某一些子集时，那么常记为。由定义易证集的运算满足如下运算规律：幂等律；交换律；结合律；分配律；律。证明：我们只证，其余留给读者自证。设，那么，可知，必存在某个，有，故，从而，这就证明了；反之，，设，那么存在某一个，使，即，有，这说明，所以。由所得两个结果，知。集合的运算表达了“对偶”原理，也就是说，当一个集的关于关系式成立，那么将式中和分别换成和时，所得的关系式也成立。而且律也给我们提供了讨论集合有关性质时，可利用其补集的有关性质讨论的方法，这很重要。直积：设施给定的非空集合，所有有序元素组为元素组成的集合称为与的直积，记为，即。例如平面点集就是实数集与它自身的直积。类似地，有限个非空集，它们的直积定义为：，直积是集的重要运算之一。上限集与下限集：设是任意一列集，由属于上述集列中无限多个集的那些元素的全体组成的集成为这一集列的上极限或上限集，记为：不难证明：同样，属于上述集列中每个集的元素全体所组成的集〔除有限个外〕，称为这一集列的下限集或下极限，记为。它可表示为：由上限集，下限集的定义易知，。关于上限集、下限集还有如下结论：〔1〕；〔2〕。证明：我们利用来证明〔1〕式。记设，那么对于任意取定的，总有，即对任意，总有，故。反之，设，那么对任意的，总有，即总存在，有，所以，因此。〔2〕式同样可以证明。例1．1设是如下一列点集：求和解：因为，所以如果，那么称集列收敛，将这一集称为的极限，记为。如果集列，那么收敛于极限集。如果集列满足，那么称为增加〔减少〕集列。增加与减少的集列统称为单调集列。易证单调集列是收敛的。如果增加，那么；如果减少，那么，请读者自证。映射映射是函数概念的推广，是研究集合与集合之间的对应关系，它是现代数学中的根本的概念之一。映射与逆映射：设是两个非空集合，如果按照某一对应法那么，对每一个，在中有唯一确定的一个元素与之对应，那么称为定义在上且取值于内的一个映射，记为，并将与之间的关系记为。此时称为的定义域，而称为的值域〔或像〕。假设，那么称是满射，即为到上的映射。如果对每一个，存在唯一的，有，那么说是上的一个单射，或说是到上的一一映射。此时的逆映射：存在，且。假设为数集，映射称为函数。显然，任何一个严格单调的函数，都可以看成它的定义域到它的值域的一一映射。如函数是到上的单调函数，是一一映射。函数虽然是一一映射，但不一定是单调的，如上的函数不是到上的单调函数，但是一一映射。不过我们已有结论：连续函数是一一映射的充要条件是严格单调的。恒等映射：假设映射满足条件，那么称为上的恒等映射〔或单位映射〕，在不致引起混淆的情况下，可简记为。复合映射：设是两个映射，那么称映射且为与的复合映射，记为。映射的性质：设为一映射，都是的子集，那么假设，有；；。证明留给读者。关系的有关概念自然界各对象间的相关性是科学研究的重要内容，抽象为数学问题就是考察集合间元素的彼此联系，其中重要的根本概念之一就是关系〔这里只介绍二元关系〕。关系：设、是两个集合，所谓与的一个关系是直积的一个子集，即，此时用来表示，并说在的意义下，与的意义相关；而集与集分别称为的定义域与值域。例如，映射：就确定了集合与之间的一个关系，即等价关系:设为给定的一个子集，假设关系，满足如下条件：〔1〕自反性任意；〔2〕对称性假设，那么；〔3〕传递性，，那么；那么称为上的一个等价关系，此时假设，记为。二元关系有各种不同的类型，其中等价关系占有很重要的地位。例1.2〔1〕设表示一个学校在校学生之集，是中一个二元关系，此时我们规定：住同一宿舍，那么是中一个等价关系。〔2〕整数集中的同余关系是一个等价关系。这里“”表示能被整除，如等。1.1.3可列集自19世纪70年代以来，由德国数学家Cantor所开创的无穷集合理论，已成为现代数学的根底，根据两个集合所包含元素的多少程度来决定其区别，他的根本方法就是利用对等的概念。以后常用表示自然数集，表示有理数集，表示整数集，表示实数集，表示复数集。它们都是常用的无限集。集合分为两类：有限集和无限集。空集与只含有有限个元素的集合称为有限集，其余的称为无限集。对于一个集合来说，其中元素的多少是最根本的问题之一，如何比拟两个集合元素的多少呢?在有限集的情况下，我们可以不必一一数出两个集合中元素的个数，而采用在两集之间建立“一一对应”的方法。