2021海南高三数学第四次高考模拟考试含答案

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2021海南高三数学第四次高考模拟考试含答案

2020—2021学年海南省高三年级第四次模拟考试

数学

审题单位:海口市教育研究培训院

考生注意：久H匹,

L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码拈贴在私卡上

的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号徐黑如需改动，用濠发擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上•写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.巳知集合4=I工I-2W#<4],8=|/工<1|，则4U(CR8)=

A.Ixlx^-21B.|xl2<x<4|C.|*l-2«x<l|D.Ixlx&l|

2.等差数列1,2a,4J,…的第五项等于

A.!B.1C.5D.16

2

3.已知函数y=sin(s+-j(<u>0)图象的-—条对称轴为"=信,则3的最小值为

A.2B.4C.6D.8

4.图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲

侧面三棱柱，它的恻棱垂直于底面,底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，

正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10,底面任意两顶点之间的距离为

20,则其侧面积为

5.在平行四边形ABCD中，/.BAD=60。,48=4,4。=2,E为OC的中点,则正•荏=

A.9B.12C.18D.22

6.某班级班委包括4名女生和2名男生，要从中抽选2名女生和1名男生参与毕业典礼志愿者工作，并把

他们安排在3个不同的岗位，其中4岗位不安排男生，则不同的安排方式种数为

.7,B.48C.36D.24

数学试题第1页(共4页)

7.巳知F,，心分别为双曲线C：：；-'=M">。/>。)的左.右焦点.以几为圜心.半焦距。为半径的圆与

"的一个交点为"，若也级〃品与圆F,相切,则双曲线的离心率为

A"B•4C.Q+1D.。+1

、—1Z。R上的函数/(*)满足/(*_y)=/(*)_/(,),且当，<0时/(/))0,则关于X的不等式

/(”")+/(2m)>〃m\)”(2x)(其中0Vm<々)的解集为

人{小<・喙}B.H*<e或,>m

C{*1*=<TD.{+*或*叫

一、多项选择■:本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分,部分选对的得3分，有选错的得。分.

9复数工满足篦=2-i,则下列结论正确的是

A向=6B.*=l+2i

C・3在复平面内对应的点位于第四象限D.?+2z+5=0

ia已知利,〃是两条不相同的直线是两个不重合的平面，则下列命Sfi中其命题有

A.若mCa,nC/3,tn//几，贝lja〃/3B.若m_La,m_L8，nUa&]n〃/3

C.若a_L户,n〃6D.若a〃0,mJ_a,n〃£，则mXn

n•巳知*皿函数Mm；；r

A./(x)是奇函数B./(工)的值域为R

C.存在上使得小)在定义城上单调递增D.当*=^1■时方程/(*)=1有两个实根

12.已知点4(-1,-3)、8(2,0)和P(z,y)(-1<z<2,y<0)在椭网cq+)=l(m>0,n>0)上,则

A.C的焦点为(±2",0)B.C的离心率为乌

C.直线PA的斜率小于1D.APAB的面积最大值为3

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分・

13.函数/(工)=：_十的图象在点(1/(1))处的切线斜率为-2,则a=--------

14.我国传统历法中的“二十四节气”是指导农耕生产的时节体系,也包含r卡富的民俗文化，人做为「方

便记忆，编组出如下的节气歌：

春雨惊春清谷天，夏满芒夏箸相连，秋处露秋束霜降，冬雷雪冬小大不、_.

若从每句诗歌中各随机取一个字，则恰好取出“春、夏、秋、冬”的概率为^-------一(用分[=

15.在平面直角坐标系助•中，角a与角8均以O*为始边，它们的终边关于原点对称'名""吁’8

16,已知正三棱锥P-A8c内接于半径为2的球0,且扇形0PA的面积为竽，则正二极锥「"Be的体积为

数学试题第2页(共4页)

四、解答遗：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步现

17.（10分）

在①S,=I7,②S,+S,=4,③S?=4S,这三个条件中任选一个,补充到下面的横线上，并解答相应问愿：

已知数列⑸I满足S.N0,且S.“=3S.+2.

（I）证明：数列IS*+1|为等比数列.

（II）若是否存在等比数列I。」的前“项和为5」若存在.求！a.的通项公式；若不存在.

说明理由.

注：如果选挣多个条件分别解答,按第一个解答计分.

18.（12分）

如图，在三棱柱48C-4/G中,44,_1底面八8（7,148_1.8（：M8=1,“=2,乂|=有.

（I）求宜线4c与A8,所成角的余弦值；

（II）设”为4c的中点,在平面BCC,内找一点N,使得MN1.平面48C,求点N到平面ABC和平面

ABB、的距离.

