第14讲专题探究3整式中的规律探索

第14讲专题探究3整式中的规律探索（解析版）类型一递推型规律探索1．（2023•祥云县模拟）探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（）A．256x9 B．﹣256x9 C．﹣512x8 D．512x9【思路引领】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n﹣1．指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可．【解答】解：根据题意得：第9个单项式是28x9＝256x9．故选：A．【总结提升】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．2．（2022秋•涪陵区期末）某校数学兴趣小组设置了一个数字游戏：第一步：取一个自然数a1＝4，计算（a1+1）（a1﹣1）得到m1；第二步：算出m1的各位数字之和得到a2，计算（a2+1）（a2﹣1）得到m2；第三步：算出m2的各位数字之和得到a3，再计算（a3+1）（a3﹣1）得到m3；…；依此类推，则m2023的值是（）A．63 B．80 C．99 D．120【思路引领】先求出m1，m2，m3，m4，m5的值，找到数字的变化规律，再计算求值．【解答】解：∵m1＝15，m2＝35，m3＝63，m4＝80，m5＝63，……，∴m2023＝63，故选：A．【总结提升】本意考查了数字的变化类，掌握变化规律是解题的关键．3．（2023•沙坪坝区校级开学）有依次排列的3个整式：a，a﹣2，﹣2，将任意相邻的两个整式相加，所得之和写在这两个整式之间，可以产生一个整式串：a，2a﹣2，a﹣2，a﹣4，﹣2，这称为第1次“取和操作”；将第1次“取和操作”后的整式串按上述方式再做一次“取和操作”，可以得到第2次“取和操作”后的整式串；以此类推．下列说法：①当a＝3时，第1次“取和操作”后，整式串中所有整式的积为正数；②第2次“取和操作”后，整式串中所有整式之和为14a﹣28；③第4次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为a﹣8；其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路引领】利用“取和操作”的方法进行操作，对每个说法进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：①当a＝3时，第1次“取和操作”后，整式串为：3，4，1，﹣1，﹣2，∵3×4×1×（﹣1）×（﹣2）＝24＞0，∴当a＝3时，第1次“取和操作”后，整式串中所有整式的积为正数，∴①的说法正确；②∵第2次“取和操作”后，所得的整式串为：a，3a﹣2，2a﹣2，3a﹣4，a﹣2，2a﹣6，a﹣4，a﹣6，﹣2，∴整式串中所有整式之和为14a﹣28，∴②的说法正确；③由“取和操作”的规则可知：第1次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为a﹣4，第2次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为a﹣6，第3次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为a﹣8，第4次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为a﹣10，∴③的说法不正确．故选：C．【总结提升】本题主要考查了整式的加减，正数与负数，有理数的乘法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键．4．（2022秋•市中区期末）有依次排列的3个整式：x，x+7，x﹣2，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，7，x+7，﹣9，x﹣2，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推通过实际操作，得出以下结论：①整式串2为：x，7﹣x，7，x，x+7，﹣x﹣16，﹣9，x+7，x﹣2；②整式串3的和为3x﹣1；③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；④整式串2022的所有整式的和为3x﹣4037；上述四个结论正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【思路引领】根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断．