例如，要比拟某教室里的学生数与座位数谁多谁少，如果每个学生都有一个座位，便可断定学生数和座位数是相同的；假设每个学生都坐一个座位后，还有空座位多出来，那么可断定座位数比学生数多。；假设每个座位上都坐一个学生后，还有学生没有座位，那么可断定座位数比学生数少。我们可以用这样的方法，研究比拟无限集元素的多少，并对无限集“个数”进行分类，先引进对等概念。【定义1.1】设、是两个集合，如果存在从到一一映射，即既是单射，也是满射，那么称与对等，记为。规定空集与自身对等，即。显然，两个有限集相互对等的充要条件是他们的元素个数相同。对等关系“”，由定义知具有三个根本性质：〔1〕自反性；〔2〕对称性假设，那么；〔3〕传递性假设，那么。例1.3证明{正整数全体}{正偶数全体}。这里只需令，〔是正整数〕即可。例1.4证明。证明：只需对每个，，令，那么是到上的一一映射，所以。例1.3．例1.4说明无限集可以和它的一个真子集一一对应，这对于有限集来说是不可能的。【定理1.1】无限集必与它的某真子集对等。证明：设为一个无限集，取出一个元素，因为为无限集，那么；同理，又从中取出元素，依此方法，可选取一列互异元素，记余集，那么为的真子集。定义映射为当，且，那么明显看出，为到上的一一映射，故。【定义1.2】凡与自然数集对等的集合称为可列集〔或可数集〕。由定义可知，假设是可列集，那么中全体元素可表成无穷序列的形式如整数集及三角函数系都是可列集。为得到更多稍微复杂的可列集的实例，县考察集合的某些性质。【定理1.2】任意无限集必含有可列子集。证明：设是一无限集，取，由于是无限集，所以也是无限集，取，显然，且，依此方法，从中可取出个这样的互异元素是无限集，取，显然，且和都互不相同，这样有数学归纳法，得到的一个无限子集，它显然是一个可列集。类似可证明，可列集的子集假设不是有限集，那么一定为可列集。【定理1.3】有限集或可列个可列集的并仍是可列集；可列个有限集的并〔假设为无限集〕，也是可列集。证明：不失一般性，可假定可列集列的情形来证明，并可假定每个是可列集且，于是有：↗↗↗↗↗↗↗↗↗↗↗↗我们依对角线原那么〔箭头所示〕可把中全部元素排成列如下形式故它是可列集。由此我们可以得到一个有趣的例子：有理数集是可列集。事实上，因每个有理数都可写成既约分数，其中与皆为整数，且规定。对每个固定的是一可列集。明显为可列个可列集的并，故可列。【定理1.4】社有一组可列集，那么直积也是可列集。证明：只须证明的情形，一般情形可由归纳法获得。设，那么为可列集之并，故可列。例1.5有理系数多项式全体为可列集。事实上，容易知道零次有理系数多项式即为有理数，因而其全体是有理数集，故可列。对每个固定的，我们证明全体次数的有理系数多项式的集合可列。任取次数的有理系数多项式那么其与直积集中元素一一对应，其中，故推得次数的有理系数全体可列。从而有理系数多项式全体是可列集。但也存在不可列的无限集。【定理1.5】点集是不可列的无限集。证明：用反证法，我们证明不可列。假设可列，那么其中全体实数可排成一列，将每个用十进制无限小数表示，那么有其中所有的都是从中取值，并且对每个，数列应有无限个不为零，即小数应改写成。作十进制小数，当时，令；而假设，那么令。明显，但因对每个，故，这与假设相矛盾。【定义1.3】设是两个集，那么：假设与对等，那么说与有相同的势〔或基数〕，记的势为，的势为，那么。〔2〕记的势为〔或〕，又假设不与的任一子集对等，那么说的势小于的势，记为〔或〕。注：〔1〕势是集合元素个数的一般化，当为有限集时，就是中元素的个数。〔2〕对有限集而言，其真子集的势一定小于它本身的势。〔3〕集的势称为连续点集的势，并且明显大于可列集的势。由例1.4知。【定理1.6】设为有限集或可列集，是任一无限集，那么。证明：因是无限集，又定理１．２知，存在可列子集，不失一般性，设，由于仍是可列集，故，再注意，可推得。即。由公式可建立点集与点集之间的一一对应，故。设无理数全体为，那么。故无理数集的势为连续点集的势。据此，我们可得到这样的认识：无理数要比有理数多得多。1.2实数集的根本结构众所周知，由于实数与直线建立了一一对应关系，使得实数和几何图形有机地结合起来，实数成为十分有意义的一类数集。