人教A版（2019）选修第二册 导数的运算（含解析）

人教A版(2019)选修第二册5.2导数的运算

(共21题)

一、选择题(共13题)

1.已知f(x)=%24-ex,则/*(0)=()

A.0B.-4C.-2D.1

2.已知函数/(%)=13-8%+加/，且r(%0)=4,则%0的值为()

A.0B.3C.3A/2D.6V2

3.函数/(x)=三的导函数ro)=()

(x-l)ex(x-l)ex(l-x)ex(x+l)ex

A.D.C.D.

XX2X2

4.下列函数求导运算正确的个数为()

xx

①(3y=3log3e

②。喻无)'=高

③(ex)'=ex

④(x-ex\=ex+l

A.1B.3c.4D.2

5若.y=loga(2/一1),则y'=()

4%

--B.

A*(2x2-l)lna2x2-l

2-2-I

C-----------D.

•(2x2-l)lnaIna

6.已知函数/(x)=(2x-l)3,贝lj尸(1)=()

A.8B.6C.3D.1

7.若f(x)=sina—cosx,则/'(%)等于()

A.cosa4-sinxB.2sina+cosxc.sinxD.COSX

8.已知函数/(%)的导函数为/'(%),且满足/(x)=2x/'(l)+lnx,则r(1)=()

A.—eB.-1C.1D.

9.已知函数/(%)=(2%-I)2,则f(l)=()

A.2B.4C.3D.1

10.下列式子不正确的是()

A.(3x2+xcosx)'=6%+cosx—xsinx

B.(lnx+^)'=i-^

C.(sin2x),=2cos2x

11.若点P是曲线y=x2-Inx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为()

A.1B.V2C.—D.V3

2

12.设曲线/(%)=aex-lnx(aW0)在％=1处的切线为l,则/在y轴上的截距为()

A.1B.2C.aeD.ae—1

13.设/o(x)=cosx,AW=/o'W>/z(x)=/i'(x)，…，fn+iM=Ai'(x),neN,,则^Oisto

()

A.-sinxB.—cosxC.sinxD.cosx

二、填空题（共4题）

14.己知函数八%）=芸黑，/1（X）为/（X）的导函数，则r（9=

15.给出下列三个结论：

①若y=®则y'=急；

②若y=e-x,则y'=e-x；

③若y=cosx,则y=-sin].

其中正确结论的序号是—.

16.若函数/（%）=《，则/'（%）=_

17.设曲线y=eax在点（0,1）处的切线与直线%+2y+1=0垂直，则a

三、解答题(共4题)

18.求下列函数的导数.

(1)y=sin(2x4-3)；

(2)y-e-2x+1；

2

(3)y=log2(2x-1).

19.己知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点，0是坐标原点，试在抛物线的

AOB上求一点P,使AABP的面积最大.

jr+2y-4=0

20.求解下列问题.

（1）求函数fM=3^在点（TT）处的切线方程;

⑵求函数/（%）=COSX在点（：，¥）处的切线方程.

21.已知函数/(%)=3%+cos2x+sin2x,rw是/（X）的导函数，且a=r（；），求过曲线y=

X3上一点P（a,b）的切线方程.

答案

一、选择题（共13题）

1.【答案】D

【解析】由题意，得/'（%）=2x+ex,则（（0）=1,故选D.

2.【答案】C

【解析】因为/'（x）=-8+2V2%,

所以一8+2y/2x0=4,解得x0=372.

3.【答案】A

【解析】由fa）=义得，/，（x）=史安"=巴中=经咨，

7XJX2X2X2

所以r（x）=&萨.

故选：A.

4.【答案】D

【解析】根据导数的运算公式，以及导数的运算法则，即可求解，得到答案.

由导数的运算公式和导数的运算法则，可得：

由（3X）'=3xln3所以①不正确；

由Q°g2X）'=看所以②是正确的；

由（e*）'=ex所以③是正确的；

由（x-ex）'=l-ex所以④不正确.

所以正确的个数为2个.

5.【答案】A

2

【解析】因为y=loga(2x-1),

所以y=一空-U=_”_.

