初中函数总复习

2017中考快递——函数

作者简介：李斌，郑州市第四十五中学数学教师，曾多次辅导学生参加数学竞赛并取

得佳绩，连续多年参与中招考试数学指导等期刊的编写，对函数、证明、应用题等重要题

型的专题教学积累了很多经验与心得，愿和大家分享交流。联系方式/p>

考点指要

（一）知识要点分析

函数知识及相关题型是历年中招考试中的重要考查部分，涉及的知识有：函数基础知识、

函数图象及应用、一次函数、反比例函数、二次函数；涉及的题型有：选择题、填空题、解

答题、综合题等；在难度的分布上倾向于中等、偏难等，尤其是函数综合题每年在中招试卷

中稳居压轴地位，起着区分学生程度、拉开成绩差距的重要作用，通过系统复习、全面练习、

科学总结并掌握函数题各种题型的解题技巧，对每一位考生有着非同一般的意义。

1.函数基础知识

本部分内容的重点知识点有两个：

①自变量的取值范围的确定；

②从函数图象中读取相关的信息，或者由相关的信息判断给定的函数图象是否正确.

本部分内容的易错和易混知识有两个：

②坐标轴上的点不属于任何象限，x轴上的点纵坐标为0,y轴上点的横坐标为0；

②自变量的取值范围的确定.如果函数的解析式是整式，那么自变量的取值范围是全体

实数；如果函数的解析式是分式，那么自变量的取值范围是使分母不为0的实数；如果函

数的解析式中含有零指数、负整数指数累，自变量的取值范围是使底数不为0的实数；实际

问题，函数自变量的取值范围必须使实际问题有意义，如不能取负值或小数等.

2.一次函数

①掌握本部分内容必须具备的知识：一次函数的定义、图象和性质，待定系数法，解方

程（组）.在复习中要注意函数思想的运用，通过构造一次函数模型，利用一次函数的增减

性及自变量的取值范围解决实际中的最大值、最小值问题.

②本部分内容的重难点是一次函数图象的性质和应用；易错点是一次函数图象的应用.

本部分是各地中考的必考内容，常考的是一次函数的图象和性质，求一次函数的解析式,

求直线的交点坐标，利用一次函数的增减性解决实际问题.考查的形式有填空题、选择题和

解答题，一般占各地中考试卷分数比例的6%左右.针对河南中考对本部分内容的考查主要侧

重于：一次函数的图象特征与性质，一次函数的平移规律，一次函数与一元一次不等式、二

元一次方程（组）的关系进行考查.

3.反比例函数

本部分必须掌握的考点是：反比例函数的概念、图象和性质，用待定系数法解方程（组）

求得函数的解析式.在复习中注意数形结合思想、方程思想的运用，注意利用图形的直观性

解题.

河南省对反比例函数的考查主要表现在三个方面：求反比例系数k的值或反比例函数的

解析式，k的几何意义以及一次函数与反比例函数相结合，反比例函数与三角形或四边形相

结合，如，河南中考2016年的第5题，2014年第20题，2013年的第20题，2012年的第

13题，因此这也是本部分内容的重中之重.

4.二次函数

本部分的重点是二次函数的图象、性质和应用.考查的形式有填空题、选择题和解答题，

常以综合题的形式作为河南中考压轴题.

本部分易错的知识点有三个：①方程与二次函数的关系：当函数值为。时，方程是否有

解即抛物线与X轴是否有交点，方程的解即为抛物线与X轴交点的横坐标；②不等式与二次

函数的关系：若y>0即得到一元二次不等式以2+法+00（办2+陵+。<0）,此时确定

不等式的解集就是转化为抛物线相应点横坐标的取值集合；③由抛物线的开口方向，对称轴

可以确定a、b的符号，由抛物线与y轴的交点位置可以确定c的符号，由抛物线与x轴的

交点个数可以确定/-4ac的符号.

近年试题考点分布

呈现题目

考查内容考查形式

20122013201420152016

函数基础①用坐标的方法描述点的位置；/388/

知识②求函数自变量的取值范围.

1次函数①一次函数的图象和性质；7、1921211123

函数

②求一次函数的解析式；

③一次函数与一元一次不等式.

反比例函①求反比例系数k的值或反比例函13202011、5

数数的解析式；21

②k的几何意义以及一次函数与反

比例函数相结合；

③反比例函数与四边形相结合.

