决胜2021年中考数学压轴题全揭秘 10 三角形问题（学生版）

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品

专题10三角形问题

【考点1】三角形基础知识

【例1】1.（2020•湛江）如图，在口43。中，ZA=3O°,NB=5O°,CO平分ZAC3,则/ADC的度

数是（）

A.80°B.90°C.100°D.110°

【变式1-1］（2020•浙江绍兴•中考真题）长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木

棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）

A.4B.5C.6D.7

【变K1-2】（2020•甘肃天水•）一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程Y—8x+12=0的根，

则该三角形的周长为.

【考点2】全等三角形的判定与性质的应用

【例2】（2020•辽宁鞍山•中考真题）如图，在四边形ABC。中，NB=ZT>=90。，点E,尸分别在43,AD

上，AE=AF>CE=CF,求证：CB=CD.

【变式2-1]（2020•山东东营•中考真题）如图1,在等腰三角形ABC中，乙4=120°,48=4。,点0、E分

别在边AB、AC上，4。=4瓦连接8瓦点〃、N、P分别为。£、BE、8c的中点.

图1中，线段MW、NP的数量关系是,ZMVP的大小为:

（2）探究证明

把口4）石绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE,判断△MNP的形状，并说明

理由；

（3）拓展延伸

把口4）上绕点A在平面内自由旋转，若AD=1,AB=3,请求出△MVP面积的最大值.

【叟龙2-2】（2020•山东烟台•中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直

线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.

（问题解决）

（1）如图1,若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD；

（类比探究）

（2）如图2,若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理

由.

A

【考点3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用

[例3]（2020•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）（1）（操作发现）

如图1,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，口ABC的三个顶点均在格点上.

①请按要求画图：将DAbC绕点A顺时针方向旋转90。，点B的对应点为点B',点C的对应点为点C.连

接BB';

②在①中所画图形中，ZAB'B=

（2）（问题解决）

如图2,在R汇ABC中,BC=1,ZC=90°,延长CA到D,使CD=L将斜边AB绕点A顺时针旋转90。

到AE,连接DE,求NADE的度数.

（3）（拓展延伸）

如图3,在四边形ABCD中，AE±BC,垂足为E,NBAE=NADC,BE=CE=1,CD=3,AD=kAB（k

为常数），求BD的长（用含k的式子表示）.

图1

【空式3-1]（2020•四川凉山•中考真题）如图，点P、Q分别是等边A45C边AB、BC上的动点（端点除外）,

点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发.

(1)如图1,连接AQ、CP求证：MZ?e=AC4P

（2）如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M,NQMC的大小是否变化？若

变化，请说明理由;若不变，求出它的度数

⑶如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M,NQMC的大小是否变化?

若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

【变式3-2】（2020•吉林中考真题）如图，DABC是等边三角形，43=4。“，动点P从点A出发，以2c〃?/s

的速度沿A3向点3匀速运动，过点尸作PQLA8,交折线AC-C8于点。，以P。为边作等边三角形

PQD,使点A,。在PQ异侧.设点P的运动时间为x（s）（（）<%<2）,△PQ。与口ABC重叠部分图

（1）AP的长为.cm（用含x的代数式表示）.

（2）当点。落在边上时，求x的值.

（3）求）'关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

【考点4】直点三角形的性质

【例4】（2020•云南中考真题）如图，四边形ABC。是菱形，点，为对角线AC的中点，点E在A8的延

长线上，CEYAB,垂足为E,点尸在A。的延长线上，垂足为尸.

R

（1）若44Q=60。，求证：四边形是菱形;

（2）若CE=4,△ACE的面积为16,求菱形ABCD的面积.

【文式41】（2019•黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片ABC,ZACB=90SAB=10,AC=6,点

。为8C边上的任一点，沿过点。的直线折叠，使直角顶点。落在斜边A8上的点E处，当ABDE是直

角三角形时，则CD的长为.

【玄代生2］（2020•海南中考真题）如图，在R/0ABC中，NC=90。,乙钻。=30。,4。=比利,将心［：43。

绕点A逆时针旋转得到用△AB'C,使点C落在AB边上，连接66',则88'的长度是（）

C.43cmD.2\/3cm

【考点5】和似三角形的内定与性质的应用

［例5］（2020•上海中考真题）已知：如图，在菱形ABC。中，点E、尸分别在边A3、AZ）上，BE=DF,

CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

⑴求证：△BECS^BCH；

⑵如果8E2=AJR・AE,求证：AG=DF.

5-1］（2020•山东济南•中考真题）在等腰A48C中，AC=BC,口AZ5E是直角三角形，NOAE=90。,

ZADE=-ZACB,连接5。，BE,点尸是的中点，连接CF.

2

⑴当NC48=45。时.

