2023-2024学年山东省日照市校际联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省日照市校际联考高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在0°～360°的范围内，与−520°终边相同的角是(

)A.310° B.200° C.140° D.20°2.半径为2的圆中，弧长为2π3的圆弧所对的圆心角的大小为(

)A.π6 B.π3 C.π23.函数y=cos(πx+π6A.π B.2π C.1 D.24.已知向量a和b不共线，向量AB=a+mb，BC=5a+3b，CD=−3a+3A.3 B.2 C.1 D.−25.函数y=2sinx−1(0≤x≤2π)的定义域为A.[π3,5π6] B.[6.已知平面向量a=(10sinθ,1)，b=(cosθ,3)，若a⊥b，则A.−13或−3 B.13或−3 C.13或3 7.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2AO=AB+AC，且|OA|=|A.12 B.−32 C.−8.已知函数f(x)=2sinx，若存在x1，x2，…，xn，满足0≤x1<x2<…<xn≤nπA.506 B.507 C.508 D.509二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量e1=(1,1)，e2=(0,1)A.e1−2e2=(1,−1) B.e1,10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.ω=2

B.函数f(x)的图象关于直线x=−512π对称

C.函数f(x−2π3)是偶函数

D.将函数f(x)

11.已知函数f(x)=|sinx−cosx|+12sin2x，则下列说法正确的是A.f(x)是以π为周期的函数

B.函数f(x)存在无穷多个零点

C.f(π4+x)=f(π4−x)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若角α的终边与单位圆相交于点P(x0,3213.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=23AB，P为CD上一点，且AP=mAC+12

14.已知平面向量a,b,c对任意实数x，y都有|a−xb|≥|a−b四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(3,4)，b=(2,1)．

(1)若(λa−b)⊥(a+2b)，求实数λ16.(本小题15分)

已知向量m=(sin2x,cos2x)，n=(1,−3)，函数f(x)=m⋅n,(x∈R)．

(1)求函数f(x)在区间[−π17.(本小题15分)

将函数f(x)=sin(2x+φ)+1(其中|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，且g(x)为偶函数．

(1)求函数g(x)的解析式和对称中心；

(2)若对∀a，b∈[0,m]，当a<b18.(本小题17分)

如图，已知O是△ABC的外心，|AB|=|AC|=2，AB⋅AC=2，BD1=D1D2=D2D3=…=Dn−1Dn=DnC，CE1=E1E2=E2E3=…=19.(本小题17分)

已知函数f(x)=−2sin2x+2cosx+3t，其中t为常数．

(1)当t=23，x∈(π2,3π2)时，若f(x)=0，求x的值；

(2)设函数f(x)在(−π,−π2)上有两个零点m，n答案解析1.B

【解析】解：与−520°终边相同的角可以表示为360°k−520°(k∈Z)，

由题意可知0°<360°k−520°<360°⇒139<k<229，

因为k∈Z，所以k=2，

于是有360°×2−520°=200°．

故选：B2.B

【解析】解：由弧长公式l=α⋅r，

得α=lr=2π32=3.D

【解析】解：y=cos(πx+π6)的最小正周期为T=2ππ=2．4.A

【解析】解：∵向量a和b不共线，向量AB=a+mb，BC=5a+3b，CD=−3a+3b，A、B、5.C

【解析】解：由题意得2sinx−1≥0，即sinx≥12，

因为0≤x≤2π，

所以π6≤x≤5π6．

故选：C．6.A

【解析】解：平面向量a=(10sinθ,1)，b=(cosθ,3)，a⊥b，

则10sinθcosθ+3=0，即10sinθcosθ+3sin2θ+3cos2θ=0，即10tanθ+3tan2θ+3=07.D

【解析】解：由题意可得：(AB−AO)+(AC−AO)=0，即：OB+OC=0,OB=−OC，

即外接圆的圆心O为边BC的中点，则△ABC是以BC为斜边的直角三角形，

结合|OA|=|AB|=1有：∠ACB=8.B

【解析】解：∵函数f(x)=2sinx，对∀m≥2，m∈N∗，都有|f(xm−1)−f(xm)|≤f(x)max−f(x)min≤2−(−2)=4，

∴要使实数m的值最小，应尽可能多让xi(i=1,2,…,m)取得最值点，

∵0≤x1<x2<…<xn≤nπ，n∈N∗，且|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+…+|f(xm−1)−f(xm)|=2024，

在一个周期2π上9.AB

【解析】解：对于A，由e1=(1,1)、e2=(0,1)，可得e1−2e2=(1,1)−(0,2)=(1,−1)，故A项正确；

对于B，因为e1,e2不共线，所以可以用e1,e2表示坐标平面内的任意向量，

因此e1,e2可以作为平面向量的一组基底，故B项正确；

对于C，由e1=(1,1)、e2=(0,1)，得e1+e2=(1,2)，所以|e1+e2|=12+210.ABD

【解析】解：由题意可得，A=2，T=4(π3−π12)=π，

故ω=2，f(x)=2sin(2x+φ)，选项A正确；

又2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，|φ|<π2，

所以φ=π3，f(x)=2sin(2x+π3)，

因为2×(−5π12)+π3=−π2，此时函数取得最小值，即x=−5π12为函数的一条对称轴，B正确；

f(x−11.ACD

【解析】解：对于A，f(x+π)=|sin(x+π)−cos(x+π)|+12sin[2(x+π)]

