2021届高三高考文科数学必刷题考点52 几何概型【含答案】

2021届高三高考文科数学必刷题

考点52几何概型

1.在区间「I』上随机取一个数L则直线丁=奴%-2)与圆尤2+y2=i有两个不同公共点的概率为()

2^/31^/3

A.9B.6C.3D.3

【答案】D

【解析】圆炉+y==1的圆心为(0Q),圆心到直线J=k(x-2)的距离为舞，要使直线y=k(x-2书圆

炉+尸=1相交，则舞<L解得-4<k<咛..•.在区间［-L1］上随机取一个数匕使直线)，=k(x+2当

圆F+尸=1有公共点的概率为P=之二=今，故选D.

1-1.-»

2

x+y<-

2.在区间［0#上随机取两个数x,y,记P为事件“3”的概率，则尸=()

2142

A.3B.2c.9D.9

【答案】D

【解析】如图所示，。4》41，04'41表示的平面区域为48(7。，

x+y<-P伟)Q(0,4)

平面区域内满足3的部分为阴影部分的区域4PQ,其中［3),，3),

122

-X-X-

_233_2

.结合几何.概型计算公式可得满足题意的概率值为0——1^1一—9.

本题选择D选项.

【点睛】

数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部

结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件4满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据

此求解几何概型即可.

3.在PH上随机取一个数x,

使得OVtanxVl成立的概率是（)

1112

A.8B.3C.2D.冗

【答案】C

【解析】

n

4_1

7Tn2

由0<tanxVl,得0<x<4,故所求概率为2,选c.

4.甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中

至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（）

1137

A.4B.3c.4D.16

【答案】D

【解析】设甲船到达的时间为X,乙船到达的时间为

则所有基本事件构成的区域渊足,124

这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A满足

0<x<24

o<y<24,作出对应的平面区域如图所示

|x-yl<6

这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为PG4）=L=彩=W故选D

x4-y-4<0

x>0

5.在平面区域Iy>o内随机取一点3,b）,贝U函数兀0=以2—4版+1在区间［1,+8）上是增函数的

概率为（）

1112

A.4B.3C.2D.3

【答案】B

【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示的的内部及边界AB(不包括边界04,OB),则

5uos=，4x4=8,函数/'(x)=ax:-4bx+1在区间［L+s)上是增函数，则应满足a>。且x=§41,

即｛:;1可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界。°，B3不包括边界。B)，由1+。。?=。，解

得a=：,b=；,所以为COB=：x4W，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率P=|=|,

故选B.

7

6.在区间［-3,5］上随机地取一个数X,若x满足|x|Wm(m>0)的概率为我则m的值等于

7

A.2B.3C.4D.,-2

【答案】C

【解析】

区间［-3,5］的区间长度为5-(-3)=8,

当0Vmg3时，

满足|x|gm(m>0)的解集的区间长度为2m,

7

又在区间［-3,5］上随机地取一个数x,若x满足|x|gm(m>0)的概率为E

:・*，得m=f(舍力

当3<比5时，满足国—(m>0)的解集的区间长度为m+3,

又在区间[-3,5]±随机地取一个数x,若x满足|xsm(m>0)的概率为%

.•."=%得m=4.

8B7'J

.'.m的值等于4.

故选：C.

2

7.如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为

则阴影区域的面积约为()

A.3B.3c.3D.无法计算

【答案】C

s_2_8

【解析】设阴影区域的面积为s,4-3,所以5一§.

故选C.

