2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）月考数学试卷（6月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z+21−i=i，则z−的虚部为A.−1 B.1 C.3 D.−32.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是(

)A.若l/​/m，m⊂α，则l/​/α

B.若l/​/α，m//β，α/​/β，则l/​/m

C.若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m

D.若m⊥β，l/​/α，l/​/m，则α⊥β3.某学校数学教研组举办了数学知识竞赛(满分100分)，其中高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，600.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，则高一年级参赛选手成绩的样本平均数为(

)A.69 B.70 C.73 D.794.如图，D是△ABC边AC的中点，E在BD上，且DE=2EB，则(

)

A.AE=23AB+16AC 5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在A处测得公路北侧一山顶D在西偏北30° (即∠BAC=30°)的方向上；行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75° (即∠CBE=75°)的方向上，且仰角为30°，则此山的高度CD=(

)

A.1006m B.1003m6.设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=|asinθ−bcosθ|，已知|A.22 B.2 C.7.在△ABC中，b=10，再从下列四个条件中选出两个条件，

①ac=28；

②c=2；

③cosB=14；

④面积为142，

A.①② B.①③ C.②③ D.①④8.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PB⊥底面ABCD.若PB=AB=CD=AD=1，BC=2，则这个四棱锥的外接球表面积为(

)A.3π B.4π C.5π D.6π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(m,−1),b=(−2,1)，则下列说法正确的是A.若m=1，则|a−b|=13

B.若a⊥b，则m=2

C.“m>−12”是“a与b的夹角为钝角”的充要条件10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.若A>B，则cosA>cosB

C.若a2+b2<c2，则△ABC为钝角三角形11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为正方体的中心，M为DD1的中点，F为侧面正方形

A.三棱锥D1−DCB的外接球表面积为12π

B.动点F的轨迹是一条线段

C.三棱锥F−BC1M的体积是随点F的运动而变化的

D.若过A，M，C1三点作正方体的截面Ω，Q为截面

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一组数据1，3，9，5，7，则这组数据的方差为______．13.如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则AP⋅AB的取值范围为______．

14.已知棱长均为23的多面体ABC−A1B1C1由上、下全等的正四棱锥A1−ABB1C1和C−ABB1C

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2b−a=cosCcosA．

(1)求角C的大小；

(2)若c=2，△ABC的面积16.(本小题15分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本成绩的第75百分位数；

(3)已知落在[50,60)的平均成绩是57，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s217.(本小题15分)

如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，侧面ADD1A1为矩形，AB=2AD=2，∠D1DB=60°，18.(本小题17分)

如图，在三棱锥D−ABC中，△ACD为等腰直角三角形，且AC为斜边，△ABC为等边三角形.若AC=DB=2，E为AC的中点，F为线段DB上的动点．

(1)证明：AC⊥面BDE；

(2)求二面角D−AB−C的正切值；

(3)当△AFC的面积最小时，求CF与底面ABD所成角的正弦值．19.(本小题17分)

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2−b2=bc．

(1)求证：A=2B；

(2)若b=1，求边a的取值范围；

(3)若角A的平分线交BC边于D，且AD=2答案解析1.A

【解析】解：因为z+21−i=i，

所以z=i(1−i)−2=−1+i，

所以z−=−1−i的虚部为−1．

2.D

【解析】解：若l/​/m，m⊂α，则l/​/α或l⊂α，故A错误；

若l/​/α，m//β，α/​/β，则l/​/m或l与m相交或l与m异面，故B错误；

若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l与m可能平行，故C错误；

∵m⊥β，l/​/m，∴l⊥β，又l/​/α，记l⊂γ，且γ∩α=l′，则l/​/l′，

∴l′⊥β，得α⊥β，故D正确．

故选：D．

3.B

【解析】解：高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1000，800，600，

现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，

则样本中高一、高二、高三年级参赛选手的人数比为5：4：3，

设高一年级参赛选手成绩的样本平均数为a，

∵高二、高三年级参赛选手成绩的样本平均数分别为76，82，全校参赛选手成绩的样本平均数为75，

则5k×a+4k×76+3k×825k+4k+3k=75，解得a=70．

∴高一年级参赛选手成绩的样本平均数为70．

故选：B4.A

【解析】解：因为D是△ABC边AC的中点，E在BD上，且DE=2EB，

则有BE=13BD=13×5.A

【解析】解：在△ABC中，AB=600，∠BAC=30°，∠ACB=∠CBE−∠BAC=45°，

由正弦定理得ABsin⁡∠ACB=BCsin⁡∠BAC，即60022=BC12，

解得BC=3002，6.A

【解析】解：∵|a|=2，|b|=|a−b|=1，∴|a−b|=a27.C

【解析】解：A中，若选①②，可得c=2，a=14，不满足c+b>a，此时构不成三角形，所以A不正确；

B中，若选①③，即ac=28，cosB=14，b=10，

由余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−2ac−2accosB，即10=(a+c)2−2×28−2×28×14，

