专题04 角平分线模型（解析版）（人教版）

专题04角平分线模型的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线则AD的长是.【答案】5【分析】过D作，DETAC，DFTAB交AB延长线于F，然后根据全等三角形的性质和30O角直角三角形的性质即可求解.【详解】过D作，DETAC，DFTAB交AB延长线于F，∵AD平分7BAC，DETAC，DFTAB，在在△DEC和△DFB中，∴△DEC≌△DFB(AAS)，在Rt△DEA和Rt△DFA中，∴Rt△DEA≌△DFA(HL)，∵AE=AC-CE,AF=AB+BF，∵AD平分上BAC，【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形.【变式训练1】如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD平分上ABC，【答案】47。【答案】47。【分析】过D作DE丄BC于E，DF丄AB于F，DG丄AC于G，依据DC平分上ACE，BD平分上ABC，利用角平分线的性质，即可得到DF＝DG，进而得出AD平分上CAF．再根据三角形外角的性质，即可得到上BDC=上BAC，进而得出结论.【详解】如图所示，过D作DE丄BC于E，DF丄AB于F，DG丄AC于G，∴DF＝DE，∴CD平分上ACE，∴AD平分上CAF，【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.【变式训练2】已知：AD是△ABC的角平分线，且AD丄BC.（2）如图2，上ABC=30O，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延②若S△ABG:S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长.【答案】（【答案】（1）见解析2）①见解析；②6.【分析】（1）用ASA证明△ABD≌△ACD，即得AB＝AC；（2）①证明△BAG≌△CAE可得AG=AE，再用SAS证明△FAG≌△FAE，即得【详解】解1）证明：AD是△ABC的角平分线，:上ADB=上ADC，在△ABD和△ACD中，在△BAG和VCAE中，:△ABD≌△ACD(ASA)，:AB=AC；:△BAG≌△CAE(ASA)，:AG=AE，在△FAG和△FAE中，:△FAG≌△FAE(SAS)，:上AFG=上AFC；②过F作FK丄AG于K，如图：S△ABG:S△ACF=2:3，:S△CAE:S△ACF=2:3，:S△FAE:S△ACF=1:3，:S△FAG:S△ACF=1:3，:AG:AC=1:3，【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.【变式训练3】在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,a)，点B的坐标(b,0)且a，b满足（1）求A、B两点的坐标；（2）如图（1点C为x轴负半轴一动点，OC<OB，BD丄AC于D，交y轴于点E，求证：OD平分上CDB.（3）如图（2点F为AB的中点，点G为x正半轴点B右侧的一动点，过点F作FG的垂线FH，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，S△AFH-S△FBG的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果.【分析】（1）由非负性可求a，b的值，即可求A、B两点的坐标；（2）过点O作OM丄BD于M，ON丄AC于N，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（3）由于点F是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接OF，得出OF=BF.∠BFO=∠GFH，进而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可.【详解】解1）∵a2-12a+36+a-b＝0∴(a-6)2+a-b＝0，（2）如图，过点O作OM丄BD于M，ON丄AC于N，∴OE＝OC，AC＝BE，S△AOC=S△BOE.∴点O一定在∠CDB的角平分线上，即OD平分∠CDB.（3）如图，连接OF，∵△AOB是等腰直角三角形且点F为AB的中点，又∵FG丄FH，故不发生变化，且S△AFH-S△FBG=9.【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形例．已知：ΔABC中，D为BC的中点，AG平分上BAC,CG丄AG于G，连结DG，若AB=6,AC=4，求DG的长.【分析】延长CG交AB于点E.根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=BE=（AB-AC从而得出DG的长.【详解】解：延长CG交AB于点E.:BE=AB-AC=2，::CG=EG，D为BC的中点，故答案为DG=1.【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键.【变式训练1】已知：等腰直角三角形ABC中，上ACB=90°;AC=BC；上1=上3；BE丄AD.求证：BE=AD.【答案】见解析.【分析】延长AC、BE交于F，首先由ASA证明△AEF纟△AEB，得到BE=BF，然后再次通过ASA证明△ACD纟△BCF，得到AD=BF，问题得解.【详解】证明：延长AC、BE交于F，:上1=上3，BE丄AE，:△AEF纟△AEB(ASA)，:FE=BE，:BE=BF，:上ACD=上BED=90°,上ADC=上BDE，:上1=上2，:△ACD纟△BCF（ASA:AD=BF，:BE=AD.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度.【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF【答案】见解析【解析】证明：延长AE、BC交于点F.