浙江省杭州余杭区星桥中学2025届九上数学期末联考试题含解析

浙江省杭州余杭区星桥中学2025届九上数学期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图1所示的是山西大同北都桥的照片，桥上面的部分是以抛物线为模型设计而成的，从正面观察该桥的上面部分是一条抛物线，如图2，若，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（）A． B．C． D．3．如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则DE的值为（）A． B．4 C． D．4．的值为()A． B． C． D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A(﹣3，0)，B(2，b)，则正方形ABCD的面积是（）A．20 B．16 C．34 D．256．如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为()．A．3 B．4 C．5 D．67．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A． B． C． D．8．二次函数y=(x+2)2-3的顶点坐标是（）A．(﹣2，3) B．(2，3) C．(﹣2，﹣3) D．(2，﹣3)9．如图，在菱形中，，，则对角线等于（）A．2 B．4 C．6 D．810．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（）．A．4 B．6 C．8 D．1211．二次函数在下列（）范围内，y随着x的增大而增大．A． B． C． D．12．抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．某商品连续两次降低10%后的价格为a元，则该商品的原价为______．14．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．15．如图是圆心角为，半径为的扇形，其周长为_____________.16．如图，将的斜边AB绕点A顺时针旋转得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转得到AF，连结EF．若，，且，则_____．17．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为_____．18．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线与轴，轴分别交于点A和点B．抛物线经过A,B两点，且对称轴为直线，抛物线与轴的另一交点为点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S；抛物线上是否还存在其它点M,使△ABM的面积等于中的最大值S,若存在，求出满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点F为线段OB上一动点，直接写出的最小值.20．（8分）九年级（1）班的小华和小红两名学生10次数学测试成绩如下表（表I）所示：小花708090807090801006080小红908010060908090606090现根据上表数据进行统计得到下表（表Ⅱ）：姓名平均成绩中位数众数小华80小红8090（1）填空：根据表I的数据完成表Ⅱ中所缺的数据；（2）老师计算了小红的方差请你计算小华的方差并说明哪名学生的成绩较为稳定．21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，（1）求证：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．22．（10分）一个不透明袋子中装有2个白球，3个黄球，除颜色外其它完全相同．将球摇匀后，从中摸出一个球不放回，再随机摸出一球，两次摸到的球颜色相同的概率是______．23．（10分）如图，AB为⊙O的弦，若OA⊥OD,AB、OD相交于点C,且CD=BD．(1)判定BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)当OA=3，OC=1时，求线段BD的长.24．（10分）如图，等腰中，，点是边上一点，在上取点，使（1）求证:;（2）若，求的长．25．（12分）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…30405060…每天销售量y（件）…500400300200…（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？26．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】试题解析：∵∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA，∴△BDO∽△BEA，∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=90°，∴△BDO∽△CEO，∵∠CEO=∠CDA=90°，∠ECO=∠DCA，∴△CEO∽△CDA，∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．故选C．2、A【分析】首先设抛物线的解析式y=ax2+bx+c，由题意可以知道A（-30,0）B（30,0）C（0,15）代入即可得到解析式.【详解】解：设此桥上半部分所在抛物线的解析式为y=ax2+bx+c∵AB=60OC=15∴A（-30,0）B（30,0）C（0,15）将A、B、C代入y=ax2+bx+c中得到y=-x2+15故选A【点睛】此题主要考查了二次函数的实际应用问题，主要培养学生用数学知识解决实际问题的能力.3、C【分析】由，利用平行线分线段成比例可得DE与EF之比，再根据DF＝12，可得答案．【详解】，，，，，，故选C.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，牢记平行线分线段成比例定理及推论是解题的关键．4、C【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.【详解】tan60°=，故选C.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5、C【分析】作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，OM＝2，推出OD＝AM＝5，再利用勾股定理求出AD即可解决问题．【详解】解：作轴于．四边形是正方形，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，正方形的面积，故选：．【点睛】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6、B【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为1，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为1．∴，即．当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，∴．则，代入，得，解得或1，因为，即，所以．故选B．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．7、C【分析】根据完美点的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意方程有两个相等的实数根，求得4ac=9，再根据方程的根为=，从而求得a=-1，c=-，所以函数y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．【详解】解：令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，

