人教版高中数学选修（1-2）-3.1数系的扩充和复数的概念

第三章数系的扩充与复数的引入

3.1数系的扩充和复数的概念

一、教学目标

1.核心素养

通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.

2.学习目标

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数

的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以

及数与现实世界的联系.

（2）理解复数的基本概念，复数的代数形式及复数相等的充要条件.

（3）复数的向量表示.

3.学习重点

复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.

4.学习难点

复数相等的条件，复数的向量表示.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1阅读教材P102,思考：方程V+1=0在实数集中无解.联系从自然数系到

实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？

任务2阅读教材P103,思考：复数集C和实数集R有什么关系？

任务3阅读教材P104-P105,思考：实数与数轴上的点---对应，因此，实数可

以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么

呢？

2.预习自测

L下列复数中，满足方程炉+2=0的是（）

A.il

B.±i

C.±V2i

D.±2i

解：c

2.已知复数z="—（2—0）i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,6的值分别是

（）

A.y[2,1

B币,5

C.+V2,5

D.+V2,1

解：C

3.如果2=机（冽+1）+（疗一l）i为纯虚数，则实数机的值为（）

A.1

B.0

C.-1

D.-1或1

解：B

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括

自然数一分数一负数一整数一有理数一无理数一实数

2.问题探究

问题探究一数系的扩充|重点知识支

对于实系数一元二次方程k+1=°,没有实数根.我们能否将实数集进行

扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

•活动一回顾旧知，回顾数集的扩充过程

对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括

自然数一分数一负数一整数一有理数一无理数一实数（教师引导）

•活动二类比旧知，探究数系的扩充.

对于实系数一元二次方程/+1=0,没有实数根，我们能否将实数集进行

扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢?

我们说，实系数一元二次方程/+1=0没有实数根.实际上，就是在实数范

围内，没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题，其本质就是解决一个什

么问题呢？

最根本的问题是要解决一1的开平方问题.即一个什么样的数，它的平方会等于一

1.

我们引入一个新数i,它的平方等于一1

•活动三类比探究，研究新数i的运算性质

把实数和新引进的数i像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍

成立，你得到什么样的数？

根据前面讨论结果，我们引入一个新数i,i叫做虚数单位，并规定：

①虚数单位i的平方等于-1,即i?=-1

②i的周期性：i4w+1=i,i4w+2=-1>i"+3=t,i"=i("eZ)

③实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成

立.

有了前面的讨论，引入新数i,可以说是水到渠成的事.这样，就可以解决

前面提出的问题(-1可以开平方，而且-1的平方根是±i).

问题探究二复数的概念|重点、难点知画♦入

•活动一理解概念，复数的代数形式

怎样表示一个复数？

根据虚数单位的第③条性质，i可以与实数匕相乘，再与实数a相加.由于满

足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+历这样，数的范围又扩充

了，出现了形如。+历的数，我们把它们叫做复数.复数通常用字母z表

示，即2=。+历，(其中a,5©R),这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、

b分别叫做复数z的实部与虚部.

复数的实部、虚部满足什么条件表示实数？

对于复数a+bi(a,Z?©R),

当且仅当斤0时,它是实数；

当且仅当。=0且。=0时,它是实数0;

当公0时,叫做虚数；

当a=0且"0时,叫做纯虚数.

•活动二剖析概念

复数机十〃i的实部、虚部一定是机、〃吗？

不一定，只有当冽©R,“©R,则机、〃才是该复数的实部、虚部.

对于复数。+历和c+di(a,b,c,d®R),你认为满足什么条件时，这两个

复数相等？

(a=c且反d,即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.)

任意两个实数可以比较大小，复数呢？

如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.

