高中数学选择性必修3课件：8 3 2 独立性检验(人教A版)

8.3.2独立性检验了解随机变量χ2的意义，通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法.课标要求素养要求通过运用列联表进行独立性检验，提升数学抽象及数据分析素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.临界值2.独立性检验对于零假设H0：分类变量X和Y独立基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立

，可以认为X和Y独立.这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验(testofindependence).下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283.应用独立性检验解决实际问题的大致步骤(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较；(3)根据检验规则得出推断结论；(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律.点睛独立性检验类似于数学中的反证法，要确认“两个变量有关系”这一结论成立的可信度，首先假设结论不成立，在假设下，我们构造的统计量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2值很大，则在一定程度上说明假设不合理，再根据不合理的程度与临界值的关系作出判断.

1.思考辨析，判断正误 (1)χ2统计量也可以用来作相关性的度量，χ2越小说明变量之间越独立，χ2越大说明变量之间越相关.(

) (2)概率值α越小，临界值xα越大.(

) (3)独立性检验的思想类似于反证法.(

) (4)独立性检验的结论是有多大的把握认为两个分类变量有关系.(

)√√√√1.思考辨析，判断正误 (1)χ2统计量也可以用来作相关性的度量，χ2越小说明变量之间越独立，χ2越大说明变量之间越相关.(

) (2)概率值α越小，临界值xα越大.(

) (3)独立性检验的思想类似于反证法.(

) (4)独立性检验的结论是有多大的把握认为两个分类变量有关系.(

)√√√√2.如果根据小概率α＝0.01的χ2检测试验，认为H0成立，那么具体算出的数据满足(

)

附表：Aα0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828A.χ2＞6.635 B.χ2＞5.024C.χ2＞7.879 D.χ2＞3.8413.某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过(

) A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%

解析∵χ2＝7.069>6.635＝x0.01，∴认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%.B4.在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则________在犯错误的概率不超过0.005的前提下推断实验效果与教学措施有关(填“能”“不能”).班级成绩合计优、良、中差实验班48250对比班381250合计8614100能课堂互动题型剖析2题型一有关“相关的检验”【例1】某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？性别课外活动合计喜欢体育喜欢文娱男212344女62935合计275279解零假设为H0：喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系.∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，题型一有关“相关的检验”【例1】某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？性别课外活动合计喜欢体育喜欢文娱男212344女62935合计275279解零假设为H0：喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系.∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.005.思维升华【训练1】

打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患心脏病有关.下表是一次调查所得的数据：打鼾心脏病合计患病未患病每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合计5415791633根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系？解零假设为H0：每一晚都打鼾与患心脏病无关系.由列联表中的数据，得根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.【例2】为了探究学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科生对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科生对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人.试根据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？

解零假设为H0：选报文、理科与对外语的兴趣无关.

列出2×2列联表题型二有关“无关的检验”对外语兴趣选报文、理科合计理文有13873211无9852150合计236125361代入公式得∵1.871×10－4＜2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即选报文、理科与对外语的兴趣无关.独立性检验的关注点(1)步骤：列表，计算，判断；(2)注意：①χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心；②判断时把计算结果与临界值比较，其值越大，有关的可信度越高.思维升华【训练2】

某教育机构为了研究成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度的关系，随机抽取了392名成年人进行调查，所得数据如下表所示：学历对教育改革态度合计积极支持不太赞成大学专科以上39157196大学专科以下29167196合计68324392对于教育机构的研究项目，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，根据上述数据能得出什么结论？解零假设为H0：成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度无关.根据表中数据，计算得因为1.78<2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，所以我们没有理由说成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度有关.【例3】某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层随机抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间(单位：时)的样本数据. (1)应收集多少位女生的样本数据？题型三独立性检验的综合应用(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图)，其中样本数据的分组区间为[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.解由频率分布直方图得学生每周平均体育运动时间超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断是否能认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879解由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，可得每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：每周平均体育运动时间性别合计男生女生不超过4小时453075超过4小时16560225合计21090300零假设为H0：该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关.结合列联表可算得根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”，此推断犯错误的概率不大于0.05.思维升华【训练3】某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分成绩优秀的人数如下表所示，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀有关系？

