2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)第五章一元函数的导数及其应用章节验收测评卷(综合卷)(原卷版+解析)

第五章一元函数的导数及其应用章节验收测评卷（综合卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．(2023·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（

）A． B． C． D．2．(2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（理））若曲线在处的切线垂直于直线，则（

）A．2 B．1 C．4 D．33．(2023·陕西师大附中高二期中（文））丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（

）A． B． C． D．4．(2023·湖北·武汉市第一中学高二阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．5．(2023·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数的极值点是1，则（

）A． B． C． D．16．(2023·全国·高二单元测试）已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．7．(2023·山东济南·高二期末）函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．(2023·浙江·高二阶段练习）已知正数满足，，，则（

）A． B． C． D．二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．(2023·山东·德州市教育科学研究院高二期中）下列求函数的导数正确的是（

）A． B．C． D．10．(2023·辽宁锦州·高二期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．是的极小值点C．函数在上有极大值 D．是的极大值点11．(2023·湖北·高三阶段练习）已知函数，则（

）A．的极大值为B．的最小值为C．当的零点个数最多时，的取值范围为D．不等式的解的最大值与最小值之差小于12．(2023·福建·厦门双十中学高三阶段练习）已知函数，函数，下列选项正确的是（

）A．点是函数的零点B．，使C．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是D．函数的值域为三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．(2023·甘肃·靖远县第四中学高三阶段练习（文））函数的图象在点处的切线方程为________.14．(2023·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数的单调增区间为_________.15．(2023·江西·金溪一中高三阶段练习（理））记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”.已知：，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为___________.16．(2023·山东·武城县第二中学高三阶段练习）如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，，则＝________；若，则的最小值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．(2023·北京朝阳·高三阶段练习）已知函数在处取得极值．(1)求a，b的值；(2)求曲线在点处的切线方程；(3)求函数在上的最值．18．(2023·全国·高二期末）某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式．(2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：）19．(2023·北京·北理工附中高三阶段练习）设函数.(1)若曲线在点处与直线相切，求的值；(2)求函数的单调区间与极值点.20．(2023·吉林·抚松县第一中学一模）已知函数（为自然对数的底数）．(1)讨论的单调性；(2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围．21．(2023·河南·邓州春雨国文学校高三阶段练习（理））已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围.22．(2023·四川·模拟预测（文））设函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在处有极值且，当函数恰有三个零点时，求实数的取值范围.第五章一元函数的导数及其应用章节验收测评卷（综合卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．(2023·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（

）A． B． C． D．答案：D【详解】依题意可知切点，函数的图象在点处的切线方程是，，即又即故选：D.2．(2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（理））若曲线在处的切线垂直于直线，则（

）A．2 B．1 C．4 D．3答案：B【详解】，，由题意得：，解得：故选：B3．(2023·陕西师大附中高二期中（文））丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】对A，，当时，，所以A错误；对B，，在上恒成立，所以B正确；对C，，，所以C错误；对D，，，因为，所以D错误．故选：B．4．(2023·湖北·武汉市第一中学高二阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．答案：B【详解】解：因为，所以，所以，解得；故选：B5．(2023·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数的极值点是1，则（

）A． B． C． D．1答案：B【详解】因为，所以，由题意，得，即，解得，即，则.故选：B.6．(2023·全国·高二单元测试）已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．答案：A【详解】因为可化为，令，则，因为，所以，所以在上单调递减，因为，所以，所以，所以，即不等式的解集为．故选：A．7．(2023·山东济南·高二期末）函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】因为，所以.因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即，即可令，则由函数单调性的性质知，在上减函数，，即.所以实数的取值范围为。故选：A.8．(2023·浙江·高二阶段练习）已知正数满足，，，则（

）A． B． C． D．答案：A【详解】设，其中，则，所以在上单调递减，所以当时，，所以当时，，设，其中，则，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增，所以当时，，所以当时，，所以当时，，所以，又，所以，，又，所以，所以，由，可得，所以，又，，所以，因为都为正数，所以，即，故选：A.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．(2023·山东·德州市教育科学研究院高二期中）下列求函数的导数正确的是（

）A． B．C． D．答案：AC【详解】，，，，故选：AC.10．(2023·辽宁锦州·高二期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．是的极小值点C．函数在上有极大值 D．是的极大值点答案：AD【详解】由的图象可知：当时，，所以函数单调递增；当时，，所以函数单调递减，因此有，是的极大值点，所以选项A、D正确；当，或时，，所以函数单调递增，因此函数在上没有极大值，且不是的极小值点，所以选项B、C不正确，故选：AD11．(2023·湖北·高三阶段练习）已知函数，则（