•活动三完善知识体系

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系是怎样的？

复数z=o+bi(a,beR)包括:

'实数(b=0)

复数zL好人八、］一般虚数03*0,。工0)

虚数(bwO乂

［［纯虚数(bw0,a=0)

•活动四复数基本概念、复数的代数形式、复数充要条件的应用

例1实数m取什么值时z=m+l+(m-l)i是(1)实数(2)虚数(3)纯虚数？

【知识点：复数的概念，复数的代数形式，虚数、纯虚数的概念；数学思想：分

类讨论】

详解：(1)当m-1=0,即根=1时，复数z是实数；

(2)当根-I/O即加wl时，复数z是虚数；

⑶当加+1=0,根—1/0即m=-l时，复数z是纯虚数.

点拨：本题是对实数、虚数、纯虚数概念的考查.因为加GH,所以

由z=a+历是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m的值.

例2已知一%+广,=(♦—2x—3)i(x£R),求x的值.

【知识点：复数相等的充要条件】

x2-x-6

"I—。解得：x=3（负值舍），

{%2-lx―3=0.

所以x=3为所求.

点拨：本题考查复数相等的充要条件.对于复数。+历和c+di（a,b,c,d©R）当且

仅当斫c且0=d,即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.

例3zi=m2+l+（m2+m—2）i,z2=4m+2+（m2—5m+4）i,若zi〈Z2,求实数

m的取值范围.

【知识点：复数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】

详解：由于zi<Z2,meR,

•'.21GR且Z2©R,当ZI^R时，m2+m—2=0,

m=l或m=—2.

当Z2©R时，m2—5m+4=0,

m=1或m=4,

...当m=1时，符合题意，止匕时Zl=2,Z2=6,满足Z1<Z2.

，Z1<Z2时，实数机的取值为m=L

点拨：本题考查对复数概念的理解.如果两个复数不全是实数，那么它们不能比

较大小.

问题探究三复数的几何意义|重点、难点知识

•活动一类比实数的几何意义，探究复数的几何意义

若把a,b看成有序实数对（a,b）,则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应

关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一

对应关系）

实数可以用数轴上的点来表示

实数轴上的点（几何模型）<一一对应>实数

这里面体现的是“数”、“形”互换的思想.

任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定.因为有

序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点---对应，所以复数集与平面直角坐

标系中的点集之间可以建立一一对应.

复数z=。+历（a,5GR）一—对应复平面内的点Z（a,b）；

如图：复数z=a+bi可以用点Z（a,b）（复数的几何形式）来表示，这个建立了

直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点（除了原点）都表示纯虚数.

例4实数m取什么值时，复平面内表示复数（疝-8加+15）+（加2-5瓶-14）i的点,

（1）位于第四象限（2）位于y=x±?

—8m+15>0

详解：⑴由"-8加+15,/_5加-14）位于第四象限，得.

—5m-14<0

解得,—2<m<3^c5<m<7

(2)由(加2-8M+15,加2-5M-14)位于直线y=x上，得加2—8加+15=疝—5加-14即

m=一

3

点拨：本题考查复数的几何意义即复数z=a+bi与点Z（a,b）一一对应.复数

z=a+bi表示的点坐标为（。力），分别由条件求解即可得.

•活动二类比探究复数的另外一个几何意义

除了用平面里的点表示复数，还可以用什么表示复数？还可以用向量！

设复平面内的点Z（相对于原点来说）也可以由向量应唯一确定.反之，也成立.

因此，复数z=a+bi与。Z也是---对应的（实数0与零向量对应），这是复数的

另一种几何意义.

复数z,点Z（a,b）,反三者关系如下：

复平面内的点Z(aft)<〜>平面向量应

复数z=a+6

复数的向量形式.以原点0为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数.

•活动三探究复数的模的几何意义

向量莅的模叫做复数z=a+历的模，记作|z|或|°+历

由模的定义知：

|z|=|a+历|=r=Ja?+J(r>0,re7?)

例5已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.

【知识点：复数的几何意义，复数的模；数学思想：数形结合】

详解：方法一：Vz=3+tzi(tzGR),.*.|z|=^32+a2,

由已知得32+次<42,/<7,aG(—^7,巾).

