2024年山东省济宁市兖州区中考数学二模试卷

2024年山东省济宁市兖州区中考数学二模试卷一、选择题：本大题共10道小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2 B．b＜1 C．﹣a＞b D．a＞b2．（3分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．4．（3分）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝118°，DE与地面平行，则∠ACB＝（）A．72° B．69° C．49° D．31°5．（3分）下列运算结果正确的是（）A．x3•x3＝x9 B．2x3+3x3＝5x6 C．（2x2）3＝6x6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x26．（3分）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数（）A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠17．（3分）如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）8．（3分）已知点A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y19．（3分）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次（阴影部分）的概率是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在反比例函数的图象上有P1，P2，P3…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为s1，s2，s3…，s2023，则s1+s2+s3+…+s2023的值为（）A．1 B．2024 C． D．二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，满分共15分，要求只写出最后结果。11．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）如图，在△ABC中，以点C为圆心，分别交AC，BC于点D，E，E为圆心，大于，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G，BC＝7，△BCG的面积为14．13．（3分）现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为．14．（3分）新定义：函数图象上任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数y＝2x+3（﹣2≤x≤1）．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜70°），与AB相交于点D，CA'与AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为．三、解答题：本大题共7道小题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤。16．（5分）先化简，再求值：，其中m满足m2+3m﹣5＝0．17．（8分）为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某校举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，对所有参赛学生的成绩（满分100分）（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．请根据统计图提供的信息，回答如下问题：（1）将直方图补充完整；（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，100，94，98，则这8个数据的中位数是，众数是；（3）若该校共有1200人，能否估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀的人数？（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的安全知识竞赛，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.18．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，连接BF．（1）求证：△EFD∽△FBC；（2）求tan∠AFB的值．19．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，，，连接CF并延长，交⊙O于点D，作BE⊥CD，垂足为E．（1）求证：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝4，求ED的长．20．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点的图象相交于点A，OB＝2，BC：CA＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，求点D的坐标．21．（8分）P为△ABC内一点，连接PA，PB，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在两个三角形相似【概念理解】（1）如图①，在△ABC中，∠A＝60°，P是△ABC的内相似点．直接写出∠BPC的度数．【深入思考】（2）如图②，P是△ABC内一点，连接PA，PC，∠BPC＝2∠BAC，使P是△ABC的内相似点，并给出证明．①∠APB＝∠APC；②∠PAC＝∠PBA；③AP2＝BP•CP．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（0，2），点B＝（﹣1，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，且线段PQ的长度随m的增大而增大．求m的取值范围.

