高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)期末模拟测试卷01(基础巩固卷)(考试范围：必修第一册)(原卷版+解析)

2023-2024学年高一数学上学期期末测试基础巩固卷满分150分考试时间120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则【】A． B． C． D．2．已知正数x，y满足，则xy的最大值为【】A． B． C．1 D．23．已知函数在上单调递增，则的取值范围为【】A． B． C． D．4．已知，，，则【】A． B． C． D．5．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是【】A． B． C． D．6．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为【】A． B． C． D．7．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则的值为【】A． B． C． D．8．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是【】A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是【】A．B．的解集为C．D．的解集为10．已知函数其中且，则下列结论正确的是【】A．函数是奇函数B．函数在其定义域上有解C．函数的图象过定点D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数11．给出下列四个选项中，其中正确的选项有【】A．若角的终边过点且，则B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角C．若在单调递减，则D．设角为锐角（单位为弧度），则12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是【】A．函数有2个零点 B．当时，C．不等式的解集是 D．，都有三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数的图象过点，则______．14．函数的零点的个数为______.15．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．16．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足﹐则___________；当时，___________.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）若角的终边上有一点，且.（1）求的值；（2）求的值.18．（12分）已知正数a、b满足．（1）求a+b的最小值；（2）求的最小值．19．（12分）已知定义域为R的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数，.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.21．（12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．22．（12分）已知函数的图象关于原点对称.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若函数在内存在零点，求实数的取值范围.2023-2024学年高一数学上学期期末测试基础巩固卷满分150分考试时间120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则【】A． B． C． D．答案：C分析：先求出集合中的元素，然后利用并集的运算即可求解.【详解】因为，又，由并集的运算可知：，故选：.2．已知正数x，y满足，则xy的最大值为【】A． B． C．1 D．2答案：B分析：先根据题干条件列出不等式组，求出，再根据基本不等式求出最值.【详解】因为正数x，y满足，所以，解得：，故，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为故选：B3．已知函数在上单调递增，则的取值范围为【】A． B． C． D．答案：A分析：观察二次函数的单调递增区间，满足是增区间的子集.【详解】因为函数在上单调递增，所以满足.故选：A4．已知，，，则【】A． B． C． D．答案：A分析：根据指数函数单调性，结合指数运算，即可比较大小.【详解】因为是上的单调减函数，故，又，则，即.故选：A.5．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是【】A． B． C． D．答案：C分析：根据给定条件，利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性列出不等式组，求解作答.【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递增，则函数在上单调递减，且，，因此函数在上单调递增，且，，于是得，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C6．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为【】A． B． C． D．答案：A分析：先确定圆的半径，再利用弧长公式，即可得到结论.【详解】解：设半径为，所以．所以，所以弧长．故选：A．7．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则的值为【】A． B． C． D．答案：D分析：利用任意角三角函数定义可求得，结合诱导公式可得关于正余弦的齐次式，由此求得结果.【详解】由题意得：，.故选：D.8．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是【】A． B． C． D．答案：B分析：，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.【详解】令，则令，则则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.作出和的图像，观察交点个数，可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，由题意列不等式的：解得：.故选：B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是【】A．B．的解集为C．D．的解集为答案：AD分析：根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.【详解】因为关于的不等式的解集为或，所以且方程的两个根为，，即.因此选项A正确；因为，，所以由，因此选项B不正确；由可知：，因此选项C不正确；因为，所以由，解得：，因此选项D正确，故选：AD10．已知函数其中且，则下列结论正确的是【】A．函数是奇函数B．函数在其定义域上有解C．函数的图象过定点D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数答案：ABD分析：对于A，先求出定义域后利用奇函数的定义判断，对于BC，由A可知为上的奇函数，所以可得，从而可进行判断，对于D，由指数函数的单调性判断【详解】，定义域为，，所以为奇函数，且，故选项A，B正确，选项C错误；，，，在上均为增函数，在其定义域上为单调递增函数，所以选项D正确．故选：ABD．11．给出下列四个选项中，其中正确的选项有【】A．若角的终边过点且，则B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角C．若在单调递减，则D．设角为锐角（单位为弧度），则答案：AD分析：A由终边上的点可得即可求m值；B由题设，进而求的范围即可知所在的象限；C利用对数复合函数的单调性，结合单调区间求参数范围；D利用单位圆确定所代表的长度，即可比较大小.【详解】A：，易知且，则，正确；B：，则，可知为第一象限或第三象限角，错误；C：由，当时，上递增，上递减；当时，上递减，上递增；而在上递减，则且，可得，故错误；D：如下图，单位圆中，显然，正确；故选：AD12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是【】A．函数有2个零点 B．当时，C．不等式的解集是 D．，都有答案：BCD分析：根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．【详解】对A，当时，由得，又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，则A错；对B，设，则，则，则B对；对C，当时，由，得；当时，由，得无解；则C对；对D，，都有，则D对．故选：BCD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数的图象过点，则______．答案：3分析：先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.【详解】设，由于图象过点,得，，，故答案为3.14．函数的零点的个数为______.答案：2分析：将函数的零点的个数转化为与的图象的交点个数，在同一直角坐标系中画出图象即可得答案.【详解】解：令，这，则函数的零点的个数即为与的图象的交点个数，如图：由图象可知，与的图象的交点个数为2个，即函数的零点的个数为2.故答案为：2.15．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．答案：（均可）分析：根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.【详解】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.16．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足﹐则___________；当时，___________.答案：

分析：根据题意先求解出函数的解析式，再由结合勾股定理得出.【详解】根据点A的坐标可得圆周的半径又旋转一周用时6秒，所以周期，从而得，又点时，在函数图像上，且，当时，，则故答案为：；四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）若角的终边上有一点，且.（1）求的值；（2）求的值.答案：（1）；（2）.分析：（1）根据三角函数的概念，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）先将原式化简，再由三角函数的定义求出，进而可得出结果.【详解】（1）点到原点的距离为，根据三角函数的概念可得，解得，（舍去）.（2）原式，由（1）可得，，所以原式.18．（12分）已知正数a、b满足．（1）求a+b的最小值；（2）求的最小值．答案：（1）4；（2）25．分析：（1）利用乘1法a+b＝（a+b）（），展开后结合基本不等式即可求解；（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a﹣1）（b﹣1）＝1，利用基本不等式可求．【详解】（1）因为a、b是正数，所以，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4．（2）由因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，则，当且仅当、时等号成立，故的最小值为25．19．（12分）已知定义域为R的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：（1），；（2）.【解析】（1）根据，可得，再由即可求解.（2）判断在R上为减函数，结合函数为奇函数可得，从而可得对一切有，由即可求解.【详解】（1）因为是R上的奇函数，所以，即，解得.从而有.又由，知，解得.经检验，当时，，满足题意.（2）由（1）知，由上式易知在R上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.因为是R上的减函数，由上式推得.即对一切有，从而，解得.20．（12分）已知函数，.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.答案：（1）最小正周期为，单调减区间是，；（2），此时，，此时.分析：（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；（2）先求出的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.【详解】解：（1）的最小正周期.令，解得，，此时时，单调递减，的单调递减区间是，；（2），则，故，，，此时，即，即；，此时，即，即.21．（12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．答案：(1)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.分析：（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【详解】