广西桂林市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷

2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高一下学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数-1+2i在复平面内对应的点所在的象限为(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.把2π3弧度化成角度是(

)A. B. C. D.3.已知向量a=(m,1)，b=(4,-2)，且b=-2a，则A.2 B.-2 C.12 D.4.已知平面α，β和直线a，b，且，a?α，b?β，则a与b的位置关系是(

)A.平行或异面 B.平行 C.异面 D.相交5.已知，且α为第二象限角，则tana=(

)A.-34 B.34 C.-6.已知圆锥的高为8，底面半径为4，其顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为(

)A.100π B.68π C.52π D.50π7.“桂林山水甲天下”，如图，为测量桂林市某公园内一山的高MN，选择公园内某点A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M的仰角，C点的仰角以及，从C点测得，已知山高BC=50m，则山高MN=(????)m．

A.502 B.503 C.7528.已知圆心角为的扇形AOB的半径为1，点C是AB上的一点，点D是线段OA上的一点，点E、F是线段OB上的两点，且四边形CDEF为矩形，则该矩形的最大面积为(

)A.2-3 B.2+3 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1=1+i，z2=1-iA.z1=z2

B.|z1|=|z2|10.函数在一个周期内的图象如图所示，则(

)

A.A=2

B.ω=2

C.φ=-π6

D.将函数f(x)图象上所有点的横坐标向右平移个单位(纵坐标不变)得到的函数图象关于y11.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，水是定量的(定体积为V).固定容器底面一边BCA.水面EFGH所在四边形的面积为定值

B.没有水的部分始终呈棱柱形

C.棱A1D1一定与平面EFGH平行

D.当容器倾斜如图所示时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算(1+i)(2-i)=

(其中i为虚数单位)．13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，则直线14.已知O为△ABC内一点，且4OA+8OB+5OC=0，点M在△OBC内(不含边界)，若，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=(1,3)，b(1)求a与b夹角的余弦值;(2)若a+b与a-kb16.(本小题15分)已知函数(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合．(3)求f(x)的单调递减区间．17.(本小题15分)

已知正方体ABCD-A1B1C1(1)证明：AC(2)求三棱锥A-C118.(本小题17分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA(1)求角C的大小;(2)若a=3，且AB?AC=1，求19.(本小题17分)

如图，已知直线l1/?/l2，A是l1，l2之间的一点，且AE⊥l1于点E，AF⊥l2于点F，AE=m，AF=n?(m,n为常数)，点B、C分别为直线l(1)若α=π3，求△ABC(2)当A恰好EF中点时，求△ABC的周长的最小值．

答案1.【答案】B

解：由复数-1+2i，

得z在复平面内对应的点的坐标为：(-1,2)，位于第二象限．

故选：B．2.【答案】D

解：

2π3弧度=2π3×180°3.【答案】B

解：a=(m,1)，b=(4,-2)，且所以

(4,-2)=-2(m,1)=(-2m,-2)

，所以

-2m=4

，解得

m=-2

．故选：B4.【答案】A

解：∵平面α/?/平面β，

∴平面α与平面β没有公共点

，b?β，

∴直线a，b没有公共点

∴直线a，b的位置关系是平行或异面5.【答案】C

解：∵cosα=-35，且α是第二象限角，

，

则，

故选C．6.【答案】A

解：∵圆锥的高为h=8，底面圆的半径r=4，顶点与底面的圆周在半径为R的球面上，

?R2=(h-R)2+r2?7.【答案】B

解：在直角三角形ABC中，因为∠CAB=30°°，BC=50m，所以AC=100m，在三角形AMC中，

∠AMC=180°-75°-60°=45°，

由正弦定理可得，

则AM=100×3222=506，

在直角三角形AMN中，

8.【答案】C

解：如图所示：设∠BOC=α0°<α<30°，

则，，

因为，所以，

于是矩形CDEF的面积

，

因为，

所以当且仅当2α+60°=90°，即时，矩形CDEF的面积S取得最大值1-32．

故选C．

9.【答案】AB

解：对于选项A，

z1=1-i=z对于选项B，

|z1|=1+1=2，

对于选项C，

z1z2对于选项D，

在复平面内z1对应的点为Z1(1,1)，

z2对应的点为Z2(1,-1)，故选：AB．10.【答案】AC

解：根据函数

的部分图象，

可得A=2，

5π9-

，，故A正确，B错误；

∵图象过点

，可得3×

kπ，k∈Z，

即φ=-

，k∈Z，∵

|φ|<π2

，故C正确；

由此可得函数解析式为，

将函数f(x)图象上所有点的横坐标向右平移个单位(纵坐标不变)得到函数的图像，

所得图象不关于y轴对称，故D错误．

故选AC．11.【答案】BCD

解：依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形，对于A：水面

EFGH

是矩形，线段

FG

的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段

EF

长逐渐增大，则水面

EFGH

所在四边形的面积逐渐增大，故A错误；

对于B：依题意，

BC//

水面

EFGH

，而平面

BCC1B1n

平面

EFGH=FG

，

BC?

平面

BCC1B1

，则

BC//FG

，同理

BC//EH

，而

BC//AD

，

BC=FG=EH=AD

，又

BC⊥

平面

ABB1A1

，平面

ABB1A1//

平面

CDD1C1

，因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故B正确；

对于C：因为

A1D1//BC//FG

，

FG?

平面

EFGH

，

A1D1?

平面

EFGH

，因此

A1D1//

平面

EFGH

，即棱

A1D112.【答案】3+i

解：(1+i)(2-i)=2+1+2i-i=3+i．

故答案为：3+i．

13.【答案】5解：如图，

由正方体的性质可得AB/?/CD，

所以可得?A1MA(或其补角)为异面直线A1M与CD所成角．

不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则AM=1，A1M=5，14.【答案】(13解：因为O满足4OA+8OB+5OC=0因为M在ΔOBC内(不含边界)，且当M与O重合时，λ+μ最小，此时

，所以λ=817,μ=当M与B(或C)重合时，λ+μ最大，此时

所以λ=1,μ=0(或λ=0,μ=1)，即，因为M在ΔOBC内且不含边界所以取开区间，即λ+μ∈(1315.【答案】解：解：(1)由a=(1,3)，b=(-2,1)，得，

|a|=12+32=10，b=(-2)2+12=16.【答案】解：，故f(x)的最小正周期为π．

(2)当2x+p3=2kp，k∈Z时，，k∈Z，，得f(x)max=3，即f(x)最大值为3．

(3)由，k∈Z得，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递减区间是，k∈Z.

17.【答案】(1)证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，

∵C1C⊥平面ABD，BD?平面ABD，．

又，C1C、AC?平面ACC1，

平面ACC1，又AC1?平面ACC1

18.【答案】解：(1)因为asinAcosB+bsinAcosA=3acosC，

又asinA=bsinB，

所以asinAcosB+asinBcosA=3acosC，

即sin