解得a+c=45，所以a，c为方程x2−45x+28=0的两根，

而Δ=16×5−4×28<0，方程没有实数根，所以不存在这样的a，c满足条件，

即不存在这样三角形，所以B不正确；

C中，若选②③，c=2，cosB=14，b=10，

所以sinB=154，由正弦定理可得bsinB8.C

【解析】解：取BC中点E，连接EA，ED，取PC中点H，连接EH，BH，

等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=1，BC=2，

则AD/​/BE，AD=BE，∴四边形ADEB是平行四边形，

∴DE=AB=1，∴CE=CD=1，∴△CDE是等边三角形，

∴∠DCE=∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形，

∴EB=EA=ED=EC=1，

∴点E是等腰梯形ABCD的外接圆圆心，

△PBC中，PH=CH，BE=CE，则PB//HE，HE=12PB=12，

∵PB⊥底面ABCD，则HE⊥底面ABCD，HP=HB=HC，

∵HA=HE2+EA2=HE2+EB2=HB，HD=HE29.AD

【解析】解：A选项，m=1时，a−b=(1,−1)−(−2,1)=(3,−2)，

故|a−b|=32+(−2)2=13，

A正确；

B选项，a⊥b，

故a⋅b=(m,−1)⋅(−2,1)=−2m−1=0，

解得m=−12，

B错误；

C选项，a与b的夹角为钝角，

则要满足a⋅b=−2m−1<0m−2≠−11，10.ACD

【解析】解：对于A，若A>B，则a>b，所以sinA>sinB，所以A正确；

对于B，由A>B且A，B∈(0,π)，

根据函数y=cosx在(0,π)上单调递减，可得cosA<cosB，所以B错误；

对于C，由余弦定理cosC=a2+b2−c22ab<0，可知C为钝角，即△ABC为钝角三角形，所以C正确；

对于D，因为acosA=bcosB，所以sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

又A，B∈(0,π)，所以2A，2B∈(0,2π)，所以2A=2B或2A+2B=π，

即A=B或A+B=11.ABD

【解析】解：对于A，因为三棱锥D1−DCB的外接球与正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球是同一个球，

因为正方体的外接球直径是正方体的体对角线，

设外接球半径为R，则2R=23，即R=3，

所以三棱锥D1−DCB的外接球表面积为4πR2=4π×3=12π，故A正确；

对于B，如图，分别取AA1，A1D1的中点H，G连接B1G，GH，HB1，AD1，

因为B1H//C1M，B1H⊂平面BGH，C1M⊄平面BGH，

所以C1M/​/平面BGH，

因为GH/​/BC1，GH⊂平面BGH，BC1⊄平面BGH，

所以BC1/​/平面BGH，

C1M⊂平面BC1M，BC1⊂平面BC1M，BC1∩C1M=C1，

所以平面B1GH//平面BC1M，

而B1F/​/平面BC1M，所以B1F⊂平面B1GH，所以点F轨迹为线段GH，故B正确；

由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为GH/​/平面BC1M，则点F到平面BC1M的距离为定值，

又△BC1M的面积为定值，从而可得三棱锥F−BC112.8

【解析】解：这组数据的平均数为15×(1+3+9+5+7)=5，

所以这组数据的方差为15×[(1−5)213.[−8,24]

【解析】解：根据题意，当P运动到半圆弧AD的中点(图中的P1位置)时，

AP在向量AB上的投影等于−12|AB|=−2，达到最小值，

故AP⋅AB的最小值为AP1⋅AB=|AP1|⋅|AB|cos135°=−8；

当P运动到半圆弧BC的中点(图中的P2位置)时，

AP在向量AB14.2【解析】解：在多面体ABC−A1B1C1中，取O为正方形ABB1C1的中心，如图所示：

由题意可知O既是多面体ABC−A1B1C1的外接球的球心，也是棱切球的球心，

过点O作OH⊥B1C1于点H，在Rt△A15.解：(1)在△ABC中，由c2b−a=cosCcosA，得ccosA+acosC=2bcosC，

由正弦定理得sinCcosA+sinAcosC=2sinBcosC，即sin(C+A)=2sinBcosC，

又C+A=π−B，即sin(C+A)=sinB，于是sinB=2sinBcosC，

由B∈(0,π)，得sinB>0，因此cosC=12，又C∈(0,π)，所以C=π3．

(2)由△ABC的面积S△ABC=3，得12absinC=3，得ab=4，

又c=2，由余弦定理c【解析】(1)根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求解即得．

(2)由(1)的结论，利用三角形面积求出ab，再利用余弦定理求解即可．

16.解：(1)因为每组小矩形的面积之和为1，

所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，则a=0.030．

(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，

设第75百分位数为m，

由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84．

(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，

成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，

故这两组成绩的总平均数为10×57+69×2010+20=65，

由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：

s【解析】(1)根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；

(2)由频率分布直方图求第75百分位数的计算公式即可求解；

(3)利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解．

17.证明：(1)△ABD中，因为AB=2，AD=1，BD=3，

所以AB2=AD2+BD2，

所以AD⊥BD，

又侧面ADD1A1为矩形，

所以AD⊥DD1，

又BD∩DD1=D，BD，DD1⊂平面BDD1B1，

所以AD⊥平面BDD1B1，

又AD⊂平面ABCD，

所以平面ABCD⊥平面BDD1B1；

解：(2)因为AD//BC【解析】(1)根据勾股定理可证AD⊥BD，易证AD⊥DD1，AD⊥平面BDD1B1，再根据面面垂直的判定即可证明结果；

(2)因为AD//BC，由(1)可知BC⊥平面BDD18.(1)证明：因为△ACD为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形，且E为AC的中点，

所以DE⊥AC，BE⊥AC，

又DE∩BE=E，DE、BE⊂平面BDE，

所以AC⊥平面BDE．

(2)解：由题意知，DE=12AC=1，BE=3，

因为BD=2，所以DE2+BE2=BD2，即DE⊥BE，

故EA，EB，ED两两垂直，

以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,1)，A(1,0,0)，B(0,3,0)，C(−1,0,0)，

所以AB=(−1,3,0)，DA=(1,0,−1)，CA=(2,0,0)，

设平面ABD的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AB=−x+3y=0m⋅DA=x−z=0，

取y=1，则x=z=3，所以m=(3,1,3)，

易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1)，

设二面角D−AB−C的大小为θ，

由图知，二面角D−AB−C为锐角，

所以c