如图所示：∵AE⊥BE，∴∠BEA=90°,又∠ACF=∠ACB=90°,∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°,∴∠DB 又AE=BD，∴AE=AF类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短例．如图，在ΔABC中，AB>AC，AD平分上BAC交BC于D，求证：AB-AC>BD-CD.【答案】详见解析【分析】可以在AB上截取AE=AC，构造三角形全等，再结合三角形三边关系可证得结论.【详解】在AB上截取AE=AC，则BE=AB-AC，在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD(SAS)，在△BDE中，BD-DE＜BE(三角形两边之差小于第三边)，∴BE>BD-CD，即AB-AC>BD-CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，构造三角形全等是解题的关键.【变式训练1】如图所示，在ΔABC中，上ACB=60。，AE,BD是ΔABC的角平分线，AE,BD【答案】详见解析【答案】详见解析【分析】在AB上截AF=AD，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可证得ΔBGF≌ΔBGE，即可得GF=GE=GD.【详解】证明：在AB上截AF=AD，连接FG，∴∠EAC=∠EAB，又∵AG=AG，∴:ΔBGF≌ΔBGE(ASA)，∴GD=GE.【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键.【变式训练2】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为.(2)如图二，△ABC中，∠A=120°,AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC中，∠A=100°,AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.【答案】（【答案】（1）CD=2AD2）CD=3AD3）BC=AD+BD.可得△DEC是等腰直角三角形，可得CD=2DE，进而可得答案2）在BC上截取BE=AB，连接DE，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，∠BED=∠A=120°,由等腰三角形的性质可得∠C=30°,利用三角形外角性质可得∠CDE=90°,利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案3）在BC上取一点E，使BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，利用AAS可证明△DAF≌△DEG，可得DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°,进而可得DE=CE，即可得出结论.∴△CDE是等腰直角三角形，故答案为CD=2AD（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，∴△ABD≌△EBD，∴∠C=∠ABC=30°,（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA于F，DG⊥BC于G，∴∠DFA=∠DGE=90°.∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，在△DAF和△DEG中，∴△DAF≌△DEG（AAS∴80°=40+∠EDC，【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键.【变式训练3】如图，已知B（-1，0C（1，0A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC.（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数. 【答案】（1）见解析2）见解析3）不变，60° 【分析】（1）根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°,即可得出结论； （2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证； （3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数. 又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°,∴∠ABD=∠ACD； 则∠AMC=∠ANB＝90°,∴△ACM≌△ABN（AAS∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上（3）∠BAC的度数不变化.在CD上截取CP＝BD，连接AP.∴△ABD≌△ACP，即△ADP是等边三角形，∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD＝60°.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强.【变式训练4】如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分上ACB(3)在（1）中，过D作DF丄AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点如图3当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足上GDH=上GDO+上FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明.