2022年初升高暑期数学讲义09 函数及其表示重难点突破（原卷版）

专题09函数的概念及其表示

一、考情分析

二、经验分享

【知识点一、函数的概念】

1.函数的概念

设48是如果按照某种确定的对应关系£使对于集合力中的一X,在集合8中都

有的数/*)和它对应，那么就称3为从集合力到集合8的一个函数，记作

y=/(x),XGA.

其中，X叫做自变量，X的取值范围力叫做函数的定义域；与X的值对应的y值叫做函数值，函数值的集

合｛/(x)|xeA｝叫做函数的值域.显然，值域是集合4的子集.

名师解读：

(1)“A,8是非空的数集”，一方面强调了A.8只能是数集，即A,8中的元素只能是实数；另一方

面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的.

(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合8

的子集.

(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集力中的任意一个(任意性)

元素X在非空数集8中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素，与之对应.

(4)函数符号">=/(力”是数学中抽象符号之一，“>=/(')”仅为，是x的函数的数学表示，不表

示P等于f与x的乘积，“力也不一定是解析式，还可以是图表或图象.

2.函数的构成要素

由函数概念知，一个函数的构成要素为,由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确

定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系.

辨析"力与〃a)(aeA)：f⑷表示当自变量x=a时函数的值,是一个常量,而f(，是自变量x

的函数，它是一个变量，/(〃)是〃x)的一个特殊值.

3.相等函数(同一函数)

对于两个函数，只有当两个函数的都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数.

名师解读：

(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同.定义域、对应关系两者

中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数.

(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.

(3)在化简解析式时，必须是等价变形.

【知识点二、区间及其表示】

1.区间的概念

设a,b是两个实数，而且.我们规定：

(1)满足不等式a4x4。的实数x的集合叫做闭区间，表示为；

(2)满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为；

(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为.

其中实数a,匕都叫做相应区间的端点.我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端

点，我们用—表示包括在区间内的端点，用—表示不包括在区间内的端点.

定义名称符号数轴表示

{x\a<x<b}闭区间[a,b]_1__1__

abx

{x\a<x<b}开区间(4。)_1__1__»

abx

{x\a<x<b]半开半闭区间[a,b)_1__1___

abx

{x\a<x<b}半开半闭区间(a,b]-4-^

注意：区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开.

2.无穷大的概念

实数集R可以用区间表示为“8”读作“无穷大”，“-8”读作“负无穷大”，

“+8”读作“正无穷大”.把满足X24/>4,乂<。/<人的实数*的集合分别表示为[4,+8'(a,+00),

(-00,/?],(-<»,/?).

【知识点三、函数的三种表示方法】

1.解析法

用表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.

2.图象法

用来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.

3.列表法

通过列出________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.

名师解读：

(1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注

明其定义域.

(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.

(3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性.

【知识点四、分段函数】

1.分段函数的概念

在函数定义域内，对于自变量x的不同有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.

名师解读：

(1)分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式.分段函数是一

个函数，而不是几个函数.

(2)分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，

分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.

(3)分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集

合，再求出它们的并集.

2.分段函数的图象

分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据每段的定义区间和表达式在同

一坐标系中作出其图象，作图时要注意每段曲线端点的横坐标相同的地方不能有两个或两

个以上的点.

名师解读：

作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其

图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

【知识点五、映射】

一般地，设46是两个,如果按某一个确定的对应关系/使对于集合力中的

元素X,在集合8中都有的元素y与之对应，那么就称对应—B为从集合力到集合8的一个

映射.

名师解读：

(1)映射包括非空集合48以及对应关系/：其中集合48可以是数集，可以是点集，也可以是其他

任何形式的集合.当46为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射.

(2)集合48是有先后次序的，即4到8的映射与夕到/的映射是不同的.

(3)集合力中每一个元素在集合6中必有唯一的元素和它对应(有，且唯一)，但允许6中元素没有力

中元素与之对应.

(4)/中元素与8中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”.

知识提升

对于映射-8,我们通常把集合力中的元素叫原象，而把集合夕中与力中元素相对应的元

素叫象，集合Z叫原象集，象集为G则。三8.象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和

象不可以互换.设46是两个集合，/：A-B是从集合力到集合8的映射，如果在这个映射下，对

于集合力中不同的元素，在集合8中有不同的象，而且6中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫

做4到8上的——映射.

三、题型分析

(-).函数概念

例1.(1)、(2022・宁夏・青铜峡市宁朔中学高二学业考试)如图，可以表示函数/(x)的图象的是

⑵、（2021•全国•高一单元测试）若函数y=〃x）的定义域M={x|-24x42},值域为N=（y|04yV2},

则函数y=/（x）的图象可能是（

【变式训练1-1】•（2021.重庆.西南大学附中高一期中）下列图形是函数图像的是（）

【变式训练1-2】.（2021•安徽省六安中学高一期中）设集合M={邓）WxW2}.N={y|0WyW2},那么下面

的4个图形中，不能表示集合M到集合N的函数关系的序号有.

3x2-4,x>0

例2.（2020•武汉市新洲区第一中学高一期末）已函数/(x)=<x+2,x=0,则/(/⑴)=()

—1,x<0

A.1B.2C.-1D.3

【变式训练2-1】.（2022•黑龙江大庆外国语学校高一期末）若/（&+l）=x+4,则〃3）=

(二).函数相等

例3.(1)(2021•浙江高一期末)下列函数中，与函数)，=x+l是相等函数的是()

A.y=(Jx+l)B.y=+iC.y=—+1D.y=-/?+l

(2).(2021•北京市第一五九中学高一期中)下列各组函数中，表示同一个函数的是.