二次函数①二次函数的解析式；5、2313、2312、13、

②求抛物线的对称轴、顶点坐标：232321、

③能够构造二次函数模型解决实23

际中的最值问题.

（二）学生答题情况分析

在2016年河南中考数学试卷中，考查到的有关函数及其图像的题目有4道，约27分

左右，学生在解决考查反比例函数性质的题目（如5题）时，表现良好，但也有一些学生把

函数图象与函数性质的对应关系搞不清而导致计算失误.在解答有关二次函数图象和性质的

题目（如21题）时，表现出仅仅会背概念和图象性质，但如何灵活应用不知所措，产生错

误的原因主要是：1.审题不到位，不理解题意；2.对二次函数的增减性与一次函数的增减性

混淆.在解答综合题目（如23题）时学生出现的主要问题有：1.待定系数法把握不牢.2.构造

法不熟.3.不会用点的坐标表示其它量.4.分类的方法未完全掌握.

（三）命题预期

1.函数基础知识

在考查形式上，一般以基础题出现，以选择题与填空题为主.关于函数图象主要考查学

生对数形结合思想的理解和收集处理信息的能力，如2014年的第8题；对坐标系的考查，

多与图形的变换相结合，通过变换求相应点的坐标，如2015年的第8题.掌握这些知识是学

习后面知识的基础，预测2017年的河南中招有可能会在填空题和选择题中涉及对此的考查,

不过难度不会太大.

2.一次函数

2017年河南中考对本部分内容考查仍可能以一次函数的图象特征与性质，一次函数与

-元一次不等式、二元一次方程（组）的关系，建立一次函数模型解决实际问题为主.其中

一次函数的性质仍是重点，关注社会热点，创设新情境，加强与其他知识的综合.2017年中

考复习应予以高度关注.

3.反比彳列函数

纵观近几年的河南中考，反比例函数与其他知识的综合题出现增多，难度逐步增大,2016

年复习备考应引起重视.预计2017年河南省中考对本部分内容的考查，从内容、题型、难度

上仍会延续前两年的形式，分值在10分左右.

4.二次函数

在考查形式上，一般以综合解答题、压轴题的形式出现.预测2017年对本部分的考查

也仍将以分类讨论为主要内容，结合数形结合、最值问题、转化等数学思想方法，综合三角

形或者四边形知识继续压轴出现.其中生活中的实际问题，考查二次函数的最值问题的难度

仍将保持中等，但是与几何知识综合考查的题目难度较大，2017年备考应加大训练量.

（四）复习策略与解答策略

（一）函数基础知识

复习的时候采取突破方法有三点：

1.运用数形结合的思想来理解，体会函数的基础知识.

2.理解平面直角坐标系内点的坐标特征，复习平移、旋转、轴对称的相关知识.

3.联系生活实际，利用函数图象刻画实际生活问题，探究规律，解决问题.

（-）一次函数

在复习方法方面，考生要做到会用待定系数法求解一次函数的解析式，先设出式子中的未

知系数，将已知条件转化成含有未知数的方程（组），解方程（组），求得未知系数即可;掌握求两个

函数图象交点的方法;数形结合思想是重要的数学思想，要学会从“数”分析到“形”，由“数”的特

征想到“形”的结合,以及由“形'’的特征想到“数”的特征能力，从而实现数形结合;联系实际生活

背景,利用函数图象刻画生活实际问题，探究规律，解决问题.

（三）反比例函数

针对本部分的内容考生在复习的时候应正确理解和掌握反比例的图象和性质，运用数形

结合的思想形象地解答与反比例函数图象有关的问题，要善于分析、处理与反比例函数的有

关的实际问题，提高解决实际问题的能力.

（四）二次函数

针对上述的分析，建议在复习的时候采取突破方法有三点：1.在求二次函数解析式过程

中应结合图象确定函数表达式，再通过一元一次方程或二元一次方程组求得，同时应掌握二

次函数与一元二次方程之间的内在联系.2.二次函数的应用是初中数学的重点和难点，通常

与最值问题在一起，解这类题时要注意以下几点：（1）一般情况下题目中的条件在列等式（或

不等式）时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件；（2）正确理解题目中的关键词语：

如多少、上升、下降、不大于、不小于、不超过等确切的含义；（3）将实际问题分析转化为

函数问题来解决.