19.（12分）

已知平面四边形ABCD的四个内角均小于ir.AB=2,4D=1,BC=CD且BC1CD.

（I）若4胡。寸，求△，口）的面积；

（II）若4>〃8C,求cosN&4O.

数学试题第3页（共4页）

20.(12分)

已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为圆A':*2-2x+/=0的圆心。轴负半轴上有一点P,直线PF

被C截得的弦长为5.

(I)求点尸的坐标；

(H)过点P作不过原点的直线PA,PB分别与抛物线C和圆尸相切力,B为切点.求直线AB的方程•

21.(12分)

企业在商业活动中有依法纳税的基本义务，不依法纳税叫做逃税，是一种违法行为.某地区有2万家企

业,政府部门抽取部分企业统计其去年的收入，得到下面的频率分布表.根据当地政策综合测算,企业应

缴的税额约为收入的5%,而去年该地区企业实际缴税的总额为291亿元.

收入(千万元)(0,2)[2.4)[4,6)[6,8)[8,10]

频率Q30.50.120.060.02

(I)估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量；

(n)估计该地区企业去年的平均收入，并以此估计该地区逃税的企业数量；

(in)根据统计，该地区企业逃税被查出来的概率为3,被查出逃税的企业除了要补缴税款以外，还会

被处以应缴税额n(neN*)倍的罚款，从企业逃税的获益期望考虑,n至少定为多少，才能对逃税

行为起到惩罚作用？

注：每组数据以区间中点值为代表，假设逃税的企业处税领为°，未逃税的企业都足额缴税•

22.(12分)

已知函数/(x)=ze*-ax

(I)若/(工)在R上单调递增，求a的取值范围；

(fl)设€(/)=/(x)-台z,若g(z)有三个不同的零点，求a的取值范围.

数学试题第4页(共4页)

2020—2021学年海南省高三年级第四次模拟考试

数学•答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.答案A

命题意图本题考查集合的表示和运算.

解析CR8=8X2],4U(CRB)=\x\x^-2|.

2.答案B

命题意图本题考查等差数列的概念与性质.

解析因为1,2“,4,/「・成等差数列，所以4“=1+4/,解得〃=/，所以这个等差数列的每一项均为1.

3.答案B

命题意图本题考查•:角函数的图象和性质.

解析由题意知罂+演=加++(人Z),得3=⑵+4(人2),.・.3==4.

izoz

4.答案C

命题意图本题考杳空间几何体的结构挣征和有关il•算.

解析莱洛三角形由三段半径为20,圆心角为伴的圆弧构成，所以该零件底面周长为3x年x20=20%故其

侧面积为200”.

5.答案C

命题意图本题考查平面向量的线性运算和数坡积运算.

角翠析•.•记:/+同,港=#+；建,...北•港=(履+#)•(/+；谓)=4i52+今/-A6+^-A^2=

4+yx2x4x^-+yx!6=4+6+8=18.

6.答案B

命题意图本题考杳排列组合的应用.

解析先抽取2名女生和1名男生，共有C；C>12种.再把他们安排在3个不同的岗位上，减去男生安排在4

岗位的情形,则不同的安排方式有12x(A；-A；)=48种.

7.答案D

命题意图本题考杳双曲线的标准方程和性质.

解析因为直线与圆K相切，所以弘一PQ,于是IP&I=yi^^P-IPFJ2=/(2c)--C?=Qj而

\PF2\-IFF,I=2a,即75c-c=2。，因此e=

8.答案A

命题意图本题考杳抽象函数的有关综合问题.

解析任取阳<犯，由已知得/⑷-町)>0.即/(阳)-/(孙)>0,所以函数/(%)单调递减.由/(md)+/(2m)>

/(m2x)+/(2与)可得/(nix2)-/(2x)>/(rn2x)一/(2m)，即/(mx2-2x)>/(m2x-2m),所以mx2-2x<m2x-

2M,即mJ-(疝+2)x+2m<0,(n^-2)(x-m)<0,又因为0<m<所以2>m,此时原不等式解集

m

为卜，。<篇

二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

9.答案AD

命题意图本题考杳复数的有关概念和运算.

解析由虱=2-1可得1=事=生?=-1-2i,lzl二万,故A正确;"-I+2i,故B错误;z在复平面内对应

的点位于第三象限，故C错误;z?+2z+5=1-4+4i-2-4i+5=0,故I)正确.

10.答案BD

命题意图本题考查空间位置关系的判断.

解析对于A,平面a和3可能相交，所以A是假命题;对于B.由rn±a,m可知a〃/3,再由〃U。，可得〃〃

。，故B是真命题;对于C,直线〃与平面尸可能相交，故C是假命题;对于D,由a//pjnla可知9再由

“〃6,可得mJ.〃,故I)是真命题.