①如图1,当顶点。在边AC上时，请直接写出NEA8与NCBA的数量关系是.线段BE与线段C尸

的数量关系是;

②如图2,当顶点。在边A3上时，(1)中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予

证明，若不成立，请说明理由；

学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一：作等腰AA8C底边上的高CM,并取BE的中点N,再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；

思路二：取OE的中点G,连接AG,CG,并把DC4G绕点C逆时针旋转90。，再利用旋转性质、三角形

全等或相似有关知识来解快问题.

(2)当NC48=30。时，如图3,当顶点。在边AC上时，写出线段BE与线段C尸的数量关系，并说明理由.

【支K5-2](2020•湖南益阳•中考真题)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的

夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列

问题：

(1)如图1,正方形ABC。中，E是C。上的点，将MCE绕B点旋转,使8c与重合，此时点E的

对应点尸在D4的延长线上，则四边形BEOF为“直等补''四边形，为什么？

(2)如图2,已知四边形A3CD是“直等补”四边形，AB=BC=5,CD=\,AD>AB,点8到直线AO

的距离为BE.

①求BE的长.

②若M、N分别是AB、AO边上的动点，求AMNC周长的最小值.

【考点6】锐角三角国教及其应用

[例6]（2020•山东日照•中考真题）阅读理解:

如图1,RtZkABC中，a,b,c分别是NA,NB,NC的对边，NC=90。，其外接圆半径为R.根据锐角

三角函数的定义：sinA=—,sinB=-,可得一^―=—^―=c=2R,即：—“―=”-也=-0-=2R,

ccsinAsinBsinAsinBsinC

（规定sin90°=l）.

探究活动：

如图2,在锐角△ABC中，a,b,c分别是NA,NB,NC的对边，其外接圆半径为R,那么：」一

sinA一

hr

—-______用〉、=或〈连接），并说明理由.

sinBsinC

事实上，以上结论适用于任意三角形.

初步应用：

在△ABC中，a,b,c分别是NA,NB,NC的对边，NA=60。，ZB=45°,a=8,求b.

综合应用：

如图3,在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15。,

又沿古塔的方向前行了100,〃到达8处，此时A,B,O三点在一条直线上，在8处测得塔顶C的仰角为

45。，求古塔的高度（结果保留小数点后一位）.（73=1.732,sinl5—上一♦）

【支式6-1】（2020•湖北荆门•中考真题）如图，海岛8在海岛A的北偏东30。方向，且与海岛A相距20海

里，一艘渔船从海岛8出发，以5海里/时的速度沿北偏东75。方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向

正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处.

（1）求NABE的度数；

（2）求快艇的速度及C,E之间的距离.

（参考数据：sin15、0.26,cos150®0.97,tan15°®0.27,8=1.73）

【支灰6-2］（2020•山东淄博•中考真题）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C

地，沿折线A-CTB方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A

地到景区B的笔直公路.请结合NA=45。，NB=30。，BC=100千米，、历M.4,退R.7等数据信息，解

答下列问题：

（D公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增

加25%,结果提前50天完成了施工任务.求施工队原计划每天修建多少千米？

压轴精练

1.（2020.广西玉林•中考真题）如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛

的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A,B,C三岛组成一个（）

北

▲

B

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形

2.（2020・湖北荆门・中考真题）nABC中，AB=AC,ABAC=120°,BC=273.。为BC的中点,

记;亚氏则△EBD的面积为（）

A36口「布口有

D•lz・\J•

4848

3.（2020•山东济南・中考真题）如图，在口人6。中，AB=AC,分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作

弧，两弧分别交于E,F,作直线EF,。为8c的中点，M为直线EF上任意一点.若BC=4,DABC面积

为10,则8A/+MD长度的最小值为（）

2

4.（2020•宁夏中考真题）如图摆放的一副学生用直角三角板，ZF=30°,NC=45°，AB与DE相交于点

G,当EF//BC时,NEGB的度数是（）

A.135°B.120°C.115°D.105°

5.（2020.山东枣庄.中考真题）如图，平面直角坐标系中，点8在第一象限，点A在％轴的正半轴上,

ZAQB=/B=30°,04=2,将A4O8绕点。逆时针旋转90°,点8的对应点6'的坐标是（）

A.卜+B.^—y/3,3^C.2+VsjD.（-3,V^）

6.（2020•四川内江•中考真题）如图，矩形A8CD中，2。为对角线，将矩形ABC。沿8E、B/所在直线折叠,

使点A落在2。上的点M处，点C落在30上的点N处，连结EF.已知AB=3,3c=4,则EF的长为（）

A.3B.5C.D.屈

7.（2020•江苏南通•中考真题）如图，在△ABC中，AB=2,NABC=60。，NACB=45。，。是BC的中点，直

线/经过点。，AELl,BF±l,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为（）

C.26D.372

8.（2020•四川绵阳•中考真题）如图，在四边形ABCD中，NA=/C=90。，DF〃BC,/ABC的平分线BE

交DF于点G,GHLDF,点E恰好为DH的中点，若AE=3,CD=2,则GH=（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2020・四川绵阳・中考真题）在螳螂的示意图中，AB〃DE,AABC是等腰三角形，ZABC=124°,ZCDE

=72°,则NACD=()

10.（2020・湖北中考真题）如图，D是等边三角形ABC外一点.若BO=8,CD=6,连接A。，则AO的最

大值与最小值的差为.