第一部分函数基础知识

一、典例分析

例1（2016天水）如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边它们的边

BV,BC位于同一条直线1上，开始时，点C与B重合，AABC固定不动，然后把△ABC，

自左向右沿直线I平移，移出4ABC外（点B，与C重合）停止，设△A，B，C平移的距离为x,

两个三角形重合部分的面积为y,则y关于x的函数图象是（

VB©一

【点评】本题主要考查是反比例函数图象上点的坐标特点，确定出yi、y2的正负时解题的

关键.

【考点】动点问题的函数图象.

【分析】分为0<xWl、1<XW2、2VxW3三种情况画出图形，然后依据等边三角形的性质

和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案.

【解答】解：如图1所示：当0<xWl时，过点D作DEJ_BC'.

VAABC和均为等边三角形，

.•.△DBC为等边三角形.人

.-.DE=^BC'=^X..,.y=-1|BC,»DE=Sc2.当x=l时，y=^|,

且抛物线的开口向上./不_______\

如图2所示：1<XW2时，过点A，作A，E，B，C,垂足为E.

函数图象是一条平行与x轴的线段.

如图3所示：2<xW3时，过点D作DE_LB，C,垂足为E.

（x-2）2,函数图象为抛物线的一部分，且抛物线

开口向上.

故选：B.

【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析

BB,

式是解题的关键.图3

例2(2016贵阳)星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走

了60min后回家，图中的折线段OA-AB-BC是她出发后所在位置离家的距离s(km)与

行走时间t(min)之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是()

【考点】函数的图象.

【分析】根据给定s关于t的函数图象，分析AB段可得出该段时间蕊蕊妈妈绕以家为圆心

的圆弧进行运动，由此即可得出结论.

【解答】解：观察s关于t的函数图象，发现：

在图象AB段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，

.•.可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B.

故选B.

例3(2016吉林)甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，

甲出发lh后，

y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示.

(1)甲的速度是60km/h；

(2)当1女45时，求y乙关于x的函数解析式；

(3)当乙与A地相距240km时，甲与A地相距220km.

【考点】一次函数的应用.

【分析】(1)根据图象确定出甲的路程与时间，即可求出速

度；

(2)利用待定系数法确定出y乙关于x的函数解析式即可；

(3)求出乙距A地240km时的时间，乘以甲的速度即可得到结果.

【解答】解：⑴根据图象得:360+6=60km/h；

(2)当14x45时,设y「kx+b,

1k+b=0

把(1,0)与(5,360)代入得:

l5ktb=360

解得：k=90,b=-90,

则y乙=90x-90；

(3)令y乙=240,得至

J

则甲与A地相距6°#220km,

故答案为：(1)60；(3)220

二、经典回顾

例1（2015湖北十堰）如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的,一

边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s,

则s关于t的函数图象大致是【】.

O

分析：根据蚂蚁在窟上运动时，随着时间的变化，距离不发生变化，得出图象是与x

轴平行的线段，即可得出结论.

解：一只蚂蚊从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA这一段，

蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；

到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，图象是与x轴平行的线段；走另一条半径OB

时，S随t的增大而减小；

故选：B.

例2（2015柳州）如图,二次函数尸a\2+bx+c的图象与x轴相交于（-2,0）和（4,0）

两点，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是【

A.x<-2B.-2<x<4C.x>0D.x>4

分析：利用当函数值y>0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值范围即可.

解：如图所示：当函数值y>0时，自变量x的取值范围是：-2<x<4.

故选：B.

例3（2015贵阳）一家电信公司提供两种手机的月通话收费

方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费.这

两种收费方式的通话费用y（元）与通话时间x（分钟）之

间的函数关系如图所示.小红根据图象得出下列结论：

描述的是无月租费的收费方式；

012描述的是有月租费的收费方式；

③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费

方式省钱.

其中，正确结论的个数是【】.

A.0B.1C.

分析：根据1|是从原点出发可得不打电话缴费为0元，因此是无月租费的收费方式；b

是从（0,20）出发可得不打电话缴费为20元，因此是有月租费的收费方式；两函数图象交

点为（400,40）,说明打电话400分钟时，两种收费相同，超过500分钟后，当x取定一个

值时，h所对应的函数值总比12所对应的函数值大，因此当每月的通话时间为500分钟时,

选择有月租费的收费方式省钱.