我们在中学就已经知道实数包括有理数和无理数，然而并不清楚有理数与无理数的本质区别是什么。从历史上看，人们在公元前古希腊时期业已发现了不可公度线段，指出了“无理数”的存在，但有关实数的根本理论却直到19世纪末，为奠定微积分根底的需要才完整地建立起来。1.2.1建立实数的原那么及实数的序关系实数是在有理数根底上扩充出的完备数集，有理数全体组成的集合又构成一个阿基米德有序域，有理数扩充到实数后，首先要仍然构成阿基米德有序域，这很重要。【定义1.4】数域构成阿基米德有序域，是指满足如下三个条件：〔1〕是域，即在中定义了加法“+”与乘法“·”两个运算，使中任意元素满足：①加法结合律：；②加法交换律：；③乘法结合律：；④乘法交换律：；⑤乘法关于加法分配律：在中存在，使得对任何有，称“”为零元素；对每一个，存在，使，称“”为的反元素；在中还存在，使对任何，有，称“”为单位元素；对任一非零元素，，称是的逆元素。〔2〕是有序域，即在中定义如下性质的序关系“”，满足：①传递性假设，那么；②三歧性中任意两个元素之间存在这两种关系必居其一，且只居其一。又当序关系与加法、乘法运算结合起来，有如下性质：加法保序性，即假设，那么对任何，有；乘法保序性，即假设，那么。〔３〕满足阿基米德公理，即对中任意两个元素，必存在正整数，使得。有理数上定义普通加法“＋”，减法“－”，乘法“×”，除法“÷”，实际的大小关系即构成一个新的阿基米德有序域。通过有理数我们可以构造一个新的阿基米德有序域，而且能使确界原理得以成立〔具有完备性〕，并以有理数系作为一个子集，特别当有理数作为新数〔实数〕进行运算时，仍保持其原来的运算规律，这就是我们构造的实数。用有理数构造上述新数〔实数〕的方法很多，如戴得金〔〕分化法，康脱〔〕根本列法及无穷小数公理法，等等，这些方法可在相关数学分析书中查到，由于较抽象，这里不作介绍。1.2.２确界与确界原理我们知道，实数集可被定义为所有无限小数的集合，构成了一个阿基米德有序域，而且以有理数集作为其子集。现在讨论的完备性，这是与的本质区别。【定义1.５】设是中的非空子集，假设存在实数，满足：对，有，即是的上界；〔２〕对，至少存在一个，使，即任何小于的数必定不是的上界，那么称是的上确界，记为；假设存在，满足：〔１〕对，有，即是的一个下界；〔２〕对任给的，至少存在一个，有，即任何大于的数必定不是的下界，记为。规定：当无上界时，；当无下界时，。例１.６试按确界定义验证数集且的下确界为０，上确界为。证明：对，显然，，所以是的下界，对，存在，使，故。对，因为对，可知，所以是的上界，对〔不妨设〕取，那么，所以。【定义1.7】〔确界原理〕设是的非空子集，假设有上〔下〕界，那么在中存在上〔下〕确界。定理1.7就是实数集的完备性定理----确界原理，它的证明可在较详细的数学分析教科书中找到。由于需较多的准备知识才能证明这一原理，这里从略。注：上诉确界原理只有在实数集上才能成立，而在有理数集上却不一定成立.如例1.6中的数集，在中存在上确界，而在中却不存在上确界，因为。现在简要介绍一般的序概念，它是由实数集的大小关系抽象而得。【定义1.6】对于非空集合中某些元素对与，定义了序的关系〔比拟关系〕，并且满足如下条件：〔1〕对，有；〔2〕假设，且，那么〔〕；〔3〕假设，且，那么；那么称为半序集。特别当中任两个元素与，关系是与至少有一个成立时，那么称为半序集。例如，实数集的所有子集构成的集合按包含关系定义序为。那么为半序集。类似实数集，在半序集中可引入上〔下〕界概念及上〔下〕确界概念：设为半序集的子集，，假设对，都有，那么称为的一个上〔下〕界，且称在中是上〔下〕确界，并记为。另外还有如下概念：【定义1.7】设为半序集，，，假设对，都有，那么称为中的最大元素；，假设，有，那么必有，就成为的极大元素。任何最大元素也是极大元素，但反之一般不成立。当为的极大元素时，可能存在一些与不存在比拟关系。一般情况下，半序集的极大元素不一定是唯一的。例如，集由两个元素组成，规定序关系为，，那么为半序集。此时，与都是的极大元素，但无最大元素。类似可定义最小元素与极小元素的概念。以下的引理在泛函分析地根本理论中常被用到。在集合论中是研究“无限过程”的一个逻辑工具〔常叫做超限归纳法〕，并且作为公理被成认。【引理】〔Zorn〕如果半序集的每个全序自己都有上界，那么在中比存在极大元素。