中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题九函数的单调性(原卷版+解析)

专题九函数的单调性思维导图知识要点知识要点1．函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，当＜时，都有f)＜f()，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当＜时，都有f()＞f()，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图像描述自左向右看图像是上升自左向右看图像是下降(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．(3)常见函数的单调性①一次函数y＝kx＋b的单调性由k确定，当k>0时，函数在R上单调递增；当k<0时，函数在R上单调递减．②二次函数y＝a＋bx＋c(a≠0)的单调性由开口方向和对称轴确定．③反比例函数y＝的单调性由k确定，当k>0时，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；当k<0时，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．④指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性由a确定，当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调递减．⑤对数函数y＝(a>0且a≠1)的单调性由a确定，当a>1时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当0<a<1时，函数在(0，＋∞)上单调递减．⑥幂函数y＝的单调性由n确定，当n>0时，函数在第一象限是增函数；当n<0时，函数在第一象限是减函数．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，m，M为实数条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥m；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝m结论M为最大值m为最小值典例解析典例解析【例1】判断函数f(x)＝kx＋b(k>0)在R上的单调性．【变式训练1】判断函数f(x)＝－2x＋3在R上的单调性．【例2】已知函数f(x)＝－(a－1)x＋2在(－∞，1)上是减函数，求实数a的取值范围．【变式训练2】已知函数f(x)＝－＋2(a＋1)x－1在(－2，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．【例3】求函数f(x)＝的单调区间．【变式训练3】求函数f(x)＝的单调递增区间．【例4】判断函数f(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．【变式训练4】判断函数f(x)＝在(－∞，0)上的单调性．高考链接高考链接1．(四川省2016年对口升学考试试题)函数f(x)＝x2()A．在(0，＋∞)内是减函数 B．在(－∞，0)内是增函数C．是奇函数 D．是偶函数2．(四川省2018年对口升学考试试题)函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，且对任意的实数x恒有f[f(x)－x5－x＋1]＝2成立，则f(－1)＝()A．－1 B．－2 C．－3 D．－4函数y＝的单调递增区间是.4．函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，求证：实数a的取值范围是(－∞，0)．同步精练同步精练选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝－2x＋3 B．y＝ C．y＝－ D．y＝－2．函数f(x)在R上是减函数，则有()A．f(－2)<f(2) B．f(－2)>f(2)C．f(－2)＝f(2) D．不能确定3．函数y＝－＋x＋1的单调递增区间是()A. B．[－1，＋∞)C．(－∞，－1] D.4．已知函数f(x)＝2a＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是()A. B. C. D.5．已知函数f(x)为R上的减函数，则下列不等式成立的是()A．f>f(－a＋1) B．f≥f(－a＋1)f<f(－a＋1) D．f≤f(－a＋1)6．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(－x)－2的图像是()填空题7．判断下列函数的单调性．(1)函数y＝x－3在R上是_______函数；(2)函数y＝2＋3x－3的单调递增区间是，单调递减区间是；(3)函数y＝－在(0，＋∞)上是_______函数；(4)函数y＝ln(－2x－3)的单调递增区间是．8．已知函数f(x)＝kx＋b是定义域为R的增函数，点A(0，－1)，B(3，2)均在其图像上，则不等式|f(x＋1)|<1的解集是.已知函数f(x)＝则f(x)的单调递增区间是.函数f(x)满足对任意的x1，x2∈R，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(－1)与f(－π)的大小关系是.解答题用定义法证明函数f(x)＝－3在(－∞，0)上是减函数．求函数f(x)＝的单调区间．13．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围．专题九函数的单调性思维导图知识要点知识要点1．函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量，x2当＜时，都有f(x1)＜f()，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当＜时，都有f()＞f()，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图像描述自左向右看图像是上升自左向右看图像是下降(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．(3)常见函数的单调性①一次函数y＝kx＋b的单调性由k确定，当k>0时，函数在R上单调递增；当k<0时，函数在R上单调递减．②二次函数y＝a＋bx＋c(a≠0)的单调性由开口方向和对称轴确定．③反比例函数y＝的单调性由k确定，当k>0时，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；当k<0时，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．④指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性由a确定，当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调递减．⑤对数函数y＝(a>0且a≠1)的单调性由a确定，当a>1时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当0<a<1时，函数在(0，＋∞)上单调递减．