解答：解：①h描述的是无月租费的收费方式，说法正确；

②12描述的是有月租费的收费方式，说法正确；

③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱，说法正确.

故选：D.

三、试一试

1.在函数y=信中,自变量x的取值范围是【】.

A.x<lB.x>lC.x<lD.x>1

2.在平面直角坐标系中，下列函数的图像经过原点的是【】.

5

A.y=-x+3B.y=—C.y=2xD.y=-2厂9+x-7

x

3.如图，是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表

示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是【】.

4.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千米）

随时间分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不氐

砸的是【】.

A.甲先到达终点

B.前30分钟，甲在乙的前面

C.第48分钟时，两人第一次相遇

D.这次比赛的全程是28千米

第4题

5.如图，矩形ABC。中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发，按AfB—C

的方向在A8和BC上移动，记以=彳，点。到直线出的距离为y,

则y关于x的函数图象大致是【

A.

6.设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在

乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车

的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返

回.设x秒后两车间的距离为y千米，y关于x的函数

关系如图所示，则甲车的速度是米/秒.

7.惠民新村分给小慧家一套价格为12万元的住房.按要求，需首期（第一年）付房款3万

元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和.假设剩余房款年利

率为0.4%,小慧列表推算如下：

第一年第二年第三年・・・

应还款（万元）30.5+9x0.4%0.54-8.5x0.4%•••

剩余房款（万元）98.58•・・

若第〃年小慧家仍需还款，则第〃年应还款万元

8.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时

间为x（h）,两车之间的距离为），（km）,图中的折线表示了与x之间的函数关系.

根据图象进行以下探究：

信息读取

（1）甲、乙两地之间的距离为km；

（2）请解释图中点8的实际意义；

图象理解

（3）求慢车和快车的速度；

第8题

（4）求线段8C所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围;

问题解决

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车

相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

第二部分一次函数

一、典例分析

例1.（2016桂林）如图，直线y=ax+b过点A（0,2）和点B（-3,0）,则方程ax+b=0

的解是（）

A.x=2B.x=0C.x=-1D.x=-3

分析：

【考点】一次函数与一元一次方程.

【分析】所求方程的解，即为函数丫=2*+1）图象与X轴交点横坐标，确定出解即可.

【解答】解：方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，

•♦•直线y=ax+b过B（-3,0）,

二方程ax+b=0的解是x=-3,故选D

例2.（2016贵阳）已知点M（1,a）和点N（2,b）是一次函数y=-2x+l图象上的两

点，则a与b的大小关系是a>b.

【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据一次函数的一次项系数结合一次函数的性质，即可得出该一次函数的单调性,

由此即可得出结论.

【解答】解：•••一次函数y=-2x+l中k=-2,

,该函数中y随着x的增大而减小，

V1<2,

.,.a>b.

故答案为:a>b.

二、经典回顾

例1.（2015福建南平）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是【】.

A.（-4,0）B.（-1,0）C.（0,2）D.（2,0）

分析：根据平移可得直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2-6=2x-4,

再求出与x轴的交点即可.

解：直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2-6=2x-4,

当y=0时，x=2,

因此与x轴的交点坐标是（2,0）,

故选：D.

例2.A,6两城相距600千米，甲、乙两车同时从4城出发驶向6城，甲车到达6城后立

即返回.如图是它们离4城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象.

（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度.

分析：本题主要考查通过•次函数的图象来解决实际问题，因此读图、识图是是关键,然后用

待定系数法求函数解析式.

解：(1)①当0<xW6时，y=100x-,

②当6VxW14时，^y=kx+b,

•.•图象过(6,600),(14,0)两点，

6k+b=600,k=—75,

•••丁,，,解得

14攵+8=0A.—1050.

y=-75x+1050.，

’100x(0<x<6)

y=«

-l-75x+1050(6<x<14).

(2)当x=7时，y=—75x7+1050=525,—=75（千米/小时）.

7

三、试一试

1.关于函数丫=—X—2的图像，有如下说法：

①图像过点(0,-2)；

②图像与x轴的交点是(一2,0)；

③由图象可知y随x的增大而增大；

④图像不经过第一象限；

⑤图像是与y=-x+2平行的直线，其中正确说法有【】.