实数集的度量结构以微积分为核心的数学分析是建立在极限理论根底之上的，通过引入极限的概念，我们研究了函数的许多分析性质，而极限概念最重要的工具就是几何学中距离的概念。在解析几何里，我们知道于实直线数轴建立了一一对应关系，在数轴上两点坐标为，那么两点距离为实数与之差的绝对值，即，易知距离具有以下性质：〔1〕且；〔2〕；〔3〕数轴上任意三点，有。我们以距离为根底引入了数列极限与函数极限的概念。有理数关于极限运算是不封闭的，例如是无理数，它是无限不循环小数，对，，这样的有理数列，有，此时称是不完备的，那么实数集是否完备呢？定理1.7已证明了实数集的完备性，以下关于实数度量结构的几个根本定理与确界原理是等价的，它刻画了实数完备性的几个最根本的特征。【定理1.8】〔单调有界原理〕单调有界数列必有极限。注：单调性概念是建立在实数集的序结构根底上的，对于数列，假设，那么称为单调增加数列；假设，，那么称为单调减少数列，两者统称为单调数列。假设序关系“”改为“”时，常称为严格单调数列。【定理1.9】〔区间套定理〕设闭区间列满足条件：〔1〕；〔2〕；那么存在惟一实数。注：定理中的闭区间列不能改为开区间，如满足上述〔1〕，〔2〕两个条件，但并不存在惟一实数。事实上，假设存在，那么，故时，，所以与矛盾。【定理1.10】〔Bolzano-Weierstrass定理〕有界数列必存在收敛子列。注：一个实数称为非空数集的聚点，是指存在数列且使。例如是的聚点，因此，把定理1.10称为聚点原理，它等价于有界无穷数集必存在聚点。【定理1.11】〔Heine-Bore有限覆盖定理〕设为有界闭区间，对任意一个开区间簇，只要〔此时称开区间簇为闭区间的一个开覆盖〕，那么从此开区间簇中可选取出有限个开区间覆盖，即，并称这个开区间为闭区间的有限子覆盖。注：定理1.11结论只对闭区间成立，而对开区间那么不一定成立。如开区间集合构成开区间的一个覆盖，但不能从中选出有限个开区间覆盖，这反映了中的开区间是不完备的，但的任一闭区间是完备的。【定理1.12】〔Cauchy收敛准那么〕点列收敛的充要条件是对，当时，有。常称满足充分条件的点列为Cauchy列，它告诉我们两个事实：一个是给出了判断点列是否收敛的方法；另一个那么给出了实数集的一个重要特征，即实数集内每个Cauchy列一定收敛。实数集的这一特征称为完备性。它等价于实数集关于极限运算的封闭型。定理1.7至定理1.12时有关实数完备性的6个等价根本定理，可按定理1.7定理1.8定理1.9定理1.10定理1.11定理1.12定理1.7顺序给予证明。关于以上定理的证明，建议读者找一本“数学分析”书，读一读相关的内容，这将对理解实数的根本特征，加强分析理论的根底，掌握数学思维方法，提高数学抽象思维能力都是很有益处的。下面介绍几个依赖于实数集结构的有用概念。【定义1.8】设为实数列，定义的上极限与下极限为：；。注：〔1〕令，那么明显是单调减少序列，于是可记，同理，。〔2〕假设是有界数列，且，那么上极限是的最大聚点，下极限是的最小聚点。〔3〕任给点列，不一定存在，但的上〔下〕极限总是存在的〔极限可以是正〔负〕无穷大〕。〔4〕存在。〔5〕。例１.71.3函数列及函数项级数的收敛性由于实数集R的结构，对于其上的一个函数来说，我们不但可以研究它的代数运算，而且可以讨论分析性质，如连续、微分、积分运算等。函数列和函数项级数在许多实际问题中都有重要应用，因此，研究它们的极限函数或函数的性质具有十分重要的意义。而一致收敛的函数列最重要的性质就是能把函数列或函数项级数各项所具有的分析性质〔如连续、可微、可积等〕保存给它们的极限函数或和函数。这在形式上表现为两个极限过程可以交换次序而不影响计算结果。本节概要地研究函数列与函数项级数的一些分析性质。函数的连续性与一致连续性在分析学研究领域，函数的连续性是最重要的。【定义1.9】设E是R的子集，是E到R的函数，，假设对，0，使当时，有，那么称在点连续；假设在E上每一点都连续，那么称在E上连续。注：上述连续性的定义是局部的，即所需要的是既与有关，也与有关。我们研究的初等函数在其定义域上都是连续的。【定义1.10】设E是R的子集，是E到R的函数，假设对任意给定的0，存在，当E，只要那么称在上一致连续。