高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)7.1复数的概念(原卷版+解析)

7.1复数的概念【知识点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位数叫做虚数单位，它的平方等于，即。知识点诠释：①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。2.复数的概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。知识点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数（）若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。分类如下：（）用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）5．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。通常记复数的共轭复数为。知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：如果，那么特别地：.知识点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.知识点三：复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.知识点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义。3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量这是复数的另一种几何意义。4.复数的模设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.即.知识点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。【典型例题】类型一、复数的基本概念 例1．(2023·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（）A． B． C． D．例2．（2023·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（）A． B． C． D．例3．（2023·河北·高三阶段练习）复数满足，则的虚部为（）A． B． C． D．例4．（2023·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数（i是虚数单位）（1）复数z是实数，求实数m的值；（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.例5．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例6．（2023·全国·高一课时练习）写出复数4，－π，2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.类型二、复数相等例7．（2023·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？例8．（2023·全国·高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值：（1）；（2）．例9．（2023·上海市宝山中学高二期中）已知复数，若，则___________.例10．（2023·山东·泰安一中模拟预测）设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.类型三、复数的几何意义例11．(2023·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（）A． B． C． D．例12．（2023·贵州贵阳·高三阶段练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（）A． B． C． D．例13．（2023·广西·模拟预测（文））若，则复数在复平面内对应的点在（）A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上例14．(2023·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（）A． B． C． D．例15．(2023·河北·高三阶段练习）在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（）A． B． C． D．例16．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．类型四、复数的模例17．(2023·河南洛阳·一模（理））已知复数，则（）A．4 B．3 C．2 D．1例18．（2023·湖北武汉·高三阶段练习）复数z的虚部为，模为2，复数z对应的点位于复平面第二象限，则复数对应的点位于复平面内（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限例19．（2023·全国·高一课时练习）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．类型五、复数的轨迹与最值问题例20．（2023·全国·高一课时练习）设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的集合．例21．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）若复数满足，则的最大值是______.例22．（2023·重庆市实验中学高三阶段练习）设复数满足，则=__________.

【同步练习】一、单选题1．（2023·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（）A．0 B．1 C． D．22．（2023·河南·模拟预测（文））已知、，，则（）A． B． C． D．3．（2023·上海市徐汇中学高二期末）下列命题中，正确的是（）A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小C．设，如果，那么 D．设，如果，那么4．（2023·河南·高三开学考试（文））设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．5．（2023·浙江·高三开学考试）复数的虚部是（）A．i B． C．1 D．-16．（2023·云南·高三期中（文））已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2023·新疆昌吉·模拟预测（文））若复数是纯虚数（为虚数单位，），则（）A．2 B．4 C． D．8．(2023·浙江·高三专题练习）已知复数，，并且，则的取值范围是（）.A． B．C． D．二、多选题9．（2023·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（）A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则C．若复数是纯虚数，则D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则10．（2023·广东白云·高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限B．