11.答案AC

命题意图本题考查分段函数，函数的综合性质.

解析当”>0时J(-%)=-In*+幻=-/(«),当4<0时,/(-x)=ln(^-x)=一/(#),所以/(%)是奇函

数,故A正确；当"0时J(%)=ln("#)单调递增，且/(4)>h]A,当4<0时/(%)=-ln«T)单调递增，且

/(x)<-In(向的位域为(一8,-lnA)U(h】R+8).若A2l.ln左20.此时/(%)的值域不包含0,即(力)

在定义域上单调递增,故B错误,C正确;对于D,若人=*=-山2,而In2V1,由前面的分析可知I,方程

/U)=1在(-8.0)上没有实根，在(0,+8)上有一个实根，故D项错误.

12.答案BCD

命题意图本题考杳椭圆与宜线的位置关系.

解析将人力的坐标代入椭圆的方程得+2=1且*=1,得〃，=4,〃=12,所以椭圆的方程为《+[=1,

mnm412

其焦点为(0,±2&),故A错误.离心率为辇=9,故B项正确.根据题意作图，可知P点在曲线段,18之间，

263

因为直线AB的斜率为1.所以直线PA的斜率小于1,故C项正确.与Afi平行的直线y=x-4与椭圆C相切于

点(1,-3),当P取(1,-3)时，△/%8的面积最大,最大值为3,故D项正确.

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案1

命题意图本题考查导数的儿何意义.

解析f'(x)=-彳-J-,所以/，(i)=_a-±=-2,解得a=l.

xUa

]4答案

口杀2401

命题意图本题考查概率的计算.

解析第一句诗7个字有2个“春”字，故“春”字被取到的概率为彳，夏,秋、冬也同理，故恰好取出“春、夏、

秋、冬”的概率为(彳)’=岛.

—2—

15.答案

命题意图本期考查三角函数的概念.诱导公式以及倍角公式.

解析由条件知taWa=3,所以cos20=喏湍=Eg=曷=-去

16.答案竽

命题意图本题考查棱锥与球相接的有关计算.

解析设底面48C的中心为平面PAO如图所示,由扇形OPA的面积为竽="=2,所以NPOA=冬

所以=手,所以。'4=万,。"'=1,所以正三棱锥P-ABC的高为P。'=3,底面ABC的面积为等，因

此体积为+x3x¥=呼.

J44

P

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.命题意图本即考查等比数列的性质,通项以及求和公式.

解析（I）由，7=3S.+2,得S..I+1=3（S.+I）,.......................................（1分）

因为5“三0,所以，+1X0..............................................................（2分）

所以数列IS.+11为等比数列................................................................（3分）

（II）选择条件①：

由（1）可知S.=3+1）X3“T-1......................................................（5分）

所以S3=9S1+8=17,得&=1,.........................................................（6分）

所以S“=2x3"T-I,.................................................................（7分）

若数列的前〃项和为S.，

则«|=S]=1,a2=S2-S]=4,a3=S3-S2=12,.............................................（9分）

显然，1册1不是等比数列，故不存在符合条件的数列.....................................（10分）

选择条件②：

由（I）可知S—（E+1）x3--1......................................................（5分）

fS,+S2=4ti

由解得...............................................................（6分）

2

[S2=3S,+2,

所以2=与-1......................................................................（7分）

若数列M\的前n项和为S“，则Wj=St=^~»«2=S?f=3,%=§3-S?=9,...................（9分）

显然，I%1不是等比数列.故不存在符合条件的数列I...................................（10分）

选择条件③：

由（I）可知S”=（S1+1）X3”T-1......................................................（5分）

—3—

⑶二4S1,

rtl解得$=2,.............................................................（6分）

[S2=3S,+2,

所以S“=3"-L.......................................................................（7分）

若数列1。力的前〃项和为S“，

则当〃22时,%=S“-S.T=2X3”T,...................................................（8分）

而为=S[=2也符合上式，.................................................................（9分）

所以I。1是等比数列,%=2x3"1.....................................................（10分）

18.命题意图本题考查空间向最在立体几何中的应用.