由题意，△=32-4ac=0，即4ac=9，

又方程的根为=，

解得a=-1，c=-，

故函数y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，

如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，-3），由对称性，该函数图象也经过点（4，-3）．由于函数图象在对称轴x=2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，

∴2≤m≤4，

故选：C．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合的数学思想得出是解题关键．8、C【分析】根据二次函数的性质直接求解．【详解】解：二次函数y=（x+2）2-3的顶点坐标是（-2，-3）．

故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的顶点式为y=a（x-）2+，对称轴为直线x=-，顶点坐标为（-，）；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．9、A【分析】由菱形的性质可证得为等边三角形，则可求得答案．【详解】四边形为菱形，，，，，为等边三角形，，故选：．【点睛】主要考查菱形的性质，利用菱形的性质证得为等边三角形是解题的关键．10、A【解析】∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为，且∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°（在同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半）．又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°（等边对等角和三角形内角和定理）．∵OP⊥AC，∴∠AOP=90°（垂直定义）．在Rt△AOP中，OP=2，∠OAC=30°，∴OA=2OP=4（直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半）．∴⊙O的半径4．故选A．11、C【分析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围.【详解】，∵图像的对称轴为x=1，a=-1，∴当x时，y随着x的增大而增大，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，当a时，对称轴左减右增.12、A【分析】已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【详解】∵抛物线y=3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．【点睛】本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．二、填空题（每题4分，共24分）13、元【分析】设商品原价为x元，则等量关系为原价=现价，根据等量关系列出方程即可求解．【详解】设该商品的原价为x元，根据题意得解得故答案为元．【点睛】本题考查了一元二次方程实际应用中的增长率问题，本剧题意列出方程是本题的关键．14、16:25【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：，∴这两个三角形的面积比；故答案为：∶.【点睛】本题考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质.（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．15、【分析】先根据弧长公式算出弧长,再算出周长.【详解】弧长=,周长==.故答案为:.【点睛】本题考查弧长相关的计算,关键在于记住弧长公式.16、【分析】由旋转的性质可得，，由勾股定理可求EF的长．【详解】解：由旋转的性质可得，，，且，故答案为【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．17、πa【分析】首先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，再利用弧长公式求出的长=的长=的长=，那么勒洛三角形的周长为【详解】解：如图．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，∴的长=的长=的长=，∴勒洛三角形的周长为故答案为πa．【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等边三角形的性质．18、【解析】试题分析：，解得r=．考点：弧长的计算．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）E(-2,-4）,4；②存在，；（3）【分析】（1）求出AB两点坐标，利用待定系数法即可求解；（2）设点E的坐标为，当△ABE的面积最大时，点E在抛物线上且距AB最远，此时E所在直线与AB平行，且与抛物线只有一个交点.设点E所在直线为l：y=-x+b，与二次函数联立方程组，根据只有一个交点，得，求出b，进而求出点E坐标；抛物线上直线AB上方还存在其它点M,使△ABM的面积等于中的最大值S，此时点M所在直线与直线AB平行,且与直线l到直线AB距离相等，求出直线解析式，与二次函数联立方程组，即可求解；（3）如图，作交x轴于点G，作FP⊥BG，于P，得到，所以当C、F、P在同一直线上时，有最小值，作CH⊥GB于H，求出CH即可．【详解】解：（1）在中分别令x=0，y=0，可得点A(-4,0)，B(0,-4)，根据A,B坐标及对称轴为直线，可得方程组解方程组可得∴抛物线的函数表达式为（2）①设点E的坐标为，当△ABE的面积最大时，点E在抛物线上且距AB最远，此时E所在直线与AB平行，且与抛物线只有一个交点.设点E所在直线为l：y=-x+b.联立得方程，消去y得，据题意；解之得，直线l的解析式为y=-x-6,联立方程，解得，∴点E(-2,-4），过E作y轴的平行线可求得△ABE面积的最大值为4.②抛物线上直线AB上方还存在其它点M,使△ABM的面积等于中的最大值S，此时点M所在直线与直线AB平行,且与直线l到直线AB距离相等，易得直线是直线l向上平移4个单位，∴解析式为y=-x-2,与二次函数联立方程组可得方程组解之得∴存在两个点，（3）如图，作交x轴于点G，作FP⊥BG于P，则是直角三角形，∴,∴,∴当C、F、P在同一直线上时，有最小值，作CH⊥GB于H，在中，∵∴,,∵A(-4,0)，抛物线对称轴为直线，∴点C坐标为（2,0），∴,∴在中，,∴的最小值为．【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数与一元二次方程关系，二次函数与面积问题，三角函数，求两线段和最小值问题．理解好函数与方程（组）关系，垂线段最短是解题关键．20、（1）见解析；（2）小华的方差是120，小华成绩稳定．【分析】（1）由表格可知，小华10次数学测试中，得60分的1次，得70分的2次，得1分的4次，得90分的2次，得100分的1次，根据加权平均数的公式计算小华的平均成绩，将小红10次数学测试的成绩从小到大排列，可求出中位数，根据李华的10个数据里的各数出现的次数，可求出测试成绩的众数；