当时，为纯虚数C．最大值为D．的共轭复数为11．（2023·全国·高一期中）下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若，则当且仅当时，C．若，且，则D．若复数z满足，则的最大值为312．（2023·江苏·南京市第二十九中学高二期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（）A． B．C．是该方程的根 D．是该方程的根三、双空题13．（2023·浙江台州·模拟预测）已知是复数，是虚数单位，且，，则________，复数在复平面内对应的点位于第________象限．四、填空题14．（2023·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．15．（2023·福建福州·高三期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则______.16．(2023·上海·高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________五、解答题17．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．18．（2023·广东高州·高一期末）已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．（1）若，求，；（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．19．（2023·安徽·合肥一六八中学高一期中）如图，已知复平面内平行四边形中，点A对应的复数为，对应的复数为对应的复数z，且（1）求D点对应的复数；（2）求平行四边形的面积.20．（2023·重庆·高二期末）已知复数满足，的实部与虚部的积为.（1）求；（2）设，，求的值.从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）21．（2023·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．22．（2023·上海市实验学校高一期末）已知复数（其中、），存在实数，使成立．（1）求证：；（2）求的取值范围．7.1复数的概念【知识点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位数叫做虚数单位，它的平方等于，即。知识点诠释：①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。2.复数的概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。知识点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数（）若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。分类如下：（）用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）5．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。通常记复数的共轭复数为。知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：如果，那么特别地：.知识点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.知识点三：复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.知识点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义。3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量这是复数的另一种几何意义。4.复数的模设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.即.知识点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。【典型例题】类型一、复数的基本概念 例1．(2023·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（）A． B． C． D．答案：C【详解】由题意，，，，所以．故选：C．例2．（2023·全国·高一课时练习）设集合，，，则，，间的关系为（）A． B． C． D．答案：B【详解】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．因此只有B正确．故选：B．例3．（2023·河北·高三阶段练习）复数满足，则的虚部为（）A． B． C． D．答案：D【详解】解：根据题意，设，（，为虚数单位），则，所以，所以，即所以，其虚部为.故选：D例4．（2023·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数（i是虚数单位）（1）复数z是实数，求实数m的值；（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.【解析】（1）复数z是实数，则，解得或；（2）复数z是虚数，则，解得且且；（3）复数是纯虚数，则，解得.例5．（2023·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【解析】（1）若复数为实数，则，可得，所以当时，复数表示实数.（2）若复数为虚数，则，可得且，所以当且时，复数表示虚数.（3）若复数为纯虚数，则，解得：．所以当时，复数为纯虚数.例6．（2023·全国·高一课时练习）写出复数4，－π，2－3i，0，，，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.【详解】4，－π，2－3i，0，，，6i的实部分别是4，－π，2，0，，－2，0；虚部分别是0，0，－3，0，，，6.4，－π，0是实数；2－3i，，，6i是虚数，其中6i是纯虚数.类型二、复数相等例7．（2023·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？【详解】根据题意可知，实部等于2，虚部等于0，即，解方程得，，，所以或或或.故答案为：或或或.例8．（2023·全国·高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值：（1）；（2）．【解析】（1）由题意，解得．（2）由题意，解得．例9．（2023·上海市宝山中学高二期中）已知复数，若，则___________.答案：【详解】解：因为所以，解得所以故答案为：例10．（2023·山东·泰安一中模拟预测）设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.答案：【详解】设，由，可得，解得，又是纯虚数，设且，则，则，解得，所以或.故答案为：类型三、复数的几何意义例11．(2023·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（）A． B． C． D．答案：B【详解】不妨设复数，则有：则有：故有：解得：故选：B例12．（2023·贵州贵阳·高三阶段练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（）A． B． C． D．答案：C【详解】由题意知，复平面内点A和点B的坐标分别为，，设点C的坐标为