A

11.（2020・湖北黄石・中考真题）匈牙利著名数学家爱尔特希（P.Erdos,1913-1996）曾提出：在平面内有H个点,

其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的〃个点构成的点集称为爱尔特希点集.如图，

是由五个点A、B、C、。、。构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成）,

则ZADO的度数是.

12.（2020•辽宁营口•中考真题）如图，/MON=60°,点4在射线ON上，且。4=1,过点4作42」ON

交射线OM于点5,在射线ON上截取AM2,使得4A2=AIBI；过点4作A2&_LON交射线OM于点&,

在射线ON上截取A2A3,使得4/3=4282；•,•；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为.

13.（2020•广东深圳•中考真题）如图，已知四边形ABC。，AC与8。相交于点O,ZABC=ZDAC=90°,

1BOI，则》

tanZACB-

2'~OD

33CUD

14.（2020•四川宜宾•中考真题）在直角三角形ABC中，NACB=90",。是AB的中点，BE平分NABC交

AC于点E连接CD交BE于点O,若AC=8,BC=6,则OE的长是

15.（2020.贵州黔南•中考真题）如图所示，在四边形4BCO中，ZB=90°,AB=2,8=8.连接AC,

ACA.CD,若sinNACB=！，则AO长度是.

3

,D

B口--------0c

16.（2020•江苏常州・中考真题）如图，点C在线段AB上，且AC=28。，分别以AC、8C为边在线段43

的同侧作正方形ACDE、BCFG,连接EC、EG,则tanNC£G=.

17.（2020•山东济宁・中考真题）如图，在VABC中,AB=AC,点P在BC上.

（1）求作:ZSPCD,使点D在AC上，且APCDsaABP；（要求:尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在⑴的条件下，若/APC=2/ABC,求证:PD//AB.

18.（2020.广西河池・中考真题）（1）如图（1）,已知CE与AB交于点E,AC=BC,Z1=Z2.求证:

△ACE^ABCE.

（2）如图（2）,已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,Z3=Z4.探究AE与BE的数量关系，并说明

理由.

19.（2020•山东荷泽•中考真题）如图1,四边形ABCO的对角线AC,8。相交于点O，OA=OC,

OB=OD+CD.

4D'A

pD

图1图2

(1)过点A作AE//O。交8□于点E，求证：AE=BE；

⑵如图2,将AABD沿AB翻折得到△ABD.

①求证：BD'HCD

②若AD'//BC,求证：CD2=20DBD.

20.(2020•贵州黔东南・中考真题)如图1,Z\ABC和△£>&都是等边三角形.

探究发现

(□△BC。与△4CE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由.

拓展运用

(2)若8、C、E三点不在一条直线上，ZADC=30°,AD=3,CD=2,求8。的长.

(3)若8、C、E三点在一条直线上(如图2),且△ABC和的边长分别为1和2,求△AC。的面积及

AO的长.

21.(2020•辽宁沈阳•中考真题)如图，在矩形A8CD中，对角线AC的垂直平分线分别与边45和边CO的

延长线交于点M，N,与边AO交于点E，垂足为点。.

(1)求证：△AQW也△CON；

⑵若A8=3,AD=6,请直接写出4E的长为

22.（2020•四川眉山•中考真题）如图，口48。和都是等边三角形，点8、C、E三点在同一直线

上，连接80，AD，BD交AC于点、F.

(1)若ALP=DF.DB，求证：AD=BF\

(2)若44D=90°,BE=6.

①求tanNDBE的值；

②求。产的长.

23.（2020.湖南郴州•中考真题）如图1，在等腰直角三角形ADC中，NADC=90°,AO=4•点七是AD的

中点，以OE为边作正方形OEFG,连接AG,CE.将正方形。EFG绕点。顺时针旋转，旋转角为

a(00<a<90°).

（1）如图2,在旋转过程中，

①判断AAGO与是否全等，并说明理由；

②当CE=C。时，AG与EF交于点H,求GH的长.

⑵如图3,延长CE交直线AG于点P.

①求证：AG1CP；

②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

24.（2020•黑龙江朝鲜族学校中考真题）AABC中，点D在直线AB上.点E在平面内，点F在BC的延长线

上，ZE=ZBDC,AE=CD,ZEAB+ZDCF=180°.

（1）如图①，求证AD+BC=BE；

（2）如图②、图③，请分别写出线段AD,BC,BE之间的数量关系，不需要证明;

3

（3）若BEJ_BC,tan/BCD=-,CD=10,则AD=.

4

25.