【解答】解：∵第一次操作后的整式串为：x，7，x+7，﹣9，x﹣2，共5个整式，第一次操作后的整式串的和为：x+7+x+7+（﹣9）+x﹣2＝3x+3，∴第二次操作后的整式串为x，7﹣x，7，x，x+7，﹣16﹣x，﹣9，x+7，x﹣2，共9个整式，故①的结论正确，符合题意；第二次操作后所有整式的和为：x+7﹣x+7+x+x+7+（﹣16﹣x）+（﹣9）+x+7+x﹣2＝3x+1＝3x+3﹣2＝3x+3﹣2×1＝3x+1，第三次操作后整式串的和为：x+7﹣2x+7﹣x+x+7+x﹣7+x+7+x+7+（﹣23﹣2x）+（﹣16﹣x）+7+x+（﹣9）+x+16+x+7+（﹣9）+x﹣2＝3x﹣1＝3x+3﹣2﹣2＝3x+3﹣2×2＝3x﹣1，故②的结论正确，符合题意；故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为：3x﹣1﹣（3x+1）＝﹣2，即整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③结论正确，符合题意；第n次操作后所有整式的和为3x+3﹣2（n﹣1）＝3x﹣2n+5，∴第2022次操作后，所有的整式的和为3x﹣2×2022+5＝3x﹣4039，故④的说法错误，不合题意；正确的说法有①②③，共3个．故选：C．【总结提升】本题考查整式的加减，数字的规律型，从所给的式子分析出所存在的规律是解题关键．5．（2023•沙坪坝区校级模拟）有依次排列的3个整式：a，a﹣2，﹣2，将任意相邻的两个整式相加，所得之和写在这两个整式之间，可以产生一个整式串：a，2a﹣2，a﹣2，a﹣4，﹣2，这称为第1次“取和操作”；将第1次“取和操作”后的整式串按上述方式再做一次“取和操作”，可以得到第2次“取和操作”后的整式串；以此类推．下列说法：①当2＜a＜4时，第1次“取和操作”后，整式串中所有整式的积为负数；②第3次“取和操作”后，整式串中倒数第二个整式为a﹣8；③第4次“取和操作”后，整式串中所有整式之和为120a﹣240；其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路引领】根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断．【解答】解：①第1次“取和操作”后，整式串中所有整式的积为：a（2a﹣2）（a﹣2）（a﹣4）×（﹣2），∵2＜a＜4，∴2a﹣2＞0，a﹣2＞0，a﹣4＜0，∴a（2a﹣2）（a﹣2）（a﹣4）×（﹣2）＞0，故①说法错误；②第2次“取和操作”后，产生的整式串是：a，3a﹣2，2a﹣2，3a﹣4，a﹣2，2a﹣6，a﹣4，a﹣6，﹣2，第3次“取和操作”后，产生的整式串是：a，4a﹣2，3a﹣2，5a﹣4，2a﹣2，5a﹣6，3a﹣4，4a﹣6，a﹣2，3a﹣8，2a﹣6，3a﹣10，a﹣4，2a﹣10，a﹣6，a﹣8，﹣2，则倒数第二个整式为a﹣8，故②说法正确；③第4次“取和操作”后，产生的整式串是：a，5a﹣2，4a﹣2，7a﹣4，3a﹣2，8a﹣6，5a﹣4，7a﹣6，2a﹣2，7a﹣8，5a﹣6，8a﹣10，3a﹣4，7a﹣10，4a﹣6，5a﹣8，a﹣2，4a﹣10，3a﹣8，5a﹣14，2a﹣6，5a﹣16，3a﹣10，4a﹣14，a﹣4，3a﹣14，2a﹣10，3a﹣16，a﹣6，2a﹣14，a﹣8，a﹣10，﹣2，则所有整式的和为：a+5a﹣2+4a﹣2+7a﹣4+3a﹣2+8a﹣6+5a﹣4+7a﹣6+2a﹣2+7a﹣8+5a﹣6+8a﹣10+3a﹣4+7a﹣10+4a﹣6+5a﹣8+a﹣2+4a﹣10+3a﹣8+5a﹣14+2a﹣6+5a﹣16+3a﹣10+4a﹣14+a﹣4+3a﹣14+2a﹣10+3a﹣16+a﹣6+2a﹣14+a﹣8+a﹣10+（﹣2）＝122a﹣244，故③说法错误．综上所述，正确的有1个．故选：B．【总结提升】本题考查整式的加减，从所给的式子分析出所存在的规律是解题关键．6．（2023•西藏一模）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（）A．135 B．170 C．209 D．252【思路引领】根据表格找出方格中每个对应数字的表示规律然后求解．【解答】解：根据表格可得规律：第n个表格中，左上数字为n，左下数字为n+1，右上数字为2（n+1），右下数字为2（n+1）（n+1）+n，∴20＝2（n+1），解得n＝9，∴a＝9，b＝10，x＝10×20+9＝209．故选：C．【总结提升】本题考查数字的变化规律，解题关键是通过表格找出每个位置的数字表示方法．7．当x≠﹣1时，我们把−1x+1称为x的“和1负倒数”．