1.g(x)=l②./(力=/，g(x)=?

③./")=必，g(x)=w④.f(x)=jx2-l,g(x)=yjx+l-yjx-\

【变式训练3-1】•(2020•沙坪坝区•重庆八中高一期中)在下列四组函数中，表示同一函数的是()

A./(%)=2x+1,XGN,g(x)=2x-l,XGN

B-/(x)=|x|,g(x)=V?

C./(x)="T)(：+3),g(x)=x+3

x—1

D.f{x)=Vx-l-\Jx+l,g(x)=y/x2-1

【变式训练3-2】、(2022•云南・会泽县实验高级中学校高一开学考试)下列四组函数中，表示相等函数的一

组是()

A./(x)=|x|,g(x)=7?B./(x)=正，g(x)=(&J

C./(x)=^—g(x)=x+lD./(x)=Vx+lVx-1,g(x)=>Jx2-I

x-1

（三）.函数图象

例4.（1）、（2022•全国•高一专题练习）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气

中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物

10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4

毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（）

D.20分钟

⑵.13.（2021・广西,高二学业考试）函数y=的图象如图所示，则〃9）=（）

A.5B.4C.3D.2

【变式训练4-1】、（2021・陕西・咸阳市实验中学高一阶段练习）第十四届全运会游泳比赛在西安奥体中心游

泳跳水馆举行，标准泳池的长为50米，宽为21米，在女子100米自由泳比赛中，能表示选手速度I，随时

间/变化的大致图象是（）

【变式训练4-2】、（2021•全国•高一专题练习）直角梯形ABC2如图（1）,动点P从B点出发，沿

B—C—AA运动，设点尸运动的路程为x,△ABP的面积为/（x）.如果函数（x）的图象如图（2）

所示，则4ABC的面积为一

（四）.分段函数

例5.（1）、（2022福建省德化第一中学高二阶段练习）设函数二4））/<10,则外分=

（）

A.6B.7C.9D.10

3x4-1,X,1,

（2）,（2021•浙江高一期末）已知/（%）=<,；则/(3)=()

x+3,x>1,

A.7B.2C.10D.12

Ixx0

【变式训练5-1】、（2022•陕西・长安一中高一期末）若〃x）=j；<0，则/（”T））=.

【变式训练5-2】、（2022•吉林吉林模拟预测（文））已知函数f（x）=J二；…，贝廿.（.〃9））=

X—3+2,x2

A.1B.2C.4D.8

（五）.求函数的定义域

例6、（2020福建福州市•高三月考）函数"X）=J2x+1+L的定义域为（）

X

_；,O)U(o,+8)

A.B-l一别

-1,0ju(0,+oo)-1

C.D.——,+oo

L2

【变式训练6-1】.（2022•新疆喀什•高一期末）函数>=五三中，自变量x的取值范围是（）

X

A.x>2B.x>2C.xN2且工工（）D.xwO

（六）.求抽象函数的定义域

例7.（1）、（2022江苏高一）已知函数/*+1）的定义域为[1,2],则7-2工+3）的定义域为（）

A.[1,2]B.[0,|lC.H,l]D.[1,1]

（2）、（2021•云南大理白族自治州•宾川四中高一开学考试）已知函数/（2x+l）的定义域为[1,2],则函数

/（4x+l）的定义域为（）

A.[3,5]B.；，1C.[5,9]D,0,1

【变式训练7-1】、(2020•全国高一课时练习)已知函数y=定义域是［—2,3］,则y=〃2x-l)的

定义域是()

A.—,2B.1,4］C.2,3］D,0,—

【变式训练7-2】、(2021•全国高一课时练习)(1)已知y=/(x)的定义域为［0』］,求函数丁=/(/+1)

的定义域；

(2)已知y=/(2x—1)的定义域为［0,1］,求y=/(x)的定义域；

(3)已知函数y=/(x)的定义域为［0,2|,求函数g(x)=/0D的定义域.

2x-l

（七）.函数的表示方法

例8.（1）、（2021.山东日照高三阶段练习）老舍在《济南的冬天》中写到济南的冬天是没有风声的，济南

的冬天是响晴的，济南真得算个宝地.济南市某一天内的气温。（单位：C。）与时刻，（单位：时）之间

的关系如图所示，令C⑺表示时间段［0刁内的温差（即时间段［0刁内最高温度与最低温度的差），C⑺与

f之间的函数关系用下列图象表示，则下列正确的图象是（）

（2）、（2021・河南•范县第一中学高一阶段练习）已知函数y=/（x）,用列表法表示如下:

X-2-1023

y52134

则〃T)+/(2)=()A.4B.5C.6D.9

(3)、(2021•全国•高一课时练习)已知矩形的周长为20cm,设矩形的宽为x(cm),面积为y(cn?),则

y关于x的函数表达式为()

A.y=x(10-x)(x<10)B,y=x(10-x)(x>0)

C.y=x(10-x)(0<x<10)D,y=x(10-x)(0<x<10)

【变式训练8-1】、(2021•北京市海淀区尚丽外国语学校高一期中)函数f(x)和g(x)由下表给出，则

/[g(2)]=

X1234

f(x)2431

g(x)3124

【变式训练8-2】、(2021.浙江湖州.高一期中)为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实

行“阶梯水价”，计费方法如下表,已知某户10月份用水量超过20m，,则该户该月应缴纳的水费丫(元)

关于用水量x(