A.5个B.4个C.3个D.2个

2.某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程点m计算，甲汽车租凭公司

每月收取的租赁费为/元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为M元，若M、M与x之间

的函数关系如图所示，其中x=0对应的函数值为月固定租赁费,

则下列判断第退的是【】.

A.当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同

B.当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公车比较合算

C.除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁

公司多

D.甲租赁公司平均每公里收到的费用比乙租赁公司少

3.如图，直线4：y=x+l与直线4：y=+n

相交于点尸(a,2),则关于x的不等式x+1+〃的解集为

4.一次函数y=mx+|m-1|的图象过点(0,2)且y随x的增大而增大，

则m二.

5.如图，一次函数尸kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经

过点A(l,-2),则kb=.

第5题

6.如图，直线y二kx-6经过点A(4,0),直线y=-3x+3与x轴交于点B,且两直线交于点

C.

(1)求k的值；

(2)求AABC的面积.

7.某校接受了大型团体操表演任务.为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣

公司都愿成为这批服装的供应商.经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相

同，即男装每套120元，女装每套100元.经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服

装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100

元打八折，公司承担运费.另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的

2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人.

（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用yi（元）和y2（元）与参演男生人

数x之间的函数关系式；

（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由.

第三部分反比例函数

一、典例分析

例1（2016甘肃天水）反比例函数产-工■的图象上有两点R（xpyi）,P2（x2,y2）（

若Xi<0VX2，则下列结论正确的是（）

A.yi<y2<0B.yi<0<y2c.y（>y2>0D.y1>0>y2

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】由反比例函数的解析式可知xy=-1,故x与y异号，于是可判断出yHy2的正负,

从而得到问题的答案.

【解答】解：：y=-4

XI

/.xy=-1.

・・.x、y异号.

Vx1<0<x2,

Ayi>0>y2.

故选：D.

例2（2016杭州）设函数产』（k/0,x>0）的图象如图所示，若z=g则z关于x的

Wy]

函数图象可能为（），

【考点】反比例函数的图象.

【分析】根据反比例函数解析式以及Z=』，即可找出Z关于X的函数解析式，再根据反比

y|

例函数图象在第一象限可得出k>0,结合x的取值范围即可得出结论.

【解答】解：：y=K(kWO,x>0),

xj

11j^lx|

W(kWO,x>0).

y-k

xj

•..反比例函数y—j(kWO,x>0)的图象在第一象限，

.\k>0,

z关于x的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象.

故选D.

例3(2016包头)19.如图，在平面直角坐标系中，点A在

第二象限内，点B在x轴匕ZAOB=30°,AB=BO,反比例

函数y上

(x<0)的图象经过点A,若S4ABO=^，则k的

X

值为____________

分析

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【分析】过点A作AD，x轴于点D,由/AOB=30。可得出黑乂之,由此可是点A的坐标

0D!31

为(-3a,立a),根据S&\BO小母吉合三角形的面积公式可用a表示出线段OB的长，再

由勾股定理可用含a的代数式表示出线段BD的长，由此即可得出关于a的无理方程，解方

程即可得出结论.

【解答】解：过点A作AD，x轴于点D,如图所示.

VZAOB=30°,AD±OD,

.*.-^j=tanNAOB=^^,

・•・设点A的坐标为（-3a,爽a）.

「S△ABO=^）B•A

2

AOB=—

a

=9

在RtZiADB中，ZADB=90°,AD=Ja,AB=OB--；

a

解得：a=l或a=-1(舍去).

・••点A的坐标为(-3,0)

，k=-3x^=-3炎.

二、经典回顾

例1(2015福建龙岩)已知点P(a,b)是反比例函数y」图象上异于点C-1,-1)的一

X

个动点，则，+_!_=[].

l+a1+b

A.2B.IC.-D.—

22

分析：利用反比例函数图象上点的坐标性质得出ab=l,再利用分式的混合运算法则求出

即可.

解：•••点P(a,b)是反比例函数尸工图象上异于点(-1,7)的•个动点，

X

，ab=l,

.・.1_1=1+b+_____l+a「2+a+b_2+a+b_l

l+a1+b(l+a)(1+b)(l+a)(1+b)1+a+b+ab2+a+b

故选：B.

例2(2015•黔东南州)若abVO,则正比例函数产ax与反比例函数y=上在同一坐标系中

b>0两方面分类讨论得出答案.

