第2节基本不等式-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第2节基本不等式高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.掌握基本不等式

(a,b>0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理(1)基本不等式成立的条件:

.

(2)等号成立的条件:当且仅当

时,等号成立.

(3)其中

称为正数a,b的算术平均数,

称为正数a,b的几何平均数.

也叫均值不等式

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

a>0,b>0a=b微点拨可借助平面图形中线段长度的关系直观表示基本不等式:2.基本不等式的变形及重要不等式(1)a2+b2≥

(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.

(2)a+b≥(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立.(3)ab≤()2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.当两个正数的积为定值时,用来求它们和的最小值

当两个实数的和为定值时,用来求它们积的最大值

2ab3.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0.(1)如果积xy等于定值P,那么当

时,和x+y有最小值

(简记:积定和最小).

(2)如果和x+y等于定值S,那么当

时,积xy有最大值

(简记:和定积最大).

微点拨应用基本不等式求最值时,要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条件,就有可能导致错误.x=yx=y常用结论

自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)×××√题组二回源教材5.(人教B版必修第一册2.2.4节例4改编)已知x∈(-1,3),则y=(1+x)(3-x)的最大值为

.

6.(人教A版必修第一册2.2节练习第5题改编)已知直角三角形的面积等于50cm2,当两条直角边的长度分别为

、

时,两条直角边的和最小,且最小值为

.

4解析

由基本不等式得y=(1+x)(3-x)≤()2=4,当且仅当1+x=3-x,即x=1时,等号成立,所以y的最大值为4.101020题组三连线高考7.(多选题)(2022·新高考Ⅱ,12)若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则(

)A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1BC8.(2021·天津,13)若a>0,b>0,则+b的最小值为

.

2研考点精准突破考点一利用基本不等式求最值(多考向探究预测)考向1直接运用基本不等式求最值例1(1)(2024·上海宝山检测)若实数x,y满足x+2y=1,则2x+4y的最小值为

.

1(3)(2024·河南洛阳模拟)已知x>0,y>0,且=4,则xy的最大值是

.

4考向2通过配凑利用基本不等式求最值例2(1)(2024·贵州贵阳模拟)若x>0,则x+的最小值为

.

3(2)(2024·山东潍坊检测)若正实数a,b满足2a+3b=1,则ab的最大值是

.

[对点训练1](1)(2024·陕西榆林模拟)若a>1,则

的最小值为

.

7(2)已知0<x<2,则

的最大值为

.

2考向3通过常数代换利用基本不等式求最值例3(2024·辽宁沈阳模拟)已知正实数x,y满足=1,则2x+y的最小值为(

)A.2 B.4

C.8

D.9C变式探究1(变结论)本例中,若条件不变,试求xy的最小值为

.

8变式探究2(变条件)本例中,若将条件改为“x+2y=4xy”,试求2x+y的最小值为

.

变式探究3(变结论)若本例条件不变,试求2xy-2x-y的最小值为

.

8考向4通过构建不等式利用基本不等式求最值例4(多选题)(2024·河南濮阳模拟)已知a,b为正实数,且ab+a+b=8,则下列说法正确的是(

)A.ab的最大值为4B.a+b的最小值为4C.2a+b的最小值为3ABD变式探究(变条件)本例中,若将条件改为“ab+2a+b=8”,(1)如何求ab的最值?(2)如何求2a+b的最值?考向5通过消元利用基本不等式求最值例5(2024·重庆南开中学检测)已知x>0,y>0,xy+2x-y=10,则x+y的最小值为(

)D[对点训练2](2024·天津南开模拟)已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则

的最大值为

.

考点二基本不等式与其他知识的综合应用例6(2024·山西太原联考)已知正项等比数列{an}满足a3-a1=2,则a4+a3的最小值是(

)A.4 B.9C.6 D.8D[对点训练3](2024·山东淄博模拟)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M,N在C上,若|MF2|+|NF2|=6,则|MF1||NF1|的最大值为(

)A.9 B.20C.25 D.30C解析

根据椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=8,|NF1|+|NF2|=8,因为|MF2|+|NF2|=6,所以8-|MF1|+8-|NF1|=6,即|MF1|+|NF1|=10≥2,当且仅当|MF1|=|NF1|=5时,等号成立,所以|MF1|·|NF1|≤25,则|MF1||NF1|的最大值为25,故选C.考点三基本不等式的实际应用例7(2024·湖南郴州联考)某社区计划在一块空地上种植花卉,已知这块空地是面积为1800平方米的矩形ABCD,为了方便居民观赏,在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道,则种植花卉区域的面积的最大值是(

)A.1208平方米 B.1448平方米C.1568平方米 D.1698平方米CS≤-240+1

808=1

568,即当|