人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题09全等三角形中的动点问题(原卷版+解析)

专题09全等三角形中的动点问题【解题技巧】全等三角形中的动点问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题。策略：①明晰点的运动方向和运动速度；②根据已知和求证的目标，寻求线段或角之间的数量关系，进而解决问题。【例】1．（2023·福建龙岩·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=24cm，BC=16cm，AD=BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP全等时，v=（

）A．3 B．4 C．2或4 D．2或3【跟踪训练】（2023·四川·博睿特外国语学校八年级期中）如图，在长方形中，，，，点是中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．设点的运动时间为秒，点的速度为．(1)当时，为何值时，？此时是什么形状的三角形？(2)当为何值时，以点，B，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？【变式训练】变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（

）A．4 B．6 C．8 D．10变式2．（2023·河北保定·八年级期中）如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒）．直线l经过点C，且，过点P、Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F，当与全等时，t的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．6变式3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为（

）A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2变式4．（2023·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期中）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（

）A．1或3 B．1或 C．1或或 D．1或或5变式5．（2023·广西北海·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16厘米，BC＝12厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段AC上由C点向A点运动．(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点P不同，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CPQ全等？变式6．（2023·四川省南充市白塔中学八年级期中）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以acm/s的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为t（s）．(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？变式7．(2023·全国·八年级）如图1，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC．（1）求证：ABDE；（2）如图2，过点C作PQ交AB于P，交DE于Q，求证：CP＝CQ．（3）如图3，若AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．连接PQ，当线段PQ经过点C时，直接写出t的值为．变式8．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，cm，，cm，点从点出发，沿线段以cm/s的速度连续做往返运动，点从点出发沿线段以cm/s的速度运动至点，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）（1）分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）（2）当时，求的值；（3）当时，直接写出所有满足条件的值．专题09全等三角形中的动点问题【解题技巧】全等三角形中的动点问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题。策略：①明晰点的运动方向和运动速度；②根据已知和求证的目标，寻求线段或角之间的数量关系，进而解决问题。【例】1．（2023·福建龙岩·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=24cm，BC=16cm，AD=BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP全等时，v=（

）A．3 B．4 C．2或4 D．2或3答案：D【解析】分析：分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12cm，BP=CQ，得出，解出即可．【详解】解：∵△ABC中，AB=AC=24cm，AD=BD，∴BD=12cm，∠B=∠C，情况一：若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，∵点P的运动速度为2cm/s，∴点P的运动时间为：8÷2=4（s），∴v=CQ÷4=12÷4=3cm/s；情况二：②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12厘米，BP=CQ，得出，解得：解出即可．因此v的值为：2或3，故选：D．【点睛】此题考查了全等三角形的性质．分类讨论是解题的关键．【跟踪训练】（2023·四川·博睿特外国语学校八年级期中）如图，在长方形中，，，，点是中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．设点的运动时间为秒，点的速度为．(1)当时，为何值时，？此时是什么形状的三角形？(2)当为何值时，以点，B，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？答案：(1)见解析．(2)，或，．【解析】分析：（1）由可得出从而可求出t，由已知条件还可得出．得即可得出是等腰直角三角形．（2）以点，B，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等存在两种情况，和，结合已知条件，即可得出结论．(1)∵∴，．又∵，∴．∵∴．又∴此时是等腰直角三角形．(2)①当时，，，，，；②当时，，，则为的中点，∴，∴，．综上所述：当，或，时，以点为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键．【变式训练】变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（

）A．4 B．6 C．8 D．10答案：A【解析】分析：由题意得，，如图，当△CAP全等于△PBQ时，得到，根据速度为1米/分钟即可求解．【详解】由题意得，如图，当△CAP全等于△PBQ时，AC＝4mmP点从B向A运动，每分钟走1m故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是准确的用t表示出BP的长度．变式2．（2023·河北保定·八年级期中）如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒）．直线l经过点C，且，过点P、Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F，当与全等时，t的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．6答案：A【解析】分析：根据题意可分类讨论①当P在AC，Q在BC上时、②当P在AC，Q在AC上时和③当P在BC，Q在AC上时，根据三角形全等的性质可列出关于t的等式，解出t，即可得出答案．【详解】分类讨论，①当P在AC，Q在BC上时，由题意可知，．∵，与全等，∴，即，解得：；②当P在AC，Q在AC上时，由与全等，可知此时P、Q重合，∴3t+2t=8+6解得：．③当P在BC，Q在AC上时，此时，，且．同理可得，即，解得：(舍)．综上可知t的值为2或．故选A．【点睛】本题考查三角形全等的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．变式3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为（

