高考数学微专题集专题8：极值点偏移问题(1)(原卷版+解析)

专题8：极值点偏移问题(1)专题8：极值点偏移问题专题阐述：极值点偏移问题大体可分为加法型、减法型、乘积型、平方型及商型5个类型，考查学生化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，是历年高考中题的一个难点.[规律方法]处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.由此，其它类型可模仿上面步骤进行变形及构造.例1．设函数．（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．答案：（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）定义域为，，当时，，即在上单调递增，不合题意，；令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；存在，使得成立，则，即，又，，即，令，则，在上单调递增，又，，即实数的取值范围为.（2）当时，，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，由且知：；令，，则，在上单调递增，，即；，又，；，，又且在上单调递减，，即.例2．2．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，，是的两个零点．证明：（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】（1）函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递增．当时，令，所以在上，，，单调递增，在上，，，单调递减，综上，当时，在上单调递增．当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：（ⅰ）由（1）可知，要使由函数有两个零点，需，且，则，又，故，，则，令，则，∴在上单减，∴，又，∴，又，∴，即；（ⅱ）要证，由（1）可知，只需证，即证，又，∴只需证，即证，令，则，∵，∴，所以上述不等式等价于，即，亦即，令，则，∴在上单调递减，即，即得证．例3．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点工，，证明：．【解析】（1），，当时，，在上递减；当时，，令，解得：，令，解得：，故在上递减，在上递增；综上：当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增；（2）证明：若函数有两个零点，，则①，②，得：，故，得：，故，要证，即证e，即证，，，即证，即证，，令，则，，，则，故在单调递减，又，故，故，故．例4．已知函数．（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，，且，证明：．【解答】证明：（1），（1），又（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，即，当时，，故直线过定点，；（2），是的两个零点，且，，可得，，令，，构造函数，，令，则，则在上单调递增，而（2），，则在上单调递增，（2），可得，则，即，则．例5．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）已知，，为函数的两个极值点，求的最大值．【解答】解：（1）当时，，，，令，可得或，令，可得，所以在，上单调递增，在，上单调递减．（2），因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个根，所以，，可得，因为，所以为增函数，为增函数且大于0，为增函数且大于0，所以为增函数，所以，令，则，令，，所以在，上单调递减，所以的最大值为（3）．【点睛】本题难点在第2问，通过对极值点的确认，得，构造函数，换元，将问题转化为求函数的最值问题.【针对训练】1．已知函数(且)．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点、()，且，证明：．2．已知函数．(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．3．已知,函数其中（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，(i)求的取值范围；(ii)设的两个零点分别为x1,x2，证明：x1x2>e2．4．已知，，（其中e为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）若，函数有两个零点，，求证：.5．设()，，（1）求的单调区间：（2）已知函数有两个零点，，且，（i）求的取值范围；（ii）证明：随着的减小而增大.专题8：极值点偏移问题(1)专题8：极值点偏移问题专题阐述：极值点偏移问题大体可分为加法型、减法型、乘积型、平方型及商型5个类型，考查学生化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，是历年高考中题的一个难点.[规律方法]处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.由此，其它类型可模仿上面步骤进行变形及构造.例1．设函数．（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．答案：（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）定义域为，，当时，，即在上单调递增，不合题意，；令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；存在，使得成立，则，即，又，，即，令，则，在上单调递增，又，，即实数的取值范围为.（2）当时，，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，由且知：；令，，则，在上单调递增，，即；，又，；，，又且在上单调递减，，即.例2．2．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，，是的两个零点．证明：（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】（1）函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递增．当时，令，所以在上，，，单调递增，在上，，，单调递减，综上，当时，在上单调递增．当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：（ⅰ）由（1）可知，要使由函数有两个零点，需，且，则，又，故，，则，令，则，∴在上单减，∴，又，∴，又，∴，即；（ⅱ）要证，由（1）可知，只需证，即证，又，∴只需证，即证，令，则，∵，∴，所以上述不等式等价于，即，亦即，令，则，∴在上单调递减，即，即得证．例3．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点工，，证明：．【解析】（1），，当时，，在上递减；当时，，令，解得：，令，解得：，故在上递减，在上递增；综上：当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增；（2）证明：若函数有两个零点，，则①，②，得：，故，得：，故，要证，即证e，即证，，，即证，即证，，令，则，，，则，故在单调递减，又，故，故，故．例4．已知函数．（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，，且，证明：．【解答】证明：（1），（1），又（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，即，当时，，故直线过定点，；（2），是的两个零点，且，，可得，，令，，构造函数，，令，则，则在上单调递增，而（2），，则在上单调递增，（2），可得，则，即，则．例5．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）已知，，为函数的两个极值点，求的最大值．【解答】解：（1）当时，，，，令，可得或，令，可得，所以在，上单调递增，在，上单调递减．（2），因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个根，所以，，可得，因为，所以为增函数，为增函数且大于0，为增函数且大于0，所以为增函数，所以，令，则，令，，所以在，上单调递减，所以的最大值为（3）．【点睛】本题难点在第2问，通过对极值点的确认，得，构造函数，换元，将问题转化为求函数的最值问题.【针对训练】1．已知函数(且)．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点、()，且，证明：．2．已知函数．(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．3．已知,函数其中（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，(i)求的取值范围；(ii)设的两个零点分别为x1,x2，证明：x1x2>e2．4．已知，，（其中e为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）若，函数有两个零点，，求证：.5．设()，，（1）求的单调区间：（2）已知函数有两个零点，，且，（i）求的取值范围；（ii）证明：随着的减小而增大.参考答案：1．（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析．分析：（1）函数，求导得到，然后分和两种情况讨论求解.（2）由（1）知，时，，根据函数有两个零点，则，解得，由，则，，再由及，可得，即，然后将证，转化为证，由在上单调递减，且，进而转化为证明即可.【详解】（1）的定义域为，，当时，恒成立，则在上单调递减，当时，令，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增；（2）由（1）知，，，依题意可知，解得，由得：()，设，，由及，得，即，欲证，只要，注意到在上单调递减，且，只要证明即可，由，得，∴，，，，令，，则，则在上是递增的，于是，即，综上．【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及极值点偏移问题，还考查了分类讨论思想，转化化归思想和运算求解的能力，属于难题.2．(1)(2)证明见解析分析：（1）由题意可知在上恒成立，分离参数，设，根据导数求得的最大值，进而可得的取值范围；（2）二次求导可得在和有个极值点，，再根据导数值的正负情况可得，，再利用不等性质即可得证.(1)，在递减，在上恒成立，在上恒成立，令，，时，，递增，时，，递减，，；(2)由题意得，，，，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，又，，，故分别在和有零点，，（不妨设，时，，递减，时，，递增，时，，递减，故在和有个极值点，，而，，，，，，，，，故原命题成立．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3．（1）见解析（2）(i)；(ii)见解析分析：（1）求导后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到单调区间；（2）(i)将问题转化为与函数的图象在上有两个不同交点，通过求解相切时的临界值，得到的取值范围；(ii)将问题转化为证明成立，通过构造函数，证得，从而证得结论.【详解】（1）函数的定义域为，①当时，，在单调递增；②当时，由得，则当时，，在单调递增；当时，，在单调递减（2）(i)函数有两个零点即方程在有两个不同根转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点如图：可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只需设切点，所以又，所以，解得于是，所以(ii)原不等式不妨设