⑥幂函数y＝的单调性由n确定，当n>0时，函数在第一象限是增函数；当n<0时，函数在第一象限是减函数．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，m，M为实数条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥m；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝m结论M为最大值m为最小值典例解析典例解析【例1】判断函数f(x)＝kx＋b(k>0)在R上的单调性．【思路点拨】利用图像法或定义法作差求解．答案：解：设x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝kx1＋b－kx2－b＝k(x1－x2)，由x1<x2⇒x1－x2<0，k>0，故f(x1)<f(x2)，又x1<x2，因此函数f(x)＝kx＋b(k>0)在R上是增函数．【变式训练1】判断函数f(x)＝－2x＋3在R上的单调性．解：设x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x2－2x1＝2(x2－x1)，由x1<x2⇒x2－x1>0，故f(x1)>f(x2)，又x1<x2，因此函数f(x)＝－2x＋3在R上是减函数．【例2】已知函数f(x)＝－(a－1)x＋2在(－∞，1)上是减函数，求实数a的取值范围．【思路点拨】利用二次函数的对称性．答案：解：对称轴为x＝，f(x)在(－∞，1)上是减函数，又开口向上，∴≥1⇒a≥3，∴a的取值范围为[3，＋∞)．【变式训练2】已知函数f(x)＝－＋2(a＋1)x－1在(－2，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．解：对称轴为x＝a＋1，f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，又开口向下，∴a＋1≤－2⇒a≤－3，∴a的取值范围为(－∞，－3]．【例3】求函数f(x)＝的单调区间．【思路点拨】利用符合函数的判定法则：“同增异减”．答案：解：－3x＋2>0⇒x>2或x<1，令u＝－3x＋2，则y＝，u在(－∞，1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，又y＝为减函数，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，1)．【变式训练3】求函数f(x)＝的单调递增区间．解：令u＝－＋2x＋3，则y＝，u在(－∞，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，又y＝为减函数，因此f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．【例4】判断函数f(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．【思路点拨】对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性的一般方法是利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解．答案：解：设，∈(1，＋∞)，且<，则f()－f()＝>0，有f()－f()>0，即f()>f()，又<，函数f(x)＝在(1，＋∞)上为减函数．【变式训练4】判断函数f(x)＝在(－∞，0)上的单调性．解：设，∈(－∞，0)，且x1<x2，则f()－f()＝＝(x1－x2)由，∈(－∞，0)⇒>0，<⇒x1－<0，故f()<f()，又<，因此函数f(x)＝x－在(－∞，0)上是增函数．高考链接高考链接1．(四川省2016年对口升学考试试题)函数f(x)＝x2(D)A．在(0，＋∞)内是减函数 B．在(－∞，0)内是增函数C．是奇函数 D．是偶函数【提示】利用二次函数的对称轴，开口方向及奇偶函数的定义．2．(四川省2018年对口升学考试试题)函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，且对任意的实数x恒有f[f(x)－x5－x＋1]＝2成立，则f(－1)＝(B)A．－1 B．－2 C．－3 D．－4[－2，1]【提示】将－1，0，1分别代入，则⇒f(－1)＝－2.[－2，1]函数y＝的单调递增区间是【提示】－x2＋2x＋8≥0⇒x2－2x－8≤0⇒－2≤x≤4，又－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9，开口向下，∴函数的单调增区间为[－2，1]．4．函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，求证：实数a的取值范围是(－∞，0)．证明：设x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2，∴f(x1)－f(x2)＝.x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2，∴(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，又f(x)在(－2，＋∞)上为减函数，∴f(x1)>f(x2)，∴a的取值范围为(－∞，0)．同步精练同步精练选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(C)A．y＝－2x＋3 B．y＝ C．y＝－ D．y＝－【提示】利用图像．2．函数f(x)在R上是减函数，则有(B)A．f(－2)<f(2) B．f(－2)>f(2)C．f(－2)＝f(2) D．不能确定【提示】利用定义．3．函数y＝－＋x＋1的单调递增区间是(D)A. B．[－1，＋∞)C．(－∞，－1] D.【提示】求出二次函数的对称轴，由开口方向作出大致图像．4．已知函数f(x)＝2a＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是(D)A. B. C. D.【提示】当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0＜a≤综上所述，0≤a≤5．已知函数f(x)为R上的减函数，则下列不等式成立的是(B)A．f>f(－a＋1) B．f≥f(－a＋1)f<f(－a＋1) D．f≤f(－a＋1)6．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(－x)－2的图像是(B)填空题7．判断下列函数的单调性．(1)函数y＝x－3在R上是__增______函数；(2)函数y＝2＋3x－3的单调递增区间是，单调递减区间是；(3)函数y＝－在(0，＋∞)上是__增______函数；(4)函数y＝ln(－2x－3)的单调递增区间是(3，＋∞)．(－1，1)8．已知函数f(x)＝kx＋b是定义域为R的增函数，点A(0，－1)，B(3，2)均在其图像上，则不等式|f(x＋1)|<1的解集是(－1，1)【提示】用待定系数法求出k，b的值，换元求出f(x)的解析式，解绝对值不等式．已知函数f(x)＝则f(x)的单