高中数学选择性必修3课件：7 4 2 超几何分布(人教A版)

7.4.2超几何分布1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.2.能用超几何分布解决简单的实际问题.课标要求素养要求通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.超几何分布2.超几何分布的期望E(X)＝__________＝

(p为N件产品的次品率).np点睛三点说明(1)超几何分布的模型是不放回抽样.(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成.

1.思考辨析，判断正误 (1)超几何分布的总体里只有两类物品.(

) (2)超几何分布的模型是不放回抽样.(

) (3)超几何分布与二项分布的期望值都为np.(

) (4)在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”等.(

)√√√√2.设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(

)D2.设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(

)D3.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则出现二级品的概率为(

)C4.在含有5名男生的100名学生中，任选3人，则恰有2名男生的概率表达式为________________.课堂互动题型剖析2题型一利用超几何分布的公式求概率【例1】在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率(结果保留两位小数).

解设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5，于是中奖的概率为超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.思维升华超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.思维升华【训练1】

某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为(

)A【例2】某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.现从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；题型二超几何分布的分布列解由题意知，参加集训的男生、女生各有6人.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列.解根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3.所以X的分布列为解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列.思维升华【训练2】

从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动. (1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数X的分布列.(2)X的可能取值为0，1，2，3.∴X的分布列为【例3】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；题型三超几何分布的综合应用(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望.解依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能值为0，1，2，3.所以随机变量X的分布列是思维升华∴5个球中有2个白球.白球的个数X可取0，1，2.1.牢记2个知识点 (1)超几何分布的概念； (2)超几何分布的期望.2.掌握3种方法 (1)利用超几何分布的公式求概率的方法； (2)求超几何分布的分布列的方法； (3)求超几何分布的期望的方法.3.注意1个易错点

在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布；如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为(

)D2.在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是(

)C3.设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为(

)D解析本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率.BA.恰有1个是坏的 B.4个全是好的C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的C解析令“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，二、填空题6.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝__________.7.有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为______________(用式子表示).8.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则P(X≥8)＝__________.(1)求7名学生中甲班的学生数；解

设甲班的学生数为n，整理得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍去)，即7个学生中，有甲班3人.(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求甲班学生数不少于1人的概率.解

由题意知X服从参数N＝7，M＝3，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0，1，2.∴X的分布列为10.某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10，15，25名学生代表进行调研. (1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率；(2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的期望值.解高一、高二年级分别有10，15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0，1，2.所以X的分布列为11.(多选题)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(

) A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时摸球的总次数ACD解析由超几何分布的定义可知B为超几何分布，其余不是超几何分布.A.2 B.4 C.6 D.8AD解得a＝2或a＝8.13.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的期望.解X的所有可能值为：0，10，20，50，60，故X的概率分布列为：14.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].(1)求图中x的值；解

由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，解得x＝0.018.(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列.解

分数在[80，90)，[90，100]的人数分别是50×0.018×10＝9(人)，50×0.006×10＝3(人)，所以ξ的可能取值为0，1，2，其服从参数为N＝12，M＝3，n＝2的超几何分布.所以随机变量ξ的分布列为备用工具&资料14.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].(1)求图中x的值；解

由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，解得x＝0.018.13.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.思维升华4.在含有5名男生的100名学生中，任选3人，则恰有2名男生的概率表达式为____________