物理优秀化学优秀总分优秀数学优秀228225267数学非优秀14315699注：该年级在此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人.解零假设为H0：数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀都无关系.列出数学成绩与物理成绩的2×2列联表如下：数学成绩物理成绩合计优秀非优秀优秀228132360非优秀143737880合计3718691240列出数学成绩与化学成绩的2×2列联表如下：数学成绩化学成绩合计优秀非优秀优秀225135360非优秀156724880合计3818591240列出数学成绩与总分成绩的2×2列联表如下：数学成绩总分合计优秀非优秀优秀26793360非优秀99781880合计3668741240根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀都有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.1.牢记3个知识点 (1)临界值的概念；(2)独立性检验；(3)应用独立性检验解决实际问题的步骤.2.掌握2种方法 (1)独立性检验的方法；(2)独立性检验的综合应用方法.3.注意1个易错点

当χ2≥xα时就推断“X与Y不独立”，这种推断犯错误的概率不超过α；当χ2<xα时，可认为“X与Y独立”.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.(多选题)下列说法正确的是(

) A.事件A与B独立，即两个事件互不影响 B.事件A与B关系越密切，则χ2就越大 C.χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据 D.若判定两事件A与B相关，则A发生B一定发生

解析

由事件的独立性知，A选项正确；由独立性检验的意义知，B选项正确；χ2的大小是判定事件A与B是否相关的一种方法，不是唯一依据，C选项不正确；若事件A与B相关，则A发生B可能发生，也可能不发生，D选项不正确.AB2.某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算得χ2＝6.023，则市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是(

) A.90% B.95% C.99% D.99.5%

解析由临界值表，得6.023＞3.841＝x0.05，所以可断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度为95%.B3.为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为(

) A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%

解析易知χ2＝7.01>6.635＝x0.01，对照临界值表知，有99%的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”.C4.在独立性检验中，两个分类变量“X与Y有关系”的可信度为99%，则随机变量χ2的取值范围是(

) A.[2.706，3.841) B.[3.841，6.635) C.[6.635，7.879) D.[7.879，10.828)

解析对照临界值表可知选C.C5.某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：C性别认为作业量合计大不大男生18927女生81523合计262450则推断“学生的性别与认为作业量大有关”犯错误的概率不超过(

)A.0.01 B.0.025 C.0.05 D.0.001二、填空题6.在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的是________(填序号). ①若χ2＝6.635，则我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%； ③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误.③解析χ2的观测值是支持确定有多大把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③.7.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女7205%解析因为χ2>3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性不超过5%.8.世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：年龄西班牙队合计不喜欢喜欢高于40岁pq50不高于40岁153550合计ab1005%α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828三、解答题9.研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；110名男生在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名.问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用等高堆积条形图和根据小概率值α＝0.025的独立性检验的方法判断.解建立性别与态度的2×2列联表如下：性别态度合计肯定否定男生2288110女生223860合计44126170零假设为H0：性别和态度没有关系.根据列联表中的数据得到根据小概率值α＝0.025的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别和态度有关系，此推断犯错误的概率不大于0.025.10.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：年龄“人文景观”景点合计喜欢不喜欢大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555(1)根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关？根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.(2)用分层随机抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6名市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率.解由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个，20岁至40岁的市民有2个，分别记为B1，B2，B3，B4，C1，C2，11.(多选题)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，ABXYY1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为(

)A.8 B.9 C.7 D.6根据a>5且15－a>5，a∈Z，15－a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意.12.对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：手术心脏病合计又发作过未发作过心脏搭桥39157196血管清障29167196合计68324392试根据上述数据计算χ2≈__________，能否根据小概率值α＝0.1的独立性检验作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论________(填“能”或“不能”).1.779不能χ2＜2.076＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，我们没有充分的证据推断H0不成立，即认为这两种手术对病人又发作心脏病的影响无差别.13.为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：性别休闲方式合计看电视看书男105060女101020合计206080(1)根据以上数据，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？解零假设为H0：在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别无关系.根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”，此推断犯错误的概率不超过0.01.(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.14.近年电子商务蓬勃发展，2021年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次. (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.对商品对快递合计满意不满意满意80

不满意

合计

200解

2×2列联表：对商品对快递合计满意不满意满意8060140不满意402060合计12080200零假设为H0：网购者对商品满意与对快递满意之间没有关系.由列联表得根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为“网购者对商品满意与对快递满意之间没有关系”.(2)为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见.求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.P(χ2≥xα)0.100.050.0250.010xα2.7063.8415.0246.635解

根据题意，抽取的10次交易中，对商品和快递都满意的交易有4次，记为A，B，C，D，其余6次不是都满意的交易记为1，2，3，4，5，6.那么抽取2次交易一共有45种可能：AB，AC，AD，A1，A2，A3，A4，A5，A6，BC，BD，B1，B2，……，56，其中2次交易对商品和快递不是都满意的有15种：12，13，……，56.备用工具&资料(2)为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见.求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.P(χ