）A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2答案：D【解析】分析：根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.【详解】解：当，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP，∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，∴BE=CP=6厘米，∴BP=10-6=4厘米，∴运动时间t=4÷2=2（秒）；当，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B=∠C=90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．∴点P，Q运动的时间t=（秒）.综上t的值为2.5或2.故选：D．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．变式4．（2023·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期中）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（

）A．1或3 B．1或 C．1或或 D．1或或5答案：C【解析】分析：分三种情况讨论，由全等三角形的性质，列出方程，即可求解．【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5−2t＝6−3t，∴t＝1，当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5−2t＝3t−6，∴t＝，当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴2t−5＝18−3t，∴t＝，综上所述：t的值为1或或．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和用分类讨论的思想解决问题是本题的关键．变式5．（2023·广西北海·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16厘米，BC＝12厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段AC上由C点向A点运动．(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点P不同，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CPQ全等？答案：(1)经过2秒后，△BPD与△CQP全等，理由见解析；(2)当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等【解析】分析：（1）求出BD和CP，根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据全等可得BP＝CP，求出时间t，再根据CQ＝BD求出Q的速度即可．(1)解：若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPD与△CQP全等，理由：∵AB＝AC＝16厘米，点D为AB的中点，∴BD＝8厘米，∠B＝∠C，根据题意得：经过2秒时，BP＝CQ＝4厘米，所以CP＝12厘米﹣4厘米＝8厘米，即CP＝BD＝8厘米，在△DBP和△PCQ中，，∴△DBP≌△PCQ（SAS），∴若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPD与△CQP全等；(2)设当点Q的运动速度为a厘米/秒，时间是t秒，能够使△BPD与△CQP全等，∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP和CQ不是对应边，∴BD＝CQ，BP＝CP，即2t＝12﹣2t，解得：t＝3，∵BD＝CQ，∴8＝3a，解得：a＝；即当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等．【点睛】本题主要考查了对全等三角形的判定和性质的应用，找准对应边是解题的关键．变式6．（2023·四川省南充市白塔中学八年级期中）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以acm/s的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为t（s）．(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？答案：(1)当或时，能够使△BPD和△CQP全等；(2)出发2.5或10秒后，△BDP为直角三角形【解析】分析：（1）分当△BPD≌△CQP，即BP=CQ时，当△BPD≌△CPQ，即BP=CP，BD=CQ时，两种情况讨论求解即可；（2）分当∠BPD=90°时，当∠BDP=90°时，两种情况讨论求解即可．(1)解：由题意得，则，∵AB=AC，∴∠B=∠C，当△BPD≌△CQP，即BP=CQ时，∴，∴；当△BPD≌△CPQ，即BP=CP，BD=CQ时，∵D是AB的中点，∴BD=10cm，∴，∴，综上所述，当或时，能够使△BPD和△CQP全等；(2)解：如图1所示，当∠BPD=90°时，∵∠B=60°，∴∠BDP=30°，∴BD=2BP，∴，∴；如图2所示，当∠BDP=90°时，同理可得∠BPD=30°，∴BP=2BD，∴，∴，∴出发2.5或10秒后，△BDP为直角三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．变式7．(2023·全国·八年级）如图1，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC．（1）求证：ABDE；（2）如图2，过点C作PQ交AB于P，交DE于Q，求证：CP＝CQ．（3）如图3，若AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．连接PQ，当线段PQ经过点C时，直接写出t的值为．答案：（1）见详解；（2）见详解；（3）1或2【解析】分析：（1）由“SAS”可证△ABC≌△EDC，可得∠A＝∠E，可证AB∥DE；（2）由“ASA”可证△DCQ≌△BCP，可得CP＝CQ；（3）由全等三角形的性质可得DQ＝BP，列出方程可求解．【详解】解：（