解：•••abVO,...分两种情况：

(1)当a>0,bVO时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图

象在第二、四象限，无此选项；

(2)当aVO,b>0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、

三象限，选项B符合.

故选B.

例3（2015福建南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，z^OAB丫

的顶点A在x轴正半轴上，OC是aOAB的中线，点B,C

在反比例函数冶（x>0）的图象上，则AOAB的面积等

分析：作BD，x轴于D,CE，x轴于E,贝UBD〃CE,得出_I

江返旭」，设CE=x，则BD=2x,根据反比例函数的解析।

BDADAB2

式表示出OD=3,OE=^,OA=2然后根据三角形面积求得即可.

2xx2x

解：作BD_Lx轴于D,CE_Lx轴于E,

；.BD〃CE,

•CEAEAC

EDADAB'

YOC是△OAB的中线，

•CE_AE_AC_1

"BDADAB2'

设CE=x,贝！|BD=2x,

AC的横坐标为WB的横坐标为且

x2x

.\OD=-^-,OEW

2xx

.,.DE=^--5-=—.

x2x2x

「・AE=DE=-^",

2x

/.OA=^+-^^-,

x2x2x

，S△（）AB」OA•BD=LXX2x=—.

222x2

三、试一试

1.反比例函数y=9图象上有三个点（为，力），（%2

:,为），*3，丫3），其中X]<X2<0<X},

X

则必，y21月的大小关系是【】.

A-%<为<>3B.当<必<为c-D-%<y2VH

2.函数厂且（a#））与y=a（x-1）（a#0）在同一坐标系中的大致图象是[].

x

3.如图，已知梯形ABCO的底边AO在无轴上，BC〃AO,AB±AO,

过点C的双曲线y=上交0B于D,

且0D:DB=1：2,若△OBC

x

的面积等于3,则k的值【1

3-24

A.等于2B,等于一C.等于一D.无法确定

45

4.如图，已知双曲线>[=：（X>Q），

=

y2x6>0），点P为双曲线？2=红的一点，且PA

轴于点A,PBLy轴于点B,PA、PB分别交双曲线=：于第4题

D、C两点，则4PCD的面积为.

5.如图，边长为n的正方形OABC的边OA,OC在坐标轴上，点

Ai，A2...AnT为OA的n等分点，点B1，B2“.BnT为CB的n等分

点，连结AiBi，A2B2,...An-iBn.|,分别交曲线y=EZ2（x>0）

X

于点C1，C2,....Cn-1.若C15B15=16C15A15,则n的值为.（n

为正整数）

6.实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血

液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地

用二次函数严—OOFMOOX刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y

与x可近似地用反比例函数广（4>0）刻画（如图所示）.

（1）根据上述数学模型计算：

①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？

②当JC=5时，产45,求女的值.

(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后

驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白

酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由.

IT1

7.如图，一次函数y=^+2的图象与反比例函数>=’的图象交于点。，点一在y

第一象限.为，x轴于点4如J_y轴于点氏一次函数的图象分别交X轴、》轴于8障

点C、D,且4>OC—.\/I

(1)求点。的坐标；/I

(2)求一次函数与反比例函数的解析式；]OA

(3)根据图象写出当x>0时，一次函数的值大于反比例।

函数的值的X的取值范围.

第四部分二次函数

一、典例分析

例1(2016•河南)已知A(0,3),B(2,3)抛物线y=-x2+bx+c上两点，则该抛物线的

顶点坐标是.

分析：分别计算把A、B两点坐标带入抛物线表达式，用待定系数法求出函数表达式，然

后用二次函数的性质即可求出顶点坐标.

解：把A(0,3).B(2,3),分别代入y=-x2+bx+c得：

b=2,c=3,所以y=-x2+2x+3故顶点坐标是(1,4)

例2(2016•沈阳)在平面宜角坐标系中，二次函数y=x?+2x-3的图象如图所示，点A(X1,

yi),B(x2,y2)是该二次函数图象上的两点，其中-34X]<X2S0,则下列结论正确的是

C.y的最小值是-3D.y的最小值是-4

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值.

【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行解答.

【解答】解：y=x2+2x-3=(x+3)(x-1),

则该抛物线与X轴的两交点横坐标分别是-3、1.

又y=x2+2x-3=（x+1）2-4,

•••该抛物线的顶点坐标是（-1,-4）,对称轴为x=-l.