【答案】【答案】(1)见解析；(2)8；（2）如图所示，过D作DN丄AC于N点，结合（1）易证得Rt△BDO≌Rt△EDN(HL)及Rt△CDO≌Rt△CDN(HL)，由全等三角形的性质可求解；（3）如图所示，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，易证得△DFH≌△DOM(SAS)，△GDH≌△GDM(SAS)得到MG=GH从而得到结论.CD平分上ACB，在△CAD和△CBD中，:AC=BC；如图所示，过D作DN丄AC于N点，CD平分上ACB，:DO=DN，在Rt△BDO和Rt△EDN中，∴Rt△BDO≌Rt△EDN(HL)，在Rt△CDO和Rt△CDN中，∴Rt△CDO≌Rt△CDN(HL)，:CD平分上ACB，在x轴的负半轴上取OM=FH，连接DM，如图所示：在△DFH和△DOM中，在△GDH和△GDM中,【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质的综合运用.课后训练1．如图，在ΔABC中，上B=60。，AD、CE分别是上BAC、上ACB的平分线，AD、CE相交于点F，试判断FE和FD之间的数量关系.【答案】详见解析【分析】如图，过点F作FH丄BC，FG丄AB，垂足分别为H、G，根据角平分线，可得点F是ΔABC的内心，则有FG=FH，继而根据三角形内心的性质可得上FDH=上FEG，从而可得ΔFDH≌ΔFEG，继而可得FE=FD.【详解】FE=FD，理由如下：如图，过点F作FH丄BC，FG丄AB，垂足分别为H、G.:F是上BAC，上ACB的平分线AD、CE的交点，:F为ΔABC的内心，:FG=FH.又GH=FH，:ΔFDH≌ΔFEG，:FD=FE.【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法.2．如图，在ΔABC中，上ABC=2上C，BE平分上ABC，交AC于E，AD丄BE于D，求证：【答案】详见解析【分析】延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论.【详解】延长BD至N，使DN=BD，连接AN.∵AD⊥BE，又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，∴∠ABN=∠NBC=∠C，∴AN∥BC，∴AC=BN=2BD.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.【答案】【答案】40°【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，通过证明△ABD≌△FBD(SAS)，可得【详解】解：如图，在BC上截取BF=AB，连接DF，QBD是上ABC的平分线，在△ABD和△FBD中，:△ABD≌△FBD(SAS)，在△DCE和△DCF中，:△DCE≌△DCF(SAS)，【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键.4．如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，上BCN=上BCM交AB延长线于点N，（1）求证AC=BN；（2）如图2，NP平分上ANC交CM于点P，交BC于求的值.【答案】（【答案】（1）见解析2）【分析】（1）延长CM至点D，使CM=DM，可证ΔACM三ΔBDM，由全等三角形的性质从而得出AC=BD，根据题目已知，可证ΔDCB三ΔNCB，由全等三角形的性质从而得出BN=BD，等量代换即可得出答案；（2）如图所示，作CQ=CP，可证ΔCPO三ΔCQO，由全等三角形的性质相等角从而得出【详解】（1）如图1所示，延长CM至点D，使CM=DM，在△ACM与△BDM中，:ΔACM三ΔBDM，:AC=BD，:2CM=CN，:CD=CN，在△DCB与△NCB中，:BN=BD，:AC=BN；:ΔCPO三ΔCQO，在△NOB与△NOQ中，:ΔNOB三ΔNOQ，:BN=NQ，:CN=CP+NB，:2CM=CP+AC，【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.5．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是上BAD的角平分线，点F为AE上一点，(1)求证：BF平分上ABE；(2)连接CF交AD于点G，若SΔABF=(3)在（2）的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长.【答案】【答案】(1)见解析(2)见解析(3)7.5合AD为BC边上的高得出上EBF=上FBA即可证明；（2）过点F作FM丄BC于点M，FN丄AB于点N，证明△ABF三△CBF，得出（3）根据△ABF三△CBF及AD为BC边上的高证明△AFG三△CFE，得出AG=EC=4.5，再根据BE＝3，解得BC=BE+EC=7.5，结合△ABF三△CBF即可求出AB=BC=7.5；【详解】（1）证明：:AE是上BAD的角平分线，:AD为BC边上的高，:BF平分上ABE.（2）过点F作FM丄BC于点M，FN丄AB于点N，:BF平分上ABE，且FM丄BC，FN丄AB，:FM=FN.:SΔABF＝SΔCBF，:AB=BC，:BF平分上ABE，:△ABF三△CBF(SAS)，（（3）:△ABF=△CBF，:AD为BC边上的高，:AG=EC=4.5，:BE＝3，:BC=BE+EC=7.5，:△ABF=△CBF，:AB=BC=7.5.【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键.6．已知△ABC中，BE平分上ABC，BE交AC于点E，CD平分上ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O.(2)如图2，连接OA，求证：OA平分上BAC.【答案】(1)见解析(2)详见解析出结论；（2）过点O作ON丄BC于N，OM丄AB于M，OK丄AC于K，证明OM=OK，则点O在上BAC的平分线上，即可得出结论；（3）过点B作BH丄CD交CD的延长线于点H，过点O作OF平分上BOC交BC于点F，过点O作ON丄BC于N，OM丄AB于M，证明上BOF=上BOD，上COF=上COE，由角平S△BOD:S△BOC=OD.BH:OC.BH=OD:OC，