例1.8证明证明：，对，只要取，当时，就有所以在上一致连续。显然，在E上一致连续，必在E上连续；但在E上连续，未必在E上一致连续。如函数在上是连续的，但在上非一致连续。事实上，对取，当充分大时，虽然可任意小，但。故不存在，当n充分大时，虽然可以任意小，但恒成立。所以f在上不一致连续。原因是函数的连续性概念中的是由确定的，而一致连续性概念中的是和E中取什么点无关，连续性是“局部”的概念，而一致连续是“全局”的概念。虽然一般情况下，E是R中的闭区间，我们有如下结果：【定理1.13】〔Cantor〕假设函数在上连续，那么在上一致连续。证明：用反证法。假设在上不一致连续，于是必存在某一＞0，使对＞0，，而。取那么存在，，而。由Bolzano-Weierstrass定理，有界数列存在子列收敛，即，，推知，注意到在处连续，那么有0，矛盾，故在上一致连续。函数列和函数项级数的一致收敛【定义1.11】设是定义在上的函数列，是的函数，如果对每一个有，那么称在上〔逐点〕收敛于，并称是在上的极限函数；类似地，定义在的函数项级数，假设对每一个，其局部和函数列为在上收敛，其极限函数记为，那么称在上，且有我们要讨论的问题是上述函数列与函数项级数的局部和函数列中，每一个函数在上所具有的分析性质〔如连续、可微、可积〕是否能在其极限函数或和函数中保存下来。如当在上为连续函数列时，是否对，必有等式成立，这个问题的数学本质就是与时，这两个极限运算是否能随意交换次序。下面通过几个简单的例子说明函数列具有的分析性质，不一定在极限函数中保存。例1.9设函数项级数由于，所以。而当时，。所以由此可见，对于处处连续的函数其和函数却出现了不连续点，这就使得例1.10设函数列其极限函数为，而不收敛于，即例1.11设函数列其极限函数为，因为，故所以这些例子说明，仅有收敛的概念，并不能保证极限运算次序可以交换，为此，必须引入一种新的，更强的收敛方式——一致收敛。【定义1.12】设是的子集，是定义在上的函数列，是上的函数，假设对任给的，存在自然数使得时，对一切x,恒有那么称一致收敛于并记。又假设函数项级数的局部和序列一致收敛于和函数，那么称在上一致收敛于。【定理1.14】函数列在上一致收敛的充要条件是任给的，存在自然数，只要，对任何，恒有。【定理1.14】函数项级数上一致收敛的充要条件是对，存在自然数，当时，对一切和一切，都有。定理1.14和定理1.14称为判断函数列与函数项级数一致收敛的Cauchy收敛准那么。【定理1.15】〔WeierstrassM-判别法〕设定义在上的函数项级数满足而正项级数收敛，那么级数上一致收敛。M-判别法是判定函数项级数一致收敛的最简单且最常用的判别法。例1.12函数项级数上一致收敛。因为，，而收敛，由定理1.15知，函数项级数在上一致收敛。一致收敛的函数列与函数项级数的性质一致收敛的函数列与函数项级数最重要的性质就是节所阐述的，它可以把各项所具有的分析性质保存给它的极限函数或和函数，这在形式上表现为两种极限运算过程可以交换次序而不影响起结果。【定理1.16】设的子集，定义在上的函数列在上一致收敛于且每个在上连续，那么在上连续，即。证明：只要证在上每个点连续即可。任意取定，对任给的，因一致收敛于〔在上〕，那么存在，有，。而在点连续，故有，当时，有。于是，当时，有这就说明在点连续，由有类似可得：【定理1.16】假设函数项级数在上一致收敛于，且在连续，那么在上也连续。【定理1.17】设函数列在闭区间上一致收敛于，且每个，那么即极限与积分运算可交换次序。证明：由本定理条件及定理1.16知在上连续，因而都可积。现在证明。对任给，因，那么存在，当时，，从而只要时，有因此类似可得如下定理。【定理1.17】设函数项级数在闭区间上一致收敛于，且每个，那么【定理1.18】设函数列在闭区间上收敛与函数，每个上有连续导函数，且在上一致收敛于，那么即证明留给读者。【定理1.18】设函数项级数在闭区间上收敛于函数，且每个，在上有连续导函数，级数在闭区间上一致收敛，那么上可导，且。注：一般来说，定理1.16、定理1.17和定理1.18逆命题不真。例1.13利用几何级数，，求的和。解：由级数收敛的公式判别法故当时，幂级数绝对收敛。