A、无法确定点A、B离对称轴x=-1的远近，故无法判断yi与y2的大小，故本选项错误；

B、无法确定点A、B离对称轴x=-I的远近，故无法判断yt与y2的大小，故本选项错误；

C、y的最小值是-4,故本选项错误；

D、y的最小值是-4,故本选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时，利用「数

形结合”的数学思想.

二、经典回顾

例1（2015•河南）已知点A（4,yi）,B（^2,丫2），C（-2,y3）都在

二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则yi、y2、y3的大小关系是.

分析：分别计算出自变量为4,a和-2时的函数值，然后比较函数值

得大小即可.

解：把A（4,yi）,B（V2>丫2），C（-2,yj）分别代入丫=（x-2）

2-1得：

yi=(x-2)2-1=3,y2=(x-2)2-1=5-4>/2>Y3=(x-2)2-1=15,

V5-4A/2<3<15,

所以y3>yi>y2-

故答案为y3>yi>y2.

例2（2015•河南）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的

抛物线经过点A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点（含端点），过点P作PF1BC于

点F,点D、E的坐标分别为（0,6）,（-4,0）,连接PD、PE、DE.

（1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A会点C重合时，PD与PF的差为定值，进而

猜想：对于任意一点P,PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：若将"使^PDE的面积为整数"的点P记作"好点”，则存在

多个"好点"，且使^PDE的周长最小的点P也是一个"好点”.请直接写出所有"好点"的个数，

并求出APDE周长最小时"好点"的坐标.

分析：(1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可；

(2)首先表示出P,F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD,PF的长，进而求出即可;

(3)根据题意当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，进而得出P点坐标以及利用^PDE

的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，进而得出答案.

解：(1)•.•边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A,

AC(0,8),A(-8,0),

设抛物线解析式为：y=ax2+c,

则尸，

(64a+c=0

fa=-A

解得：，8

,c=8

故抛物线的解析式为：y=-1X2+8；

8

(2)正确，

2

理由：设P(a,-Aa+8),则F(a,8),

8

VD(0,6),

PD=2(222

,',l/a+1a-2)=yJ(-|a+2)

PF=8-(-la2+8)=la2,

88

APD-PF=2；

(3)在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，^PDE的周长最小,

VPD-PF=2,，PD=PF+2,

，PE+PD=PE+PF+2,

.•.当P、E、F三点共线时,PE+PF最小,

此时点P,E的横坐标都为-4,

将x=-4代入y=-1X2+8,得y=6,

AP(-4,6),此时^PDE的周长最小，且aPDE的面积为12,点P恰为"好点，

.,.△PDE的周长最小时"好点"的坐标为:(-4,6),

由(2)得：P(a,-工~+8),

8

•点D、E的坐标分别为(0,6),(-4,0),

二设直线DE的解析式为：y=kx+b.

b=6

则《

-4k+b=0'

解得：

、b=6

.3

•'•IDE：y=—X+6,

2

则PE=-la2+8-A-6,

82

•*«SAPDE=-^X4X（-U+8-骂-6）

282

=-Aa2-3a+4

4

=--(a+6)2+13,

4

-8<a<0,

**.4SSAPDE^13,

/.△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面

积为12时，a的值有两个，

所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小

的好点包含这11个之内，所以好点共11个，

综上所述：11个好点，P(-4,6).

三、试一试

1.二次函数y=a?+法的图象如图，若一元二次方程

办2+版+加=0有实数根，则m的最大值为【】.

A.-3B.3C.-5D.9

2.如图是二次函数y=a^+bx+c的部分图象，由图象可知不等式

以2+"+0<0的解集是【】.

A.-l<x<5B.x>5

C.x<-l_fix>5D.工<-1或x>5

3.如图，已知抛物线>=■?+bx+c的对称轴为x=2,点48均在抛物线上，且相与x

轴平行，其中点4的坐标为(0,3),则点8的坐标为【】.

A.(2,3)B.(3,2)

C.(3,3)D.(4,3)

第3题

4.已知点A(a-2b,2-4")在抛物线

尸2+4"10上，则点4关于抛物线对称轴的对称点坐标为【

A.(-3,7)B.(-1,7)C.(-4,10)D.(0,10)

5.已知二次函数y=a?+/；x+c(aH0)的图象如图所示，有下列结论：

®tr-4ac>0；②a〃c>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0