」(2x2-l)lna(2x2-l)lna

6.【答案】B

【解析】/'(X)=3-(2x-I)2-2=6-(2x-I)?,

所以r(1)=6.

故选：B.

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】B

【解析】/'(%)=2X(2x-1)x2=4(2x-1),

所以一⑴=4.

故选：B.

10.【答案】D

【解析】利用导数的运算法则以及复合函数的求导法则对各选项逐一验证.

对于A选项，El(3x2+xcosx)'=(3x2)'+(xcosx)'=6%+cosx-xsinx,A选项正确；

对于B选项，(inx+点),=：一妥，B选项正确；

对于C选项，由复合函数的求导法则得(sin2x)'=cos2x•(2x)'=2cos2x,C选项正确；

对于D选项，(等)'="(sm『inx=xcosx-sinz,口选项错误.

11.【答案】B

【解析】设PQo，yo)(3＞0),已知P到直线y=x-2的距离最小，则点P处切线与直线

y=x-2平行.又y'=2x-4，令2&--=1＞软＞0,则与=1，故P(l,l)・此时P到直

xXQ

线x-y-2=0的距离为三器=V2.

12.【答案】A

【解析】因为函数f(x)=aex-lnx(aH0),

所以f'(%)=碇'一：，

将％=1代入，得fc=ae—1,

又/(l)=ae,

所以曲线f(x)在％=1处的切线I的方程为y-ae=(ae-l)(x-1),

整理得y=(ae—l)x+1,

令％=0,得y=1.

所以Z在y轴上的截距为1.

13.【答案】B

【解析】因为/o(x)=cosx,

所以A(x)=f'oM=-Sin%,

f2M=/式%)=-cosx,

%(%)=-2(%)=sin%，

启(%)=尸3(%)=COSX,

所以导函数是以4为周期的函数.2008=4x504+2

所以/2008W=f2M=-COSX

二、填空题(共4题)

14.【答案】1

_cosx(sinx+cosx)-sinx(cosx-sinx)_

【解析】由题，r(x)

(sinx+cosx)2(sinx+cosx)2'

11

故r联廨:+c吟,2

15.【答案】①③

2x-x2

16.【答案】

ex

2xex-x2ex2x-x2

【解析】f'M=

旧)2ex

17.【答案】2

【解析】令y=/(%)，则曲线y=e也在点(0,1)处的切线的斜率为r(0),

又切线与直线工+2y+1=0垂直，

所以((0)=2.

因为fM=eax,

axaxax

所以f(x)=(ey=(e)•(ax)'=aef

所以/'(0)=ae0=a,

故Q=2.

三、解答题(共4题)

18.【答案】

(1)函数y=sin(2x+3)可以看作函数y=sinu和u=2x+3的复合函数，由复合函数的求

导法则可得

y\=y'u-心

=(sinu)'•(2%+3)'

=cosu•2

=2cosu

=2cos(2x+3).

(2)y'=e-2x+1-(—2x+1)'=—2e-2x+1.

2

(3)设y=log2u,u=2x-1,贝ij

y\=y'u,u'x

=焉,以

4X

一(2x2-l)ln2'

19.【答案】因为\AB\为定值，所以要使APAB的面积最大，只要点P到AB的距离最大即可,

即点P是抛物线的切线中平行于AB的切线的切点，设P(x,y).由题图知，点P在“轴下方

的图象上，所以y=-2Vx,所以y'=

因为%B=心，所以一盍=/解得》=4.

由y=-2y/x,得y=-4,

所以点P的坐标为(4,-4).

20.【答案】

⑴因为ra)=(金=(同，=-1甘=-患,

所以r(-D=-^==-p

所以y+l=-|(x+l),

即函数在点(一1,一1)处的切线方程为y=—1x—/

(2)因为/*(%)=-sinx,

所以r(9=-sin：=-日,

所以y~^2=-4),

即函数在点C，号)处的切线方程为y=—4X+号+等.

21.【答案】由/(%)=3%+cos2x+sin2x,得/'(x)=3—2sin2x+2cos2%,

则Q=/(；