设其和函数为，当时，因为，而收敛，故在闭区间上一致收敛于，由定理1.17得，又由连续性定理1.16知，上连续，于是对上式两端求导后又得而是任意的，所以在上有意义。幂函数作为一类特殊的函数项级数，它在很多实际和理论问题中都有重要应用。幂级数的前项和是一个多项式函数，根据函数项级数理论，我们可以得到幂级数许多重要性质，例如，在收敛区间内有各阶导函数，并且可逐项求导任意次。因此，一般说来，上的连续函数不一顶可以表示为一个幂级数，但是却可以找到多项式函数来逼近，其误差可以充分小，这就是著名的Weierstrass逼近定理。【定理1.19】设，那么对，必存在多项式，使任一，有定理的证明较复杂，读者可在内容较详细的数学分析教科书中找到。习题1.31.证明在内不一致连续。2.证明在上一致连续。3.证明在上不一致连续。4.设有函数列及函数在子集上有定义，记证明5.证明函数列在上一致收敛。6.证明定理1.18及定理1.18。7.证明在内连续，并且它有各阶连续导函数。8.证明在内连续。9.利用几何级数，求。10.求级数的和。Lebesgue积分自Newton等科学家提出并最终为Riemann给出严密的定积分概念以来，经典分析得到了长足的开展。以后人们又给出了广义积分概念，但可积分的函数类仍不够广泛，并且这种积分的运算性质很不灵活。直到1902年法国数学家Lebesgue成功地引入了一种新积分，后人称之为Lebesgue积分，由于它在很大程度上摆脱了Riemann积分的困境，大大扩充了可积函数的范围，因而，已成为现代数学最常用的根本工具。一维点集的测度1.开、闭集及其测度直线上各种区间(开、闭、半开半闭区间)的长度自然是其左、右端点之差,那么能否把这种“长度”的概念拓广到更一般的点集上呢?这是可行的。事实上，一维Lebesgue测度就是由此而得来的。先介绍两类特殊的点集——开集与闭集。【定义1.13】设称G是开集如果对每个，存在开区间，使。特别地，当开区间但时，称是G得构成空间，称为这个构成区间的端点。例如，，是开集，且是G的构成区间。又如，它也是开集，且与是G的构成区间。【定理1.20】R中有界非空开集可惟一表示成它的构成区间之并，且这些构成区间至多可列个。证明：先证每一点都含在的一个构成区间中。设，那么由开集的定义，存在有限开区间，使。记。由于是有界数集，那么。我们来证恰好是包含的构成区间。先证：设，那么，故可取使，由的定义知，。而，那么。再证。假设，那么存在开区间，那么这与的定义矛盾！同理，可证。最后，根据构成区间的定义，的任何两个不同构成区间均互不相交，于是在每个构成区间中取定一个有理数，那么这些有理数一定互不相同，且它们的个数代表构成区间的个数，因此构成区间的个数是至多可列的。【定义1.14】设为R中有界开集，=的构成区间，我们称为开集的测度，记为，注：因为有界，所以存在有限区间，这样有，因此是有意义的。【定义1.15】设为中非空集，称为闭集，如果余集是开集。特别地，当是有界集时，是闭集等价于假设开区间，那么是开集。这样，对于有界闭集，定义它的测度为为了使用上更加方便，所以我们采用定义1.15的方式给出有界闭集的测度定义。对于一维点集的开，闭集有如下根本性质：〔1〕既是开集也是闭集。〔2〕任意多个开集的并是开集；任意多个闭集的交是闭集。〔3〕有限多个开集的交是开集；有限多个闭集的并是闭集。〔4〕一个集合如果包含它的所有聚点，那么这个集合一定是闭集。〔5〕如果开集是无界集，那么它的构成区间中一定含有形如或这样的区间，特别时，构成区间只有一个就是。因此定理1.20的结论对于无界开集也成立。上述性质⑴~⑸，我们将在第2章“度量空间”中的开、闭集讨论中给出证明。易证开、闭集的测度具有以下性质：〔1〕假设是有限个或可列个开集的并，那么；如果互不相交，那么。〔2〕设均为有界闭集，等互不相交，那么。〔3〕设为闭集，为有界开集且。2.可测集【定义1.16】设所有包含的开集的测度的下确界，称为的外测度，记为；所有含于中的闭集测度的上确界称为的内测度，记为时，称为可测的，这时的外测度与内测度统称为的测度，记为。不能证明，中的开区间、闭区间、半开半闭区间等这样一些简单集都是可测的，且。特别是由一点组成的集是可测的，其测度为0。【定理1.21】有界集为可测的充要条件是对任意的，存在开集，与闭集。