2023-2024学年广东省茂名市高二下学期教学质量监测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省茂名市高二下学期教学质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx+1x−4<0，B={x|x>0}A.(0,1) B.(0,4) C.(−1,0) D.(−4,0)2.复数z=i1−i，则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数f(x)=xln|x|的图象大致为A. B. C. D.4.已知直线2x+y−2=0与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，则|AB|=A.5 B.5 C.355.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为264，所有偶数项的和为253，则此数列的项数是A.43 B.45 C.47 D.496.已知函数f(x)=1−x21+xA.(−∞,0) B.23,+∞

C.0,27.函数f(x)=2sin(ωx+φ)，ω>0,0<φ<π2满足f(0)=1，且y=f(x)在区间−π3,0上有且仅有3A.(5,7) B.112,8 C.1328.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，BP=λBBA.λ=μ时，C1B1//平面D1PQ

B.λ=12时，四面体APQD1的体积为定值

C.μ=12时，∃λ∈(0,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a，b不共线且a⋅b=0A.a=0或b=0 B.a⊥b

C.a+b10.掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为m，n，记事件A=“m+n>9”，B=“mn为偶数”，C=“m+n为奇数”，则A.p(A)=16 B.p(AB)=15 C.p(A11.已知函数f(x)=a3x3−ax2−3ax+b，其中实数A.当a=1时，f(x)没有极值点

B.当f(x)有且仅有3个零点时，ba∈−53,9

C.当b=113a时，f(x+1)为奇函数

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆锥的底面直径为22，母线长为2，则此圆锥的体积是_________．13.已知数列{an−1}是首项为23，公比为13的等比数列，且a14.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与y轴交于点B，与E交于点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，正三棱柱ABC−A1B1C(1)证明：A1B//平面(2)若AB=2，三棱锥C−ADC1的体积为3316.(本小题15分)已知函数f(x)=(x+a)ln x+1，(1)若f(x)在点(1,1)处的切线的斜率为1，求f(x)的极值；(2)若a=1，证明：当0<x<1时，f(x)<x．17.(本小题15分)锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(1)求角C的大小；(2)若7a=3c，求118.(本小题17分)已知椭圆E：x2a2+y(1)求E的方程；(2)设M(−1,0)，直线x=n(n∈R且n≠−1)与E交于不同的两点B，C，若直线BM与E交于另一点D，则直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．19.(本小题17分)某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为13，答错的概率都为23，且每次答对与否相互独立．记第n次答题得分为(1)求p(X(2)求Xn(3)在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第n次得分刚好为n时，则该同学获得胜利，游戏结束．②从第1次开始，若第n次得分刚好为2n时，则该同学获得胜利，游戏结束．已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大．

参考答案1.B

2.B

3.A

4.B

5.C

6.D

7.C

8.C

9.BC

10.AC

11.BCD

12.213.99

14.y=±215.解：(1)连接A1C，与AC1交于点E，连接DE，

∵D、E分别为BC、A1C边的中点，∴DE//A1B，

又DE⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，

∴A1B//平面ADC1．

(2)V三棱锥C−ADC1=V三棱锥C1−ADC

=13CC1⋅S△ADC=CC13⋅32=33，∴CC1=2，

正三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，

又△ABC是正三角形，D是BC边的中点，∴BC⊥AD，

又BC∩BB1=B，且BC，BB1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥平面BB1C1C，

取B1C1的中点D1，则16.解：(1)∵f′(x)=lnx+ax+1且f(x)图象在点(1,1)处切线的斜率为1，

∴f′(1)=a+1=1，则a=0，即f(x)=xlnx+1，x∈(0,+∞)，

又∵f′(x)=lnx+1，

∴当0<x<1e时，f′(x)<0，f(x)单调递减;当x>1e时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

又∵f(1e)=1−1e，

∴当x=1e时，f(x)取得极小值1−1e，无极大值．

(2)∵a=1，∴f(x)=(x+1)lnx+1，

令g(x)=(x+1)lnx+1−x，x∈(0,1)，

∴g′(x)=lnx+1x．

令ℎ(x)=g′(x)=lnx+1x，且ℎ′(x)=1x17.解：(1)由正弦定理得3sinB=2sinC(12sinA+32cosA)=sinCsinA+3sinCcosA，

∵3sinB=3sin(A+C)=3sinAcosC+3sinCcosA，

∴sinCsinA=3sinAcosC，又sinA≠0，

∴tanC=3，又C∈(0,π)，

∴C=π3．

(2)记a=3m，则c=7m;

由余弦定理cosC=a18.解：(1)由题意可得，b=1，

又由a2=c2+1ca=12，得a=2，c=3，

所以E的方程为x24+y2=1．

(2)显然直线BM的斜率不为0，设直线BM的方程为x=my−1，

B(x1,y1)，D(x2,y2)，C(x1,−y1)，

由x=my−1x24+y2=1，

消去x整理得(4+19.解：(1)由题意可知X3=4表示事件“第1次答错，第2、3次均答对”，

p(X3=4)=23×13×13=227．

(2)Xn可取1，2，4，⋯⋯，2n且Xn=1表示事件“第n次答错”，所以p(Xn=1)=23，

当n≥2时，Xn=2k，k=1，2，3，⋯⋯，n−1，表示事件“

第n−k次答错，第n−k+1，n−k+2，⋯，n次均答对”，

所以p(Xn=X124···22p222···21E(Xn)=k=0n(2kp(Xn=