8.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为

()

83邪1

1-----71-----71-

A.6B.4c.6D.4

【答案】A

【解析】

满足条件的正三角形如图所示

BC

其中正三角形丹BC的面积S三坨形=—x16=4vz3

满足到正三角形ABC的顶点4BC的距离都大于2的平面区域如图中阴影部分所示

则S阴=2w

则使取到的点到三个顶点ABC的距离都大于2的概率为：

2n用

P=1-----=1——n

4G6

故选A

9.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐

观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（）

1115

A.10B.6c.5D.6

【答案】B

【解析】

由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，所以概率60&故选民

10.已知实数xG[2,30],执行如.图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为（）

/输出z/

(结束)

5954

A.14B.14C.9D.9

【答案】B

【解析】

设实数xe[2,30],

经过第一次循环得到x=2x+L"=2：

经过第二次循环得到x=2(2x+l)+l,n=3j

经过第三次循环得到x=2[2(2.r+1)+1]+l,n=4,此时输出x,

输出的值为8x+7,

令8X+7N103得x212,

由几何概型概率得到愉出的x不小于103的概率为P=年=§,故选B.

sD-—14

1

f(x)—minx-2x2+—

11.已知实数mW[0,4],则函数%在定义域内单调递减的概率为

1135

A.4B.2c.4D.8

【答案】C

【解析】

1.m11

9f(%)=4%--<4x2+-

f(x)—minx-2/+-xm

函数》在定义域内单调递减,则/恒成立，即％恒成立，设

g(x)=4犬+=8x-烹=注三函数g(xyt(0=)\(：,-8)乙故函数g(x)li泌取得最小

值，代人得到mW3.

则函数f(x)=mlnx-2x:+/定义域内单调递减的概率为亲

故答案为：C.

12.中央电视台第一套节目午间新闻的播出时间是每天中午12:00到12:30,在某星期天中午的午间新闻中

将随机安排播出时长5分钟的有关电信诈骗的新闻报道.若小张于当天12:20打开电视，则他能收看到这条新

闻的完整报道的概率是()

2111

A.5B.3c.5D.6

【答案】D

【解析】新闻报道中午时间段可能开始的时间为12:00-12:30,时长30分钟，小张可能看到新闻报道的开

5_1

始时间为12:20-12:25,共5分钟，所以概率为.一%.

故选D.

13.已知函数/⑺=%函数9(%)=2-%,执行如图所示的程序框图，若输入的尤6[-3,3],则输出m的值为9(幻

【答案】C

【解析】

令Rx)<g(x)即X<2-X,所以xj因为-3<x<3,所以当-3<x<附愉出电)的函数值.

所以当1<x<3时输出g(x)的函数值，

所以输出值m的函数旗X)=mm，

由几何概型得输出的值为。(幻的函数值的概率为-=

d—I-s

故答案为：C.

14.把［0用内的均匀随机数十分别转化为［。，4］和［-4,1］内的均匀随机数力，力，需实施的变换分别为

A%=-4x,y2=5%-4y1==4x-4,y2=4x+3

Qyt=4x,y2=5x-4Dy1-4x,y2=4x4-3

【答案】C

【解析】由随机数的变换公式可得力=以，

y2=-4+［1-(-4)］x=5x-4

故选C.

15.关于圆周率叫数学发展史上出现过。许多有创意的求,法，如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发，

我们也可以通过设计下面的实验来估计"的值：先请120名同学每人随机写下一个苍了都小于1的正实数对

(町0,再统计其中％y能与1构成钝角三角形三边的数对(即0的个数m,最后根据统计个数m估计W的值.如

果统计结果是m=34,那么可以估计万的值为

22475153

A.~7B.15C.16D.17

【答案】B

【解析】由题意，120对都小于1的正实数（x,y）,满足面积为1,

两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对（X.y）,满足产+尸＜I且［；＜J＜i，

面积为W-：，

因为统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（XJ）的个数为"I=34,

则言=4-P所以713故选B.

16.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如下图），四个全等的直角三角形（朱实）,

可以围成一个大的正方形，中空部分为一个小正方形（黄实）.若直角三角形中一条较长的直角边为8,直

角三角形的面积为24,若在上面扔一颗玻璃小球，则小球落在“黄实”区域的概率为（）

A.4B.3c.25D.73

【答案】C

【解析】因为直角三角形中一条校长的直角边为8,直角三角形的面积为24,

所以可得另外一条直角边长为6,

所以小正方形的边长为8-6=2,

实”区域的面积为2二=4,

大正方形的面积是8:+6==100,

所以小球落在'黄实”区域的概率是全==,故选C.