）A．的极大值为B．的最小值为C．当的零点个数最多时，的取值范围为D．不等式的解的最大值与最小值之差小于答案：ACD【详解】解：因为，所以.当或时，；当或时，.即在和上单调递减，在和上单调递增，所以函数在取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值，又，，故的极大值为，的最小值为，故A正确，B错误.所以零点个数最多为，此时，，解得，C正确.不等式，即，令，则.当或时，；当或时，.即在和上单调递减，在和上单调递增，所以的函数图象如下所示：因为，，则的解的最大值与最小值之差小于，即不等式的解的最大值与最小值之差小于，D正确.故选：ACD12．(2023·福建·厦门双十中学高三阶段练习）已知函数，函数，下列选项正确的是（

）A．点是函数的零点B．，使C．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是D．函数的值域为答案：BCD【详解】对于选项A，是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误；对于选项B，当时，，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，当时，；当时，，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，当时，．综上可得，选项B正确．对于选项D，，即函数的值域为，选项D正确．结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点，则也有且只有一个零点；所以对于选项C，关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有一个非零的实数根⇔函数的图象与直线有一个交点，且，则当时，，当变化时，，的变化情况如下：0+00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以极大值，极小值；当时，，当变化时，，的变化情况如下：120+e单调递减极小值单调递增所以极小值．综上可得，或，解得的取值范围是，故C正确．故选：BCD．三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．(2023·甘肃·靖远县第四中学高三阶段练习（文））函数的图象在点处的切线方程为________.答案：【详解】由，得，所以切线的斜率为，又，所以切线方程为即故答案为：14．(2023·黑龙江·铁人中学高三开学考试）函数的单调增区间为_________.答案：，【详解】因为函数的定义域为，而，所以函数的单调增区间为，．故答案为：，．15．(2023·江西·金溪一中高三阶段练习（理））记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”.已知：，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为___________.答案：【详解】函数与，则与，由题意得，则，令，则，令，则，所以时，则，故单调递增；时，则，故单调递减；所以在处取得极小值，也是最小值，，且时，，所以实数的取值范围为故答案为:16．(2023·山东·武城县第二中学高三阶段练习）如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，，则＝________；若，则的最小值为________.答案：

【详解】因为点G为△ABC的重心，所以，因为，，所以，因为三点共线，所以，则则，代入得令，，令，则或（舍）且当时，,递减当时，，递增所以当时，有极小值，即最小值，且故答案为:；.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．(2023·北京朝阳·高三阶段练习）已知函数在处取得极值．(1)求a，b的值；(2)求曲线在点处的切线方程；(3)求函数在上的最值．答案：(1)(2)(3)最小值为-14，最大值为18（1）因，故，由于在处取得极值，故有即,化简得解得,经检验，时，,令解得或，令解得，所以在单调递增，单调递减，单调递增，所以在处取得极值，符合题意，所以．（2）由（1）得，故．所以曲线在点处的切线方程为：，即．（3）由（1）知．令，得．在时，随x的变化．，的变化情况如下表所示：x23正0负0正11单调递增18单调递减单调递增当时，有极大值，当时，有极小值．因为．因此在的最小值为．最大值为18．(2023·全国·高二期末）某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式．(2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：）答案：(1)(2)需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元(1)（1）由题意知，需要新建的高压线塔为座．

所以，

即．(2)由（1），得，

令得或（舍去）．

由，得；由，得，所以函数y在区间上单调递减；在区间上单调递增．

所以当时，函数y取得最小值，且，此时应建高压线塔为（座）．

故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元．19．(2023·北京·北理工附中高三阶段练习）设函数.(1)若曲线在点处与直线相切，求的值；(2)求函数的单调区间与极值点.答案：(1)(2)见解析.（1），曲线在点处与直线相切，，∴（2），当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，即函数的增区间为，，减区间为；此时是的极大值点，是的极小值点．20．(2023·吉林·抚松县第一中学一模）已知函数（为自然对数的底数）．(1)讨论的单调性；(2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围．答案：(1)答案见解析；(2).（1）函数的定义域为R，求导得：，若，则，即在上是增函数；若，由得，由得，即函数在上递减，在上递增，所以当时，函数在上是增函数；当时，