所以，根据得，计算得

所以点C对应的复数为，其共轭复数为，选项C正确.故选：C.例13．（2023·广西·模拟预测（文））若，则复数在复平面内对应的点在（）A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上答案：D【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，显然点在直线上.故选:D例14．(2023·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（）A． B． C． D．答案：B【详解】解：设，则，，依题意得，解得，∴，.故选：B.例15．(2023·河北·高三阶段练习）在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（）A． B． C． D．答案：CD【详解】因为复数在第二象限，所以故选：CD.例16．(2023·江西上饶·高二期末（文））已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．【解析】（1）因为为纯虚数,所以解得或，且且综上可得,当为纯虚数时;（2）因为在复平面内对应的点位于第三象限,解得或，且即,故的取值范围为.类型四、复数的模例17．(2023·河南洛阳·一模（理））已知复数，则（）A．4 B．3 C．2 D．1答案：D【详解】由题意，.故选：D.例18．（2023·湖北武汉·高三阶段练习）复数z的虚部为，模为2，复数z对应的点位于复平面第二象限，则复数对应的点位于复平面内（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限答案：B【详解】由题可设，则，解得，因为z对应的点位于复平面第二象限，所以，则，所以复数对应的点位于复平面内的第三象限.

故选：B.例19．（2023·全国·高一课时练习）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．答案：【详解】设，则﹒故答案为：类型五、复数的轨迹与最值问题例20．（2023·全国·高一课时练习）设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点的集合．【详解】解因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R，由||z|－1|＝1－|z|，得1－|z|≥0，即|z|≤1，所以A＝{z||z|≤1，z∈C}．又因为B＝{z||z|<1，z∈C}，所以∁UB＝{z||z|≥1，z∈C}．因为z∈A∩(∁UB)等价于z∈A且z∈∁UB，所以成立，则有|z|＝1，由复数模的几何意义可知，复数z在复平面内对应的点的集合是以原点O为圆心、1为半径的圆．例21．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）若复数满足，则的最大值是______.答案：3【详解】设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，则最大值为，故答案为：3例22．（2023·重庆市实验中学高三阶段练习）设复数满足，则=__________.答案：0【详解】设复数，由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，又由，解得，所以.故答案为：.【同步练习】一、单选题1．（2023·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（）A．0 B．1 C． D．2答案：C【解析】分析：根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可；【详解】解：是纯虚数，则，解得，故选：C.2．（2023·河南·模拟预测（文））已知、，，则（）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：利用复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.【详解】因为，所以，解得，故.故选：A.3．（2023·上海市徐汇中学高二期末）下列命题中，正确的是（）A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小C．设，如果，那么 D．设，如果，那么答案：C【解析】分析：利用复数的概念与性质判断选项的正误，即可得到结果．【详解】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；因为，且，所以是实数，故，所以C正确；因为，若，则，但是此时与不能比较大小，所以D错误.故选:C.4．（2023·河南·高三开学考试（文））设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：设,结合，根据复数相等的条件列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】设，则，因为，可得，即，所以，解得，所以，所以的虚部为.故选：C.5．（2023·浙江·高三开学考试）复数的虚部是（）A．i B． C．1 D．-1答案：C【解析】分析：利用复数的的性质进行运算求解即可【详解】，所以虚部为1故答案选：C6．（2023·云南·高三期中（文））已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D【解析】分析：根据复数的模化简求出，即可判断对应的点所在象限.【详解】，，，对应点在第四象限，故选：D7．（2023·新疆昌吉·模拟预测（文））若复数是纯虚数（为虚数单位，），则（）A．2 B．4 C． D．答案：C【解析】分析：利用纯虚数的概念可得，再利用复数的模的概念即得.【详解】因为复数是纯虚数，所以，∴.故选：C.8．(2023·浙江·高三专题练习）已知复数，，并且，则的取值范围是（）.A． B．C． D．答案：A【解析】分析：根据复数相等的充要条件消去可将用表示，根据三角函数的有界性结合二次函数的单调性即可得出结果.【详解】∵，∴，化为，∴，∵，∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7，∴，∴的取值范围是，故选：A.二、多选题9．（2023·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（）A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则C．若复数是纯虚数，则D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则答案：AC【解析】分析：由，得，然后逐个分析判断即可【详解】由，得，对于A，当时，，，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，对于B，若复数在复平面上对应的点位于直线上，则，解得，所以B错误，对于C，若复数是纯虚数，则且，解得，所以C正确，对于D，由，得，则，由，得，，得或，所以D错误，故选：AC10．（2023·广东白云·高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限B．当时，为纯虚数C．最大值为D．的共轭复数为答案：BC【解析】分析：利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.【详解】对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；对于C，，最大值为，故C正确；对于D，的共轭复数为，故D错误.故选：BC.11．（2023·全国·高一期中）下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若，则当且仅当时，C．若，且，则D．若复数z满足，则的最大值为3答案：BD【解析】分析：通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可.【详解】解：对于A选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；对于B选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；对于C选项，当，满足，但，所以C不正确；对于D选项，复数z满足，则复数z在复平面内的轨迹为单位圆，则的几何意义，是单位圆上的点到的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD.12．（2023·江苏·南京市第二十九中学高二期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（）A． B．C．是该方程的根 D．是该方程的根答案：ABD【解析】分析：根据每个选项的描述进行判断，即可得出结果.【详解】解：对于A选项，由于是方程的根，则，而，故，选项A正确；对于B选项，由虚根成对定理可知，也是方程的根，故，选项B正确；对于C，且，故不是该方程的根，选项C错误；对于D，，而，代入方程得，，是该方程的根，即是该方程的根，选项D正确.故选：ABD.三、双空题13．（2023·浙江台州·模拟预测）已知是复数，是虚数单位，且，，则________，复数在复平面内对应的点位于第________象限．答案：二【解析】分析：利用共轭复数的定义求出，然后根据复数相等求出参数的值，即得复数，，进而可得及复数在复平面内对应的点所在的象限．【详解】因为，所以，所以，所以，解得，所以，，所以，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．故答案为：；二．【点睛】本题主要考查共轭复数的定义、复数相等、复数的模、复数的几何意义、复数的运算等，考查考生的运算求解能力．四、填空题14．（2023·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．答案：或6【解析】分析：根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为，，若点在虚轴上，则，解得或．故答案为：或6.15．（2023·福建福州·高三期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则______.答案：【解析】分析：结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．【详解】解：在复平面内对应的点为，所以，且与轴正方向的夹角为，将其逆时针旋转后落在第三象限，且与轴负半轴的夹角为，所以对应的点为，所以．故答案为：．16．(2023·上海·高三专题练习）已知