17.《世界数学史简编.》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形,

在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

线

n3#n3/n3^/3n3j

A.2-11?B.4"UC.4-^-D.2--8

【答案】B

【解析】设正方形的边长为2a,则正方形内切圆的半径为。，圆内接正三角形的边长为v3a

S网变=s网一S歪三弟港="（1二一：•（、疔a）：•sni60s="小-手旌

所求的概率为

P=L-U

故选：B.

18.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形

和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此

点取自黑色部分的概率为（）

9537

A.32B.16C.8D.16

【答案】C

【解析】设小正方形的边长为1,可得黑色平行四边形的底为隹，高为2；黑色等腰直角三角形的直角边

为2,斜边为2道,大正方形的边长为2&,

L嘉1

J2x—+~x2x2

“223

P------------------二—

所以2V2x2、/28,

故选Co

19.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股.定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文,

弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分

别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2x勾x股+（股-勾）2=4x朱实+黄实=弦实,

化简，得勾2+股2=弦2设勾股形中勾股比为1：/，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则

落在黄色图形内的图钉数大约为（）

A.134B.866C.300D.500

【答案】A

【解析】设三角形的直角边分别为bv,3,则弦为2,故而大正方形的面积为4,小正方形的面积为

(^3—1)=4—2、包

・・•图钉落在黄色图形内的概率为三=乎.

二落在黄色图形内的图钉数大约为1000X三=134.

故选：A.

20.在长度为10的线段AB上任取一点C（异于A,B）,则以AC,BC为半径的两圆面积之和小于587t的概

率是.

2

【答案】5

【解析】设4C=x,则BC=10—x,0<x<10,由题意知也2+世io-幻2<58"，即1（）工+21<0,解得

7-3_22

3<%<7,故所求的概率为可一弓，故答案为£

21.已知P,E,G,尸都在球面C上，且P在AEFG所在平面外，PELEF,PELEG,PE=2GF=2EG=4,

ZEGF=120°,在球C内任取一点，则该点落在三棱锥P-EFG内的概率为.

出

【答案】而

【解析】如图,

在三角形EGF中，由已知可得EG=GF=2,ZEGF=120°,

可得EF=2、5，设三角形EFG的外接圆的半径为r,由巨工二2r,可得r-2.

再设AEGF的外心为Gi,过Gi作底面EGF的垂线GiO,且使G_0=*=2.

连接OE,贝iJOE=2V2为三棱锥P-EFG的外接球的半径.

则％="*(2记尸=学斤,M-EGF;X2x2xsml20°x4

由测度比为体积比，可得在球C内任取一点，则该点落在三棱锥P-EFG内的概率为3

3271

故答案为：W

5

22.在区间［。，2］内随机地取出两个实数，则这两个实数之和小于5的概率是

23

【答案】32

【解析】取xe[0Z，yeO2],

(x.y)所在区域是边长为2的正方形区域，面积为4,

直线x+y=:直线上正方形区域面积为：x：x%

直线犬+y=:直线下正方形区域面积4-5x・x：=q

由几何概型概率公式可得，

这两个实数之和小于翔概率是£+4=*

故答案为差

23.已知圆。的半径为6,°1°2，°3°4是圆。的两条相互垂直的直径，分别以°1，°2，°3，°4为圆心，4为半径作圆,

圆。与各圆的交点与点0连线得到的三角形如图中阴影部分所示，则往圆0内随机投掷一点，该点落在阴影部

分内的概率为

112^2

【答案］817r

【解析】

36+36-1674衣565/2

ccosa=----------------=-，sina=-----＞，sin2a=-------

设等腰三角形的顶角为2