2024年山东省济宁市兖州区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10道小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2 B．b＜1 C．﹣a＞b D．a＞b【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【解答】解：根据图形可以得到：﹣2＜a＜0＜5＜b＜2；所以：A、B、D都是错误的；故选：C．【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．2．（3分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱【分析】根据基本几何体的展开图判断即可．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，∴判断这个几何体是圆锥，故选：A．【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，∴原不等式组的解集为：﹣5≤x＜3，∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．4．（3分）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝118°，DE与地面平行，则∠ACB＝（）A．72° B．69° C．49° D．31°【分析】由平行线的性质推出∠D＝∠ABD＝49°，由三角形外角的性质求出∠DCE＝118°﹣49°＝69°，由对顶角的性质得到∠ACB＝∠DCE＝69°．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠D＝∠ABD＝49°，∵∠DEF＝118°，∴∠DCE＝118°﹣49°＝69°，∴∠ACB＝∠DCE＝69°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出∠D＝∠ABD＝49°，由三角形外角的性质求出∠DCE的度数．5．（3分）下列运算结果正确的是（）A．x3•x3＝x9 B．2x3+3x3＝5x6 C．（2x2）3＝6x6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2【分析】利用同底数幂乘法法则，合并同类项法则，积的乘方法则及平方差公式将各项计算后进行判断即可．【解答】解：A．x3•x3＝x5，则A不符合题意；B．2x3+5x3＝5x4，则B不符合题意；C．（2x2）2＝8x6，则C不符合题意；D．（3+3x）（2﹣2x）＝22﹣（2x）2＝4﹣6x2，则D符合题意；故选：D．【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．6．（3分）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数（）A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1【分析】解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．【解答】解：+1＝，两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，移项，合并同类项得：5x＝1﹣m，系数化为1得：x＝，∵原分式方程的解为非负数，∴≥0，且解得：m≤1且m≠﹣1，故选：A．【点评】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得x＝是解题的关键．7．（3分）如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）【分析】由平移的性质得A''（﹣2，3），点B'（0，0），再由旋转的性质得点A'与A''关于原点对称，即可得出结论．【解答】解：如图，由题意可知，点A（0，B（2，由平移的性质得：A''（﹣2，3），0），由旋转的性质得：点A'与A''关于原点对称，∴A′（5，﹣3），故选：A．【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转、坐标与图形的变化﹣平移，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键．8．（3分）已知点A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第二四象限，y随x增大而增大，∴y3＞y8＞0＞y1，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．9．（3分）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次（阴影部分）的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：∵总面积为5×6＝30，其中阴影部分面积为＝，∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，故选：A．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．10．（3分）如图，在反比例函数的图象上有P1，P2，P3…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为s1，s2，s3…，s2023，则s1+s2+s3+…+s2023的值为（）A．1 B．2024 C． D．【分析】根据横坐标依次为1，2，3，…，2024，可得纵坐标依次为，，，•••，，各阴影面积相加即可．【解答】解：∵P1，P2，P8…P2024的横坐标依次为1，2，7，…，2024，∴P1，P2，P8…P2024的纵坐标坐标依次为，，，•••，，∵图中每个小矩形的水平边长为1，纵向边长等于相邻两点的纵坐标之差，∴S7＝1×（1﹣）＝，S8＝1×（）＝，S3＝1×（）＝，••••••，S2023＝1×（），∴S1+S3+S3+•••S2023＝1﹣+++•••+＝．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，发现规律是解答本题的关键．二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，满分共15分，要求只写出最后结果。11．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是x≥﹣2．【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴6x+12≥2，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．12．（3分）如图，在△ABC中，以点C为圆心，分别交AC，BC于点D，E，E为圆心，大于，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G，BC＝7，△BCG的面积为1420．