如：1的“和1负倒数”为−11+1=−12；﹣3的“和1负倒数”为−1−3+1=12．若x1=−34，x2是x1的“和1负倒数”，x3是x2的“和1负倒数”，…，依次类推，则x4＝−34【思路引领】通过计算发现每3次运算结果循环出现，且x1•x2•x3＝1，又由2001÷3＝667，则x1•x2•x3•…•x2001＝1．【解答】解：x1=−3x2=−1x3=−1x4=−1…∴每3次运算结果循环出现，且x1•x2•x3＝1，∵2001÷3＝667，∴x1•x2•x3•…•x2001＝1，故答案为：−3【总结提升】本题考查数字的变化规律，通过计算，找到结果的循环规律是解题的关键．8．（2022秋•桥西区期中）现有一列整数，第一个数为1，第二个数为x（x正整数）．以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到．如第三个数是由x与1差的绝对值得到，即为|x﹣1|，第四个数是|x﹣1|与x差的绝对值得到，即为||x﹣1|﹣x|，…依此类推．①x＝2，则这列数的前5个数的和为5；②要使这列数的前40个数中恰好有10个0，则x＝6或7．【思路引领】①根据题意进行计算，列出前5个数，再相加计算即可；②先将x分为0、正整数、负整数三类情况判断出x＝0时不符合题意，然后另外两种情况中再分x为偶数和奇数时进行讨论，找到规律即可求x的值．【解答】解：①∵x＝2，∴这列数前5个数是1，2，1，1，0．∴这列数的前5个数的和为5．故答案为：5；②1，当x＝0时，这列数为：1，0，1，1，0，1，1，0，1…每3个数一循环，且每3个数有1个0，前40个数有13个0，不符合题意；2，当x为正整数时：x为偶数：这列数为：1，x，x﹣1，1，x﹣2，x﹣3，…，1，2，1，1，0，1，1，0，1，…，观察可得出，每3个为一组，每组第1个数均为1，第2个，第3个数从x开始依次﹣1，直至减到1，然后开始1，0，1循环，∵前40个数中恰好有10个0，∴40÷3＝13…1，则前3组不含0，即前3组的第2个、第3个数从x开始减到1，从第4组开始后30组均为1，0，1，∴2×3＝6，则x＝6；x为奇数时：这列数为：1，x，x﹣1，1，x﹣2，x﹣3，…，1，3，2，1，1，0，1，1，0，…，观察可得出，每3个为一组，每组第1个数均为1，第2个，第3个数从x开始依次﹣1，直至减到2，然后开始1，1，0循环，∵前40个数中恰好有10个0，∴4÷3＝13…1，则前3组不含0，即前3组的第2个、第3个数从x开始减到2，从第4组开始后30组均为1，1，0，∴2×3＝6，则x＝6+1＝7；综上所述：x的值为6、7．故答案为：6或7．【总结提升】本题考查了规律型﹣数字的变化类，解决本题的关键是利用分类讨论思想寻找规律．9．（2022秋•卧龙区校级期末）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，28，……叫做三角形数，这列数具有一定的规律，若把第一个数记作a1，第二个数记作a2……，第n个数记作an；（1）a8＝36；a2﹣a1＝2；a3﹣a2＝3；a4﹣a3＝4．（2）an﹣an﹣1＝n（n≥2）；（3）a2022﹣a2020＝4043．（4）求a2022的值，请直接写出答案．【思路引领】（1）根据题意和题目中的数据，可以将表格中的数据补充完整；（2）根据题目中的数字，可以计算出所求项的差的值；（3）根据（2）进行求解即可；（4）根据题意，发现相邻两项差的变化特点，从而可以求得所求项的值．【解答】解：（1）∵一列数a1，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，…，记为1，3，6，10，15，21，28，…，∴a8＝28+8＝36，a2﹣a1＝3﹣1＝2，a3﹣a2＝6﹣3＝3，a4﹣a3＝10﹣6＝4，故答案为：36，2，3，4；（2）由（1）知，a2﹣a1＝3﹣1＝2，a3﹣a2＝6﹣3＝3，a4﹣a3＝10﹣6＝4，…，∴an﹣an﹣1＝n，故答案为：n；（3）∴a2022﹣a2020＝a2022﹣a2021+a2021﹣a2020＝（a2022﹣a2021）+（a2021﹣a2020）＝2022+2021＝4043，故答案为：4043；（4）（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）＝a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3+…+an﹣an﹣1＝an﹣a1，∵an﹣an﹣1＝n，∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）＝2+3+4+…+n=n(n+1)∴an﹣a1=n(n+1)∴an=n(n+1)2−1+∵a1＝1，∴a2022=2022×(2022+1)即a2022的值是2045253．