证明：设可测，那么由内、外测度定义，对，存在开集，而，故，由上述测度的性质⑶知，。假设对0，存在开集与闭集,使那么，由于，故得，由的任意性得，有因，故，即是可测的。不难证明可测集具有以下性质：〔1〕设根本集，假设,且可测，那么E关于X的补集也可测。〔2〕假设可测，那么也可测，且假设，那么。〔3〕设且每个均可测，那么E也可测;特别，当两两不相交时，成立。〔4〕设均可测，那么也可测。注：由于有界开集可表示成有限个或可列个开区间的并，由可测集的性质可知开集是可测的，且与开集定义的测度一致。有界闭集可看成是开集的补集，因而也是可测的，它的测度与原来规定的闭集的测度是一致。【定理1.22】〔1〕设渐张开可测集列，即是可测的，且。〔2〕假设中的渐缩可测集列，即是可测的，且。证明：〔1〕因为是渐张的可测集列，那么E可进行以下分解：可测，且其中右边各项互不相交，由可测集性质〔3〕知，。〔2〕设，那么由得，由〔1〕之证，得，又，那么故可测函数本节将引入一个新的函数类——可测函数，为下一节Lebesgue积分研究做准备。我们将看到在可测函数中进行运算，如代数运算，取极限运算等是相当方便的，而且所得结果仍是可测函数。【定义1.17】设是定义在可测集上的实函数，如果对每一实数，集恒可测，那么称上的可测函数。在E上可测，可推知可测，从而由等式可知，也可测。把定义1.17中条件恒可测，用以下三个条件之一替换所得定义是等价的：〔1〕可测；〔2〕可测；〔3〕可测。下面引进占有特殊地位的简单函数。【定义1.18】设定义在可测集上，假设可分为有限个互不相交的可测集，且每个都等于某个常数，那么称为简单函数。假设引进特征函数那么。简单函数显然是可测函数。其实不妨就等互不相同情形来证明，并且可以假定，那么对任意实数，有每种情况得到的均是可测集，因而是上的可测函数。【定理1.23】是上的非负可测函数，那么存在一列非负递增的简单函数列上处处成立。证明：所述简单函数列可构造如下，对每个自然数，有那么每个。我们来证明对每个,取自然数。由定义可见，当时，有因而。注：由于一般可测函数可表成，其中分别称为的正部和付部，故为非负可测函数。应用定理1.23可得，可测函数能表示成简单函数列的极限。关于可测函数还有如下结论：【定理1.24】〔1〕设是可测集，那么；〔2〕假设在每个可测集上可测，且E=，那么在E上也可测。【定理1.24】假设上的可测函数，那么：，〔当有定义时〕，在上可测。下面引进几个十分有用的概念：【定义1.19】如果命题在上除了某个零测度子集外处处成立，那么称命题在上几乎处处成立，记为。例如，两个函数上称为几乎处处相等〔简记为〕，即是指与不相等的点集的测度为0。再如上的Dirichulet函数即注：〔1〕当是中的区间时，但凡上定义的连续函数或单调函数，均是上的可测函数。〔2〕零测度函数集是十分重要的一类可测集。一列零测度集的并集仍是零测度集，例如任何可列数集是零测度集。特别，有理数集Q是零测度集，但一簇零测度集的并集未必是零测度集。〔3〕我们允许可测函数在一个零测度集上取值为，这时称这类可测函数为几乎处处有限的。关于可测函数的上述性质在几乎处处意义下仍然成立。【定义1.20】例如，那么对，有，而是零测度集，这样我们可说几乎处处收敛于。【定义1.21】设是定义在可测集上的可测函数列，是上可测函数，如果对每个，那么称测度收敛于，记为。下面几个定理十分重要，我们只给出定理内容，证明可在有关实变函数教材中查到。【定理1.25】〔Egorow定理〕设是可测集，，与是上几乎处处有限的可测函数，且在上几乎处处收敛于，那么对任意，存在可测集,满足，且上一致收敛于。【定理1.26】〔Riesz定理〕设在可测集上测度收敛于存在子序列几乎处处收敛于。【定理1.27】〔Lusin定理〕设是定义在可测集上的函数，那么上可测的充要条件是：对，存在闭集，且限制在上是连续的。定理1.27给出了可测函数的根本结构近似于连续函数。Lebesgue积分我们现在介绍以另一种方式把Rieman积分概念推广到更为广泛的函数上去，它是1902年由法国数学家Lebesgue引入的。