【分析】如图，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N．利用角平分线的性质定理证明GM＝GN，利用三角形面积公式求出GM，可得结论．【解答】解：如图，过点G作GM⊥AC于点M．由作图可知CG平分∠ACB，∵GM⊥AC，GN⊥BC，∴GM＝GN，∵S△BCG＝•BC•GN＝14，∴GN＝3，∴GN＝GM＝4，∴S△AGC＝•AC•GM＝，故答案为：20．【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．13．（3分）现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为18°．【分析】已知扇形底面半径是10cm，就可以知道展开图扇形的弧长是20πcm，根据弧长公式l＝nπr÷180得到．【解答】解：20π＝解得：n＝90°，∵扇形彩纸片是30%圆周，因而圆心角是108°∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°＝18°．剪去的扇形纸片的圆心角为18°．故答案为18°．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．14．（3分）新定义：函数图象上任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数y＝2x+3（﹣2≤x≤1）4．【分析】按照一次函数的取值求出当x最小及最大时的两个点，再分别求出y﹣x即可．【解答】解：∵一次函数y＝2x+3（﹣3≤x≤1），∴当x＝﹣2时，y＝﹣7，当x＝1时，y＝5，∵6＞1，∴该函数的“特征值”为4．故答案为：7．【点评】本题考查了一次函数的性质，准确的计算是解题关键．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜70°），与AB相交于点D，CA'与AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为15°或30°或60°．【分析】根据△A′DE是等腰三角形，进行分类讨论，画出相应情况的示意图即可解决问题．【解答】解：当点A′在AB下方时，由翻折可知，∠A′＝∠A＝40°，∠A′CD＝∠ACD＝α，∴∠DEA′＝∠A+∠ACA′＝40°+2α，∴∠A′DE＝180°﹣40°﹣（40°+2α）＝100°﹣6α．当A′D＝A′E时，∠A′DE＝∠DEA′，∴100﹣2α＝40°+2α，解得α＝15°．当DA′＝DE时，∠DA′E＝∠DEA′，∴40°＝40°+2α，解得α＝0°（舍去）．当ED＝EA′时，∠EA′D＝∠EDA′，∴40°＝100°﹣2α，解得α＝30°．当点A′在AB上方时，由旋转可知，∠CA′D＝∠A＝40°，∠A′CD＝∠ACD＝α，∴∠DA′E＝180°﹣40°＝140°，∠A′DE＝180°﹣7（140°﹣α）＝2α﹣100°，∴∠A′ED＝180°﹣140°﹣（2α﹣100°）＝140°﹣2α．当A′D＝A′E时，∠A′DE＝∠A′ED，∴2α﹣100°＝140°﹣2α，解得α＝60°．当DA′＝DE时，∠DA′E＝∠DEA′，∴140°＝140°﹣6α，∴α＝0°（舍去）．当ED＝EA′时，∠EDA′＝∠EA′D，∴2α﹣100°＝140°，解得α＝120°（舍去）．综上所述，∠α的度数为：15°或30°或60°．故答案为：15°或30°或60°．【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质及翻折变换（折叠问题），熟知图形旋转的性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．三、解答题：本大题共7道小题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤。16．（5分）先化简，再求值：，其中m满足m2+3m﹣5＝0．【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．【解答】解：＝＝＝3m（m+4）＝3（m2+7m），∵m满足m2+3m﹣2＝0，即m2+8m＝5，∴原式＝3×5＝15．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．（8分）为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某校举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，对所有参赛学生的成绩（满分100分）（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．请根据统计图提供的信息，回答如下问题：（1）将直方图补充完整；（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，100，94，98，则这8个数据的中位数是95，众数是94；（3）若该校共有1200人，能否估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀的人数？（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的安全知识竞赛，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.【分析】（1）求出参赛学生的总人数，即可解决问题（2）先将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；（3）利用该校共有学生人数乘以优秀人数所占的比例即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中2名女生参加知识竞赛的有6种结果，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）由题意可知，参赛学生的总人数为：4÷8%＝50（人），∴70≤a＜80的人数为：50﹣4﹣23﹣8＝15（人），将直方图补充完整如下：（2）∵90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，91，94，98，∴把90≤a≤100这组的具体成绩排序为：91，93，94，98，100，∴这8个数据的中位数是＝95，众数为94，故答案为：95，94；（3）由题意可知，1200×，答：估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀的人数为192人；（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽中2名女生参加知识竞赛的有3种结果，∴恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为＝．