方法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆

心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,

所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.

由图可知：一巾<a<巾

点拨：本题考查复数的几何意义即复数的模及考查数形结合思想.

例6设z©C,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么

图形(l)|z|=2；(2)1虫口.

【知识点：复数的模的几何意义，复数的模；数学思想：数形结合】

详解：(1)方法一：|z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2,

这样的点Z的集合是以原点。为圆心，2为半径的圆.

方法二：设z=o+历，由|z|=2,

得/+/=4.故点Z对应的集合是以原点。为圆心，2为半径的圆.

(2)不等式|z区2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点的集合.不等式|zRl的解集是

圆|z|=l及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件l<|z|<2的

点的集合.

如图中的阴影部分，所求点的集合是以。为圆心，以1和2为半径的两圆所夹

的圆环，并且包括圆环的边界.

点拨：解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：

一是回表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;

二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决

3.课堂总结

【知识梳理】

f实数团=0)

(1)复数的分类：复数(z=a+历，a,Z?©R)<J纯虚数(a=0)

虚数团叫非纯虚数(存0)

(2)复数相等的充要条件

设a,b,c,d都是实数，那么a+"i=c+diQa=c且

(3)复数与点、向量间的对应

①复数z=。+历(a,b©R)一—对应复平面内的点Z(a,b)；

②复数z=a+历(a,8©R)丁雪2平面向量龙=(a,b).

(4)复数的模

复数z=a+历(a,5©R)对应的向量为或，则改的模叫做复数z的模，记作|z|,

且闫二,^十人.

【重难点突破】

(1)对于复数概念，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数

的实部、虚部，然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程(或不等

式)的方法求出相应参数的取值(或取值范围)

（2）对于复数相等的问题.必须保证实部和虚部都分别相等

（3）对于复数的向量表示，先准确找出复数所表示的向量是关键.

4.随堂检测

L若复数（4—。一2）+（|a—1|—l）i（aGR）不是纯虚数，则（）

A.a=11B.存一1且分2C.蚌—1D.存2

【知识点：纯虚数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】

解：C.若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当/—。一29

时，已知的复数一定不是纯虚数，解得分一1且分2；当a2-a-2=0且|a—1|

—1=0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得。=2.综上所述，当今一1时，

已知的复数不是一个纯虚数.

2.如果z=m（m+l）+（加2—l）i为纯虚数，则实数机的值为（）

A.lB.OC.-lD.-1或1

【知识点：复数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】

m（m+l）=0

解：B由题意知J：.m=0.

〔加92—1和

3.在复平面内，复数z=i+2i2对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【知识点：复数几何意义；数学思想：数形结合】

解:B,.•z=i+2i2=—2+i,.,.实部小于0,虚部大于0,故复数z对应的点（-2,

1）位于第二象限..

4.在复平面内，。为原点，向量国对应的复数为一l+2i,若点A关于直线丁=

—x的对称点为3,则向量仍对应的复数为（）

A.-2-iB.-2+iC.l+2iD.—l+2i

【知识点：复数的几何意义；数学思想：数形结合】

解：BVA（-L2）关于直线丁=—%的对称点3（—2,1）,...向量仍对应的复数

为-2+i.

（三）课后作业

基础型自主突破

1.说出复数2+3)火3的实部和虚部.

3

【知识点：复数的概念、复数的代数形式】

解：复数2+3i的实部是2,虚部是3；-君的实部是-石，虚部是0；-3的实

3

部是0,虚部是-L

3

2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？

2+V7,0.618,-z,0,i,i2,5z+8,3-9A/2Z

7

实数：虚数:纯虚数：

【知识点：复数的概念、复数的代数形式】

解：实数有：2+近，0.618,0,产

虚数有：-i,i,5i+8,3-9A/2Z

7

纯虚数有：-z,i

7

3.设。是原点，向量后,而对应的复数分别为2—32,—3+22,那么向量而

对应的复数是()

A.-5+5zB.-5-5zC.5+5zD.5-5z

【知识点：复数的概念、复数的几何意义】

解：D点拨：BA=OA-OB=(2-30-(-3+2i)=5-5i.