1.Lebesgue积分的概念【定义1.22】设是定义在有界可测集上的简单函数，且有表达式其中为互不相交的可测集，我们称和式为简单函数上的Lebesgue积分，并记为例1.14定义在区间的Dirichlet函数这里【定义1.23】设是定义在有界可测集上的可测函数，假设为非负可测，定义上的Lebesgue积分为上的简单函数，且。当时，称Lebesgue可积函数。假设为一般可测函数时，如果，那么称Lebesgue可积的，且＝－根据定义1.23可以看出，可测函数上Lebesgue可积，当且仅当上Lebesgue可积，此时＝＋那么自然成立不等式由定义易证如下定理：【定理1.28】设是定义在可测集上的非负可积函数，是定义在上一列递增的非负简单函数，且2.Lebesgue积分的性质以下简单讨论一下这种新型积分的某些性质，今后Lebesgue可积简称“可积”，Rieman可积简称为“可积”。【性质1.1】设是有界可测集上的可积函数，是常数，那么在上可积，且【性质1.2】设是有界可测集上的可积函数，，可测，且两两不相交，那么有＝【性质1.3】设在有界可测集上都可积，且,那么以上性质可直接由定义推出。注意到,我们可得性质1.4。【性质1.4】在有界可测集上可积的充要条件是在上可积。性质1.4与Riemann积分结论是不同的。如在上不是R可积的，但在上是可积。【性质1.5】〔绝对连续性〕设在有界可测集上可积，那么对，存在当时〔〕，有。证明：假设为非负的，由积分定义，对有简单函数使得取使，那么对任何可测集，只要便有又所以假设为一般可积函数，分别考虑其正部和负部，借用不等式并利用已证结果讨论即可证得结论。【性质1.6】〔可列可加性〕设为定义在有界可测集上的可测函数，是可测的，且两两不相交，那么证明：令，那么由条件知m根据积分的有限可加性，有由于m，根据积分的绝对连续性，证得即【性质1.7】〔唯一性定理〕于。证明：设为任意自然数，因为由知，由于故所以。设。于，那么，因此【性质1.8】〔Levi引理〕设是可测集上的非负可测函数列，且那么证明：由条件，存在上的非负可测函数，使，令。对每个自然数，取递增简单函数列使。令那么是非负递增的简单函数列，且，于是由定理1.28得即注：〔1〕本性质未假定的可积性，但当极限存在且有限时，那么可断定的可积性，这一性质说明，可积函数的单调序列积分号与极限号可交换。这是Lebesgue积分比Riemann积分优越之处。〔2〕级数形式的Levi引理：设是在可测集上的一列非负可测函数，那么下面一个性质是Lebesgue控制收敛定理，它在函数论、微分方程与概率论中是一个常用的工具。【性质1.9】〔Lebegue控制收敛定理〕设是可测集上的可测函数列，且假设存在上可积函数，使那么在上可积，且有注：性质1.9条件假设减弱为只须在上几乎处处成立，几乎处处存在，结论仍成立。下面性质阐述了Lebesgue积分与Riemann积分的关系。【性质1.10】定义在有限区间上的函数假设为可积，那么必可积，反之不一定成立。注：对无界函数积分〔广义积分〕性质1.10不再成立。例如，在〔0，1〕上定义的函数是广义积分意义下可积的，但不是可积的。对于无界区间上的广义Riemann积分性质与此类似。性质1.9、性质1.10证明较繁杂，这里从略。例1.15计算解：令那么在上非负连续，从而非负可测。又在上是单调递增的，且由Levi引理知所以此例假设用Riemann几分理论进行计算，就变得相当麻烦，因为函数项级数在上不一致收敛，所以他不满足逐项积分定理的条件。可见Lebegue几分在运算尤其在极限运算方面确实比Riemann几分灵活和方便得多。1.4.4空间上的Lebegue积分所谓空间，是指由个实数所组成的有序数组的全体组成的集合，即中任意两点之间的距离定义为与高等数学中空间相似，可定义空间中的领域、内电、聚点、开集、闭集、有界集等概念。对于定义在空间上函数，我们也可引入Lebegue积分，先引入空间中区间的概念。【定义1.24】设，且称点集为空间中的闭区间，记为或；称点集为空间中开区间，记为或；称点集为空间中的左开右闭区间，记为或；同理可定义空间中的左闭右开区间。当不必要区别是何种区间时，空间中区间统一记为或，并且边长积称为区间的体积，记为对中的开集，我们有如下结论：【定理1.29】空间中的任意一个非空开集均可表示成可数个互不相交的左右闭区间之并。【定义1.25】设为空间中的有界开集