=|−sinx+cosx|+12sin(2x+2π)=|sinx−cosx|+12sin2x=f(x)，可知f(x)是以π为周期的函数，故A项正确．

对于B，因为f(x)的周期为π，所以研究f(x)在区间[0,π]上的正负，

当x∈[0,π4)时，f(x)=cosx−sinx+12sin2x

因为cosx−sinx>0且12sin2x≥0，所以f(x)>0在[0,π4)上恒成立；

当x∈[π4,π]时，f(x)=sinx−cosx+12sin2x，

设t=sinx−cosx，0≤t≤2，则f(x)=t+12(1−t2)=−12t2+t+12，当t=1时，f(x)有最大值1，

当t=0时，f(x)=12，且t=2时，f(x)=2−12，可知f(x)的最小值为12>0．

综上所述，f(x)在[0,π]上的取值均大于0，f(x)=0没有实数根，

结合f(x)的周期为π，可知f(x)=0在R上没有实数根，即f(x)在R上没有零点，故B项不正确；

对于C，f(π4+x)=|sin(x+π4)−cos(x+π4)|+12sin[2(x+π4)]=2|sinx|+12cos2x，

f(π4−x)=|sin(π4−x)−cos(π4−x)|+12sin[2(π412.3【解析】解：∵角α的终边与单位圆相交于点P(x0,32)，

∴sinα=32．13.3

【解析】解：根据题意，可得AB⋅AC=|AB|⋅|AC|cosπ3=4，

由AD=23AB，得CD=AD−AC=23AB−AC，

设CP=λCD，则CP=λ(23AB−AC14.12【解析】解：如图，

设a=MA，b=MB，c=MC，

若对任意实数x，y都有|a−xb|≥|a−b|，|a−yc|≥|a−c|成立，

则由向量减法的几何意义可知：AB⊥MB，AC⊥MC，

则B，C在以MA为直径的圆上运动，

过O作OD/​/AC，交MC于E，交圆于D，

则MB在OD上的射影最长为|ED|，b⋅(c−a)=|MB||AC|cos<MB,AC>，

设∠AMC=θ，则|AC|=2sinθ，OE|=sinθ，DE|=1−|OE|=1−sinθ，

∴b⋅(c−a)=2sinθ(1−sinθ)=−2sin2θ+2，

则当sinθ=115.解：(1)因为a=(3,4)，b=(2,1)，

所以λa−b=(3λ−2,4λ−1)，a+2b=(7,6)，

若(λa−b)⊥(a+2b)，

则(λa−b)⋅(a+2【解析】(1)由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解；

(2)结合向量夹角公式的坐标表示先求出余弦值，然后结合同角平方关系即可求解．

本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示，属于基础题．16.解：(1)由m=(sin2x,cos2x)，n=(1,−3)，得f(x)=m⋅n=sin2x−3cos2x

=2(sin2xcosπ3−cos2xsinπ3)=2sin(2x−π3)，

当x∈[−π4,π4]时，2x−π3∈[−5π6,π6]，可得sin(2x−π3)∈[−1,12]，

所以当x=−π12时，f(x)有最小值−2，当x=π4【解析】(1)根据向量数量积的坐标表示，可得f(x)=sin2x−3cos2x，然后利用两角和与差的三角函数公式化简得f(x)=2sin(2x−π3)，再利用正弦函数的图象与性质，求出f(x)在区间[−π4,π4]17.解：(1)将f(x)向左平移π6后得g(x)=sin(2(x+π6)+φ)+1=sin(2x+π3+φ)+1，

∵g(x)是偶函数，

∴π3+φ=kπ+π2(k∈Z)，又|φ|<π2，

∴k=0,φ=π6，即f(x)=sin(2x+π6)+1,g(x)=sin(2x+π3+π6)+1=cos2x+1，

由余弦函数的性质可知，g(x)的对称中心为(kπ2+π4,1)，(k∈Z)；

(2)【解析】(1)根据三角函数图象的平移及函数的奇偶性可求g(x)，然后结合正弦函数的对称性即可求；

(2)由已知不等式特点构造函数，结合正弦函数的单调性即可求解．

本题主要考查了函数图象的平移变换及函数的奇偶性，对称性的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．18.解：(1)|AB|=|AC|=2AB⋅AC=|AB|⋅|AC|⋅cos∠BAC=2，

得cos∠BAC=12，∠BAC=π3，∴△ABC为等边三角形；

由题意知BC的中点为D2，

且|AD2|=3，AB+AC=2AD2，AD1+AD3=2AD2，

故|AB+AD1+AD2+AD3+AC|=5|AD2|=53．

(2)①∵△ABC为等边三角形，O为外接圆的圆心，

所以<OB,OC>=2π3，OB⊥CA，<BC,OC>=π6，<BC,CA>=2π3，

|OB|=23【解析】(1)根据中点向量公式求解即可；

(2)①根据中点向量公式和数量积定义展开化简即可；

②将S可以看为自变量为i的一次函数求出最值．

本题考查平面向量数量积的定义及其运算，属于难题．19.解：(1)因为t=23，f(x)=−2sin2x+2cosx+2=−2(1−cos2x)+2cosx+2=2cos2x+2cosx，

当x∈(π2,3π2)时，cosx∈[−1,0)，而f(x)=2cosx(cosx+1)=0，

∴cosx=−1或cosx=0(舍)，∴x=π，

所以，x的取值为π．

(2)①令k=cosx，因为x∈(−π,−π2)，所以cosx∈(−1,0)，则k∈(−1,0)，

则2cos2x+2cosx+3t−2=2k2+2k+3t−2，k∈(−1,0)，

因为y=cosx在(−π,−π2)上单调递增，

所以关于k的方程2k2+2k+3t−2=0在(−1,0)上有两个不相等实数根，

所以3t−