4.下列〃的取值中，使铲=l(i是虚数单位)的是()

A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5

【知识点：复数的概念、复数的代数形式】

解：因为r=1,故选C.

5.设z是复数，a(z)表示满足z"=l的最小正整数”，则对虚数单位，，«(/)=()

A.8B.6C.4D.2

【知识点：复数的概念、复数的代数形式】

解：tz(z)=in=1,则最小正整数〃为4,选C.

6.若复数"-5冽+6)+(疗-3m)i为纯虚数，试求实数用的值.

【知识点：复数的概念、复数的代数形式】

解：若复数仇2-5加+6)+优2-3加)为纯虚数，贝心m=2

nr-3m，0

能力型师生共研

7.若。©寻，苧)，则复数(cos6+sin6)+(sin6—cos6)i在复平面内所对应的点在

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【知识点：复数的几何意义；数学思想：数形结合】

解：B.,.,££(,,苧)，...cos8+sin。＜0,sin6—cos。＞0..,.选B.

8.复数复数(次一。一2)+(|a—1|—l)i(adR)不是纯虚数，则有()

A.a=11B.存一1且存2C.ar—1D.存2

【知识点：纯虚数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】

解：C.若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当次—a—29

时，已知的复数一定不是纯虚数，解得分一1且分2；当/—a—2=0且心一1|

—1=0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a=2.综上所述，当今一1时，

已知的复数不是一个纯虚数.

9.集合{Z|Z=i'+厂},用列举法表示该集合，这个集合是()

A.{0,2,-2}B.{0,2}

C.{0,2,-2,2i}D.{0,2,-2,2i,一2i}

【知识点：复数的乘法运算】

解：A点拨：根据八成周期性变化可知.

10.设A、3为锐角三角形的两个内角，则复数z=(cos3—tanA)+tan3i对应的

点位于复平面的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【知识点：复数的几何意义；数学思想：数形结合】

解：B

探究型多维突破

11复数zi=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A、B、C,若ZBAC

是钝角，求实数C的取值范围.

【知识点：复数的几何意义，代数形式】

解：在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由NBAC是钝

角得AbAC<0,且B、A、C不共线，由(-3,-4)-(c-3,2c-10)<0解得c茅，其中

当c=9时，AC=(6,8)=-2AB,三点共线，故W9....c的取值范围是

49

(—,9)(9,+s).

11--

12.在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？

(1)|z-l-i|=|z+2+i|；(2)|z+i|+|z-i|=4；(3)|z+2|-|z-2|=l；

(4)若将(2)中的等于改为“W”呢？

【知识点：复数四则运算及复数几何意义】

解：(1)直线；(2)椭圆；(3)双曲线；(4)椭圆及其内部

自助餐

1.已知i是虚数单位，则复数Z=i2015的虚部是()

A.OB.-1C.lD.-i

【知识点：复数的乘法运算】

解：D

2.设i是虚数单位，则复数1-2i+3i2-4i3等于()

A.-2-6iB.-2+2iC.4+2iD.4-6i

【知识点：复数的乘法运算】

解：B

3.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,则封的值是()

A.2B.lC.-1D.-2

【知识点：复数的运算、复数相等的概念】

解：B

4.设复数z=l+bi(b©R)且|z|=2,则复数的虚部为()

A.V3B.±V3zC.±lD.±V3

【知识点：复数的概念、复数的代数形式、复数的模】

解：D

2

5.2+市，干,0,8+5i,（1—M§）i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为（)

A.OB.lC.2D.3

【知识点：复数的概念、复数的代数形式】

2

解：c.]i,（1—小）i是纯虚数，2+S，0，0.618是实数，8+5i是虚数.