【点评】本题考查了树状图法求概率、众数、中位数以及扇形统计图和频数分布直方图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，连接BF．（1）求证：△EFD∽△FBC；（2）求tan∠AFB的值．【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，可得∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，由折叠可得∠BFE＝∠DAB＝90°，证明∠BFC＝∠FED，进而可得结论；（2）由折叠可得BF＝AB，根据勾股定理可得CF＝5，所以FD＝8，由折叠可得∠AFB＝∠FAB，由AB∥CD，可得∠AFD＝∠FAB，所以∠AFD＝∠AFB，进而可求tan∠AFB的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，由折叠可知：∠BFE＝∠DAB＝90°，∴∠EFD+∠BFC＝∠EFD+∠FED＝90°，∴∠BFC＝∠FED，∴△EFD∽△FBC；（2）解：由折叠可知：BF＝AB＝13，在Rt△BFC中，BC＝12，∴CF＝＝3，∴FD＝CD﹣CF＝13﹣5＝8，∴tan∠AFD＝＝＝，由折叠可知：∠AFB＝∠FAB，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠FAB，∴∠AFD＝∠AFB，∴tan∠AFB＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出∠AFD的正切是本题的关键．19．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，，，连接CF并延长，交⊙O于点D，作BE⊥CD，垂足为E．（1）求证：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝4，求ED的长．【分析】（1）分别证明∠ACB＝90°＝∠BED，∠CAB＝∠CDB，从而可得结论；（2）利用勾股定理求得AB＝10，tan∠ABC＝＝，可得BF＝6，证明tan∠ABC＝tan∠DBE＝＝，设DE＝x，则BE＝2x，BD＝x，证明△ACF∽△DBF，可得＝＝，可得DF＝2x，EF＝x＝DE，BD＝BF＝6，从而可得答案．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CD，∴∠ACB＝90°＝∠BED，∵∠CAB＝∠CDB，∴△DBE∽△ABC．（2）解：∵AC＝2，BC＝8，∴AB＝＝10＝，∵AF＝5，∴BF＝6，∵△DBE∽△ABC，∴∠ABC＝∠DBE，∴tan∠ABC＝tan∠DBE＝＝，设DE＝x，则BE＝2xx，∵∠AFC＝∠BFD，∠CAB＝∠CDB，∴△ACF∽△DBF，∴＝＝，∴＝，则DF＝2x，∴EF＝x＝DE，∴BD＝BF＝6，则x＝6，∴x＝，∴DE＝．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．20．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点的图象相交于点A，OB＝2，BC：CA＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，求点D的坐标．【分析】（1）根据正切函数的定义可得出OC长，过点A作AF⊥x轴于点F，则△ACF∽△BCO，由相似比可得出CF和AF的长，进而可得出点A的坐标，代入反比例函数可得出m的值，进而可得结论；（2）由（1）可得直线AB的解析式．设点D的横坐标为t，由此可表达点D，E的坐标，根据三角形的面积公式可表达△BDE的面积，根据二次函数的性质可得结论．【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F，∴AF∥y轴，∴△ACF∽△BCO，∴BC：AC＝OB：AF＝OC：CF＝1：2．∵OB＝6，tan∠OBC＝2，∴OC＝2，∴AF＝4，CF＝4，∴OF＝OC+CF＝6，∴A（4，2）．∵点A在反比例函数y＝（m≠0，∴m＝3×6＝12．∴反比例函数的表达式为：y＝（x＞0）．（2）由题意可知，B（4，∴直线AB的解析式为：y＝x﹣6．设点D的横坐标为t，则D（t，t﹣2），）．∴ED＝﹣t+3．∴△BDE的面积为：（t﹣7）（﹣t+8）＝﹣t8+t+5＝﹣（t﹣8）2+．∵﹣＜0，∴t＝2时，△BDE的面积的最大值为，﹣）．【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，得出△BDE与t函数关系式是解题的关键．21．（8分）P为△ABC内一点，连接PA，PB，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在两个三角形相似【概念理解】（1）如图①，在△ABC中，∠A＝60°，P是△ABC的内相似点．直接写出∠BPC的度数．【深入思考】（2）如图②，P是△ABC内一点，连接PA，PC，∠BPC＝2∠BAC，使P是△ABC的内相似点，并给出证明．①∠APB＝∠APC；②∠PAC＝∠PBA；③AP2＝BP•CP．【分析】（1）分情况讨论：△PAB∽△PBC，△PAC∽△PCB，△PAB∽△PCA，利用三角形内角和定理及相似三角形的性质即可解答；（2）利用三角形内角和定理及相似三角形的性质即可解答．【解答】解：（1）∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝40°，∴∠BAP+∠PAC＝∠BAC＝60°，∠ABP+∠PBC＝∠ABC＝80°，△PAB∽△PBC，则∠PAB＝∠PBC，∠APB＝∠BPC，∴∠PAB+∠PBC+∠PBA+∠PCB＝2（∠PBC+∠PBA）＝2∠ABC＝160°，∴∠BPC＝∠APB＝；△PAC∽△PCB，则∠PAC＝∠PCB，∠APC＝∠BPC，∴∠PAC+∠PCB+∠PCA+∠PBC＝2（∠PCA+∠PCB）＝2∠ACB＝80°，∴∠BPC＝∠APC＝；△PAB∽△PCA，则∠PAB＝∠PCA，∠APB＝∠APC，∴∠PAB+∠PCA+∠PBA+∠PAC＝2（∠PAB+∠PAC）＝2∠BAC＝120°，∴∠APC+∠APB＝360°﹣120°＝240°，∴∠BPC＝360°﹣（∠APC+∠APB）＝120°，综上所述，∠BPC的度数为100°或140°或120°．（2）选①∠APB＝∠APC，证明如下：如图，延长AP得到射线AD，∵∠AP