【总结提升】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是总结出所给的数字的规律并灵活运用．10．（2021秋•义安区期末）按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为3，看是否能使x(x+1)x＞100，如果“是”则得到输出的结果，如“否”则将值给x，再次运算，以此类推，那么最后输出的结果为【思路引领】利用题中的程序图进行操作，运算，按要求得出结论．【解答】解：当x＝3时，x(x+1)2当x＝6时，x(x+1)2当x＝21时，x(x+1)2故答案为：231．【总结提升】本题主要考查了求代数式的值，本题是操作型，利用程序图进行运算是解题的关键．类型二累加型规律探索11．（2021秋•西城区校级期中）下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第10个图形中白色正方形的个数为32，第n个图形中白色正方形的个数为3n+2．（用含n的式子表示）【思路引领】根据图形的变化规律得出每个图形都比前一个多3个白色正方形，归纳出第n个图形有3n+2个白色正方形即可．【解答】解：由题知，第1个图形中白色正方形的个数为5＝3+2，第2个图形中白色正方形的个数为8＝3×2+2，第3个图形中白色正方形的个数为11＝3×3+2，…，第10个图形中白色正方形的个数为3×10+2＝32，…，第n个图形中白色正方形的个数为3n+2，故答案为：32，3n+2．【总结提升】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第n个图形有3n+2个白色正方形是解题的关键．12．如图，第1个图形需要3个棋子，第2个图形需要8个棋子，第3个图形需要15个棋子，…，按照这样规律第n个图形需要（n2+2n）个棋子（用含n的代数式表示）．【思路引领】结合图形，发现：以此类推，则第n（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是n（n+2）个．【解答】解：结合图形，发现：第1个图形中的棋子数是2×3﹣3＝1×3＝3（个）；第2个图形中的棋子数是3×4﹣4＝2×4＝8（个）；第3个图形中的棋子数是4×5﹣5＝3×5＝15（个），第n（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是n（n+2）＝（n2+2n）个．故答案为：（n2+2n）．【总结提升】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．13．（2023•孟村县二模）如图，学校准备新建一个长度为Lm．（1）按图示规律，第一图案的长度L1＝1.5m；第二个图案的长度L2＝2.5m；（2）用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度Ln（m）之间的关系L＝0.5（2n+1）．【思路引领】（1）观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：1，2个，第二个图案比第一个图案多1个有花纹的地面砖，所以可得第n个图案有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长3×0.5＝L1，第二个图案边长5×0.5＝L2，（2）由（1）得出则第n个图案边长为L＝（2n+1）×0.5．【解答】解：（1）第一图案的长度L1＝0.5×3＝1.5，第二个图案的长度L2＝0.5×5＝2.5；（2）观察可得：第1个图案中有花纹的地面砖有1块，第2个图案中有花纹的地面砖有2块，…故第n个图案中有花纹的地面砖有n块；第一个图案边长L＝3×0.5，第二个图案边长L＝5×0.5，则第n个图案边长为Ln＝0.5（2n+1）．故答案为：0.9，1.5；0.5（2n+1）．【总结提升】此题考查列代数式，找出图形之间的联系得出运算规律，利用规律得出一般性的结论即可．14．（2023•龙岩开学）用小棒按下面的规律拼摆八边形．萌萌、亮亮、乐乐、欢欢通过观察图形，找出了拼摆成的八边形的数量n和需要小棒的数量a之间的关系．下面说法正确的是（）A．萌萌：a＝16+16n（n＞3） B．亮亮：a＝7n+1 C．乐乐：a＝8n﹣1 D．欢欢：a＝7n+n【思路引领】根据给定的拼摆规律，可知第1个八边形需要八个小棒，后面每增加一个八边形需要七根小棒，进一步可得拼摆成n个八边形需要小棒的数量．【解答】解：根据题意，