6.已知复数2=六十（次一）是实数，则实数。的值为（）

A.1或一1B.1C.-lD.0或一1

【知识点：复数的概念、复数的代数形式】

（a2—

解：C.因为复数]：^1+（，一是实数,且a为实数，贝山―屏1=。0,,解得

a=一1

7.复数z=icos。，6»e[0,2兀）的几何表示是（）

A.虚轴

B.虚轴除去原点

C.线段尸。，点尸，。的坐标分别为（0,1）,（0,-1）

D.C中线段P。，但应除去原点

【知识点：复数的几何意义；数学思想：数形结合】

解：C

8.已知（2机一5〃）+3i=3〃一（m+5）i,m,“GR,则根+九=.

【知识点：复数的概念、复数的代数形式】

2m—5n=3n,[m——8,

解：一10根据复数相等的充要条件可知：C,1八解得c所

[3=-（m+5）,[n=-2.

以m+n=-10.

9.若复数（用2—3加-4）+（用2—5加—6）i是虚数，则实数m满足.

【知识点：复数的概念、复数的代数形式】

解：加7―1且加W6.因为m2—3m—4+（m2-5m—6）i是虚数，所以m2-5m_6^0,

所以m=/^—1且m^=6.

10.如果log[(加+〃)一(加2—3加)i>—1,如何求自然数机，n的值?

2

【知识点：复数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】

解：因为log1(m+n)—(m2—3m)i>—1,所以log](m+n)-(m2—3m)i是实数，

22

从而有m2—3m=0,且log1(机+〃)>-1

2

解得m=0或m=3,

当机=0时，代入②得〃<2,又加+〃>0,所以九=1；

当机=3时，代入②得〃<—1,与〃是自然数矛盾，

综上可得m=0,n=l.

11.设复数z=lg(m2-2m—3)+(m2+3m+2)i,

(1)当实数机为何值时，z是纯虚数？

(2)当实数机为何值时，z是实数？

【知识点：复数的概念、复数的代数形式；数学思想：分类讨论】

解：(1)因为复数z=lg(m2—2m—3)+(m2+3m+2)i是纯虚数，

fm2—2m-3>0,

所以J1g(机2—2加—3)=0,解得m=,所以当机=1±\3时，z是纯虚数.

lm2+3m+2^0.

m2—2m—3>0,

(2)因为复数z=lg(«?—2加-3)+(二+3根+2)i是实数，所以《2

[机~十3加十2=0,

解得加=—2,所以当机=—2时，z是实数.

12.已知复数|z|=1,求复数|3+4i+z|的最大值及最小值.

【知识点：复数的几何意义；数学思想：数形结合】

解：令①=3+4i+z,则z=o一(3+4i).

V|z|=l,.\|co-(3+4i)|=l,

复数0在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，

对应的复数(0A的模最大为5+1=6；

对应的复数oB的模最小，为5—1=4,

•••复数|3+4i+z|的最大值及最小值分别为6和4.

数学视野

自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个

自然数，后来随着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数.

从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再

现.

随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，

都需要进行测量.在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地

度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾.这样，分数就应运而生.据数学史书

记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问题.引进分数，这是数的

概念的第一次扩展.

最初人们在记数时，没有“零”的概念.后来，在生产实践中，需要记录和计

算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法，零的产生就不

可避免的了.我国古代筹算中，利用“空位”表示零.公元6世纪，印度数学家开始

用符号“0”表示零.但是，把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0,这是数的概念的

第二次扩充.

以后，为了表示具有相反意义的量，负数概念就出现了.我国是认识正、负

数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲，直到17世纪才

对负数有一个完整的认识.引进负数，这是数的概念的第三次扩充.

数的概念的又一次扩充渊源于古希腊.公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯

（Pythagqras,约公元前580〜前500）学派发现了单位正方形的边长与对角线是不

可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生.当时只

是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到19世纪70

年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次