人教A版普通高中数学一轮复习第10章第1节两个计数原理、排列与组合课件

第十章

计数原理、概率、随机变量及其分布第1节两个计数原理、排列与组合·考试要求·理解排列、组合的概念，掌握排列数公式及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．知识点一两个计数原理1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(

)A．16 B．13C．12 D．10必备知识落实“四基”C2．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同选法的种数为___．3．3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同的选法有__________种．64

解析：因为这3个班各有4种选法，由分步乘法计数原理，可得不同的选法有4×4×4＝64(种)．74．(教材改编题)如图，从A城到B城有3条路，从B城到D城有4条路，从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则从A城到D城共有________条不同的路线．32

解析：“从A城到D城”共有两类方法：(1)从A城经B城到D城，有3×4＝12(条)不同的路线；(2)从A城经C城到D城，有4×5＝20(条)不同的路线，所以共有12＋20＝32(条)不同的路线.

分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝______种不同的方法完成这件事共有N＝______种不同的方法m＋nm×n注意点：两个计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

×√×

√3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(

)A．36 B．120C．720 D．240C

解析：由于6人排两排，每排3人，则先排第一排，共有6×5×4＝120(种)排法，再排第二排，共有3×2×1＝6(种)排法．由分步乘法计数原理可知，共有120×6＝720(种)排法．√

1．排列与组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义作为一组2．排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数公式性质不同组合

1．(2024·日照模拟)某商店共有A，B，C三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是A品牌，乙买的不是C品牌，则这三人买水杯的不同情况共有(

)A．3种 B．7种C．12种 D．24种核心考点提升“四能”√两个计数原理C

解析：由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的不同情况共有2×2×3＝12(种)．2．据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具．算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示．如：10记为

，26记为

，71记为

．现有4根算筹，可表示出两位数的个数为(

)A．8 B．9C．10 D．12√C

解析：由题意知，共有4根算筹．当十位1根，个位3根时，共有2个两位数；当十位2根，个位2根时，共有4个两位数；当十位3根，个位1根时，共有2个两位数；当十位4根，个位0根时，共有2个两位数，所以一共有10个两位数．故选C.3．现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(

)A．120 B．140C．240 D．260√D

解析：先涂A处共有5种涂法，再涂B处共有4种涂法，再涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)．故选D.4．2023年杭州亚运会的吉祥物分别名叫“莲莲”“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种吉祥物各购买了两个(同名的两个吉祥物完全相同)，送给三位好朋友，每人两个，则每位好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有____________种.(用数字作答)6

解析：根据题意，设“莲莲”“琮琮”“宸宸”分别为A，B，C，则可得其组合形式为AB，AC，BC，故第一位好朋友有3种选择，第二位好朋友有2种选择，第三位好朋友只有1种选择，即每位好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案为3×2×1＝6(种)．反思感悟两个计数原理的应用(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成．(2)较复杂的问题可借助图表来完成．(3)对于涂色问题：①分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素．②注意对每个区域逐一进行分析，分步处理．【例1】(1)(2024·1月九省适应性测试)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同的排法共有(

)A．20种 B．16种C．12种 D．8种√排列与组合

(2)(2024·烟台模拟)书写汉字时，笔顺对书写的速度和字形的美观有非常关键的影响，为了满足课堂教学的需要，我们制定了一套现代汉语通用字的笔顺规范，但在进行书法创作时，笔顺则更加灵活多变，比如“必”字有五笔：左点、上点、右点、撇、卧钩，若要求第一笔不写卧钩，且最后一笔写右点，则“必”字不同的笔顺有(

)A．12种 B．18种C．24种 D．30种√

(3)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(

)A．15 B．30C．35 D．42√

反思感悟1．求解排列问题的四种方法2．两类组合问题的解题方法

√

分组分配问题

考向2部分均分问题【例3】第19届亚运会于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆(杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆)对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则每个馆恰有2人预约的不同方案有(

)A．76种 B．82种C．86种 D．90种√

反思感悟局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．

反思感悟不均分问题，实质上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘不同对象数的全排列数．简单地说，解不等分配题的一般原则：先分组后排列．1．(2024·菏泽模拟)数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为(

)A．240 B．480C．360 D．720√

[试题呈现]8名学生排成