高中数学选择性必修3课件：培优课 与二项式定理有关的重要题型(人教A版)

培优课与二项式定理有关的重要题型与二项式定理有关的问题包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是构造二项式，合理应用展开式.1.形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解. (2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. (3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑.2.形如(a＋b＋c)n的展开式问题

三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性.3.求解整除或余数问题的基本步骤 (1)合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数. (2)用二项式定理展开，保证展开后的大部分项是除数的倍数，进而可证明或判断被除数能否被除数整除，若不能整除，则可求出余数.类型一形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题A.－4 B.－3 C.3 D.4B(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝__________.－1解析(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.则10＋5a＝5，解得a＝－1.类型二形如(a＋b＋c)n的展开式问题【例3】

(1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(

) A.一 B.二

C.三 D.四类型三整除和余数问题A解析求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512021＋a能被13整除，则a＝__________.1(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512021＋a能被13整除，则a＝__________.11.9192被100除所得的余数为(

) A.1 B.81 C.－81 D.992尝试训练B前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8281，显然8281除以100所得余数为81.故9192被100除所得的余数为81.2.(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________.30解析法一

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，解析令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，140令5－2k＝1，得k＝2，令5－2k＝－1，得k＝3，(2)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝________.120(2)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝________.120备用工具&资料令5－2k＝－1，得k＝3，2.(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________.30解析法一

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，(2)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝________.1202.(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________.30解析法一

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，类型二形如(a＋b＋c)n的展开式问题【例3】

(1)今天是星期一，今天是第1