17.1　勾股定理 教学设计 -2023-2024学年人教版八年级数学下册

第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时勾股定理学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；2.会用勾股定理进行简单的计算.重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.难点：会用勾股定理进行简单的计算.教学过程教学过程要点探究勾股定理的认识及验证我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，观察朋友家用等腰直角三角形地砖铺成的地面（如图）：问题1试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？问题2图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？AA问题3在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)思考：这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：右图：方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：根据前面求出的C的面积直接填出下表：思考正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？你能结合字母表示出来吗？命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2。二、小组活动以小组为单位，剪4个完全相同的直角三角形，类比探究思考中求解正方形C的面积方法，拼一拼，摆一摆，看看能否得到一个正方形，并利用等面积法证明勾股定理.借助数字教材中的拼图，学生上台展示。活动2证法1让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.证法2毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证法3美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.三、归纳总结勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形：小贴士：在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.四、利用勾股定理进行计算游戏竞赛环节：两名学生上台进行游戏竞赛。五、典例精析例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=b=5,求c;若a=1,c=2,求b.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．变式题2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.六、当堂检测求下列图中未知数x、y的值：2.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c23.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.4.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=_______.（2）若c=13，b=12，则a=_______.5.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．七、课堂小结