解析根据题设可知%两两垂宜.以8为坐标原点,分别以/M,BC.A"所在宜线为x,y,z轴，建立

如图所示的空间宜角坐标系................................................................（1分）

（I）易知8（0,0,0）,4（1,0,0）,4（0,0,4）,4（1,0,万），C（0,2,0）,.........................（2分）

所以丽=（-1.0,万），港=（-1,2,-有），................................................（3分）

所以cos〈码,^7^〉~~=............................................（4分）

\AH,IIXTCI2x伍4

所以直线AC与48,所成角的余弦值为率...................................................（5分）

A

（11）由条件知.................................................................（6分）

因为点N在平面BCC,内，可设其坐标为阳0,%6）,则加=（-十,"-1,/，｝...................（7分）

因为MN_L平面所以MV_L8C,MN_L84,...........................................（8分）

由坐标系可得讹=（0,2,0）,端=（1,0,万）,................................................（9分）

JMN-j^=2（a-D=0,

所以|—►—►]「解得。=1,6=1，

[MN•研=-y+A6=0,6

所以点M。,1,春）,其到平面48C的距离为系，到平面48&的距离为1......................（12分）

19.命题意图本题考查正弦定理和余弦定理，解三角形.

解析（I）在4480中有80?=/1公+4D2_2/18x40cos48/10,.............................（1分）

B

—4—

可得身）二序..............................................................................（2分）

222

TSAB=AD+BD1HPLADB=y......................................................（3分）

由条件可知△依,7）是等腰直角三角形，

Z.MC咛.3帝〃考................................................................（4分）

所以S/ucn=《力。xCOsin440C=《X1x*sin亭:g..................................（6分）

Z2244

（11）因为40〃BC,所以N408=4"8C=手，................................................（7分）

在中有;，可得翁山刖邛’.....................................

从而COSZU80=T，..................................................................（9分）

所以cosKBW=cos传-2ABO）.....................................................（10分）

=cos中cos乙4"。+sin苧sinZ.48".......................................（11分）

20.命题意图本题考查抛物线的方程与性质，网的方程与性质，直线与网、抛物线的位置关系.

解析（I）圆尸的方程可化成（冕-1尸+丁=1,所以R1.0）,...............................（1分）

所以抛物线C的方程为/=4》..............................................................（2分）

设P（0,m）（m<0）,则直线PU的方程为常+工=1,

m

工+上=1,

由m消去〉，得in"-（2〃/+4）4+渥=0,........................................（3分）

>2=4%

设直线P尸与C的交点横坐标分别为阳和犯，由题意知阳+“2+2=5,.........................（4分）

即?£^+2=5,解得„,=-2,故户（0,-2）..............................................（5分）

"广

（II）由条件可设直线"的方程为>=履-2,

y=kx-2^

,消去〉，整理得心2-（必+4）*+4=0,........................................（6分）

{/=4.r

因为上与抛物线C相切，所以4=（必+4尸-16企=。解得"=.........................（7分）

代人原方程组解得4（4,-4）............................................................（8分）

设8（%,%）,由题意可知点8与坐标原点关于直线P*：y=2”-2对称，.........................（9分）

—5—

Jo1

—~—2—，

所以，%一解得8传，-*）..............................................................................................（10分）

筌=2x^-2,

22

44

--T-+4

所以直线48的方程为y+4=———（I）,即4x+3y-4=0..........................................................（12分）

O.

L

21.命题意图本题考查统计的有关概念和计算，离散型随机变量的数学期望.

解析（I）去年收入大于等于4千万元的频率为0.12+0.06+0.02=0.2,...............................（2分）

所以估计该地区去年收入大于等于4千万元的企业数量为20000x0.2=4000...............................（3分）

（II）该地区企业去年的平均收入的估计值为

1xO.3+3xO.5+5xO.12+7x0.06+9x0.02=3（千万元）..................................（5分）

平均缴税额为3x5%=0.15（千万元）=0.015（亿元），

所以未逃税的企业数量为;=19400,

因此，逃税的企业数量为20000-19400=600.....................................................................................（7分）

（III）设企业应缴税额为，（<>0）,企业逃税的获益为X,

若该企业逃税未被查出，则X:，；

若该企业逃税被查出来，则x=-5.......................................................................................................（8分）

由条件知P（X=-n/）=0.3,P（X=/）=1-0.3=0.7,............................................................................（9分）

所以-mxO.3+2x0.7=（0.7-0.3〃〃，..............................................（10分）

要对逃税行为起到惩罚作用，则需£¥<0,解得〃>马■........................................（II分）

所以〃至少定为3,才能对逃税行为起到惩罚作用...........................................（12分）

22.命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.

解析（I）/'（%）=/+切,-*.............................................................（1分）

若/（4）在R上单调递增，则/'（"）20,即..........................................（2分）

设刀（％）=e*+W,则/（4）=（#+2*,

令/（4）=0彳导与=-2,当一2时$'（*）<0,当％〉—2时,/（#）>0,.............................................（3分）

所以h（x）Nh（-2）=--V,..................................................................................................................（4分）

e-

因此a的取值范围为（-8,-±].........................................................