（2）先根据方差公式分别求出两位同学10次数学测试成绩的方差，再比较大小，其中较小者成绩较为稳定．【详解】（1）解：（1）小华的平均成绩为：（60×1+70×2+1×4+90×2+100×1）=1，

将小红10次数学测试的成绩从小到大排列为：60，60，60，1，1，90，90，90，90，100，第五个与第六个数据为1，90，所以中位数为=85，

小华的10个数据里1分出现了4次，次数最多，所以测试成绩的众数为1．

填表如下：姓

名平均成绩中位数众数小华11小红85（2）小华同学成绩的方差：S2＝[102+02+102+02+102+102+02+202+202+02]

=（100+100+100+100+400+400）

=120，

小红同学成绩的方差为200，

∵120＜200，

∴小华同学的成绩较为稳定．【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．21、（1）证明见解析（1）【解析】试题分析：（1）欲证明△EBC是等腰三角形，只需推知BC=BE即可，可以由∠1=∠3得到：BC=BE；（1）通过相似三角形△COD∽△EOB的对应边成比例得到，然后利用分式的性质可以求得.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠1=∠1．∵CE平分∠BCD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠3，∴BC=BE，∴△EBC是等腰三角形；（1）∵∠1=∠1，∠4=∠5，∴△COD∽△EOB，∴=．∵平行四边形ABCD，∴CD=AB=2．∵BE=BC=5，∴==，∴=．点睛：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用三角形相似的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．22、【分析】依据题意先用画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．【详解】解：画树状图得由树状图得，共有20种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色相同的结果数为8，所以两次都摸到同种颜色的概率＝．故答案为：【点睛】本题考查概率的概念和求法，借助列表或树状图列出所有等可能性是解题关键．23、（1）见解析；（2）1【分析】（1）连接OB，由BD=CD，利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB垂直于BD，即可得证；（2）设BD=x，则OD=x+1，在RT△OBD中，根据勾股定理得出32+x2=（x+1）2，通过解方程即可求得．【详解】解：（1）证明：连接OB，∵OA=OB，DC=DB，∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，∵AO⊥OD，∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，则BD为圆O的切线；（2）解：设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，在RT△OBD中，OB2+BD2=OD2，即32+x2=（x+1）2，解得x=1，∴线段BD的长是1．24、（1）见解析；（2）．【分析】（1）利用三角形外角定理证得∠EDC=∠DAB，再根据两角相等即可证明△ABD∽△DCE；（2）作高AF，利用三角函数求得，继而求得，再根据△ABD∽△DCE，利用对应边成比例即可求得答案．【详解】（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，

∴∠ABD=∠ACB=30°，

∴∠ABD=∠ADE=30°，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，

∴∠EDC=∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；（2）过作于，∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，，∴∠ABD=∠ACB=30°，，则，，，，，，所以．【点睛】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、解直角三角形，证得△ABD∽△DCE是解题的关键．25、（1）图见解析，y＝－10x＋1；（2）单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元；（3）单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．【分析】(1)从表格中的数据我们可以看出当x增加10时，对应y的值减小100，所以y与x之间可能是一次函数的关系，我们可以根据图象