高中数学选择性必修3课件：7 5 正态分布(人教A版)

7．5正态分布课标要求素养要求1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.通过了解正态分布的特征，提升数学抽象及数据分析素养.新知探究高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．问题正态分布有哪些应用？提示正态分布在概率和统计中占有重要的地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．1．正态曲线正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线函数f(x)＝_______________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为______________，称它的图象为正态分布密度曲线，简称__________．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～

N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，________时，称随机变量X服从标准正态分布．正态密度函数正态曲线σ＝12．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线________对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值____________； (3)当

无限增大时，曲线无限接近x轴．3．正态分布的期望与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝

____，D(X)＝______．x＝μμσ24．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.0.68270.95450.9973×提示函数中σ的意义为标准差．2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．

(

)

提示正态曲线与x轴围成的面积为定值1.3．正态曲线可以关于y轴对称．

(

)×√答案C答案C2．设随机变量X～N(μ，σ2),且P(X≤c)＝P(X＞c),则c等于(

) A．0 B．σ

C．－μ D．μ

解析由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c为对称轴，又由 X～N(μ，σ2)知对称轴为x＝μ，故c＝μ.

答案D∴σ＝10.题型一正态曲线的图象的应用【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．解由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，题型二利用正态分布的对称性求概率【例2】设X～N(1，22)，试求： (1)P(－1≤X≤3)； (2)P(3≤X≤5)．

解∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)

＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827. (2)∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，【迁移1】

(变换所求)例2条件不变，求P(X≥5)．【迁移2】

(变换条件)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝(

) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2

解析∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)， ∴μ＝2，对称轴是x＝2. ∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2， ∴P(0＜X＜4)＝0.6. ∴P(0＜X＜2)＝0.3.故选C.

答案C规律方法利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解．【训练2】设X～N(1，1)，试求： (1)P(0<X≤2)； (2)P(2<X≤3)； (3)P(X≥3)．

解∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1. (1)P(0<X≤2)＝P(1－1<X≤1＋1)

＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(2<X≤3)＝P(－1<X≤0)，(3)∵P(X≥3)＝P(X≤－1)，题型三正态分布的实际应用【例3】某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？解由于外直径X～N(4，0.52)，则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之内取值的概率为0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.0027，而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的．规律方法解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．【训练3】在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？

解∵成绩服从正态分布N(80，52)， ∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85. ∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80，85]内的同学占全班同学的34.135%.设该班有x名同学，则x·34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在[70，90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人.一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．2．在正态分布N(μ，σ2)中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，即总体随机变量的均值，它可以用样本的均值去估计，其取值是任意的实数．参数σ是反映随机变量总体波动大小的特征数，即总体随机变量的标准差，它可以用样本的标准差去估计，其取值范围是正数，即σ>0.3．正态总体在某个区间内取值的概率求法： (1)熟记P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.二、素养训练1．正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分别为P1，P2，则二者的大小关系为(

) A．P1＝P2 B．P1＜P2 C．P1＞P2 D．不确定

解析根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等．

答案A2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间[3，6]内的概率为(

) (附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.45%) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%答案B3．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于__________．

解析∵X～N(2，9)，

又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为__________．

解析如图，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)，故P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8.答案0.85．在某省组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上的学生有135人． (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？ (2)若计划奖励竞赛成绩排在前2275名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解(1)设学生的成绩为X分，共有n人参加竞赛，因为X～N(60，100)，所以μ＝60，σ＝10，(2)设受奖学生的分数线为x0，因为0.02275<0.5，所以x0>60.所以P(120－x0<X<x0)＝1－2P(X≥x0)＝95.45%，所以x0＝60＋20＝80.故受奖学生的分数线是80分.备用工具&资料5．在某省组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上的学生有135人． (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？ (2)若计划奖励竞赛成绩排在前2275名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解