，令，则，于是设函数，求导得：故函数是上的增函数

即不等式成立，故所证不等式成立【点睛】本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、根据零点个数求解参数范围和与零点有关的不等式证明问题.解决不等式证明问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为恒成立的问题，从而通过求解最值证得结果.4．（1）答案见解析；（2）证明见解析.分析：（1）求导函数，讨论参数的取值范围即可求解单调区间；（2）解法一：先证：，即证：，令函数，通过求导判断单调性可证明，从而得；解法二：由，令利用导数判断单调性，再构造，求导分析单调性即可证明，从而有．【详解】（1）解：∵，∴时，，∴时，增区间为：，减区间为：；时，，∴时，增区间为：；时，，，∴时，增区间为：，减区间为：；（2）解法一：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：；且时，，，函数的大致图像如下图所示因为时，函数有两个零点，，所以，即，不妨设，则；先证：，即证：因为，所以，又在单调递增，所以即证：又，所以即证：，令函数，，则因为，所以，，故函数在单调递增，所以因为，所以，，即所以．（2）解法二：因为时，函数有两个零点，，则两个零点必为正实数，（）等价于有两个正实数解；令（）则（），在单调递增，在单调递减，且令，，则所以在单调递增，又，故，又，所以，又，所以，，又在单调递增，所以所以．【点睛】关键点点睛：本题的第二问关键在于构造新函数，通过求导，层层地分析单调性，从而证明，再结合均值不等式求得结果．5．（1）若，的单调递增区间为；若，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）（i）；（ii）证明见解析.分析：（1）分类讨论含参数的函数的单调区间；（2）（i）根据函数的单调性，转化为最大值大于0，然后解不等式即可；（ii）构造函数，结合函数单调性及不等式的性质即可证得.【详解】（1）因为，则，①若，则在上恒成立，所以的单调递增区间为；②若，令，则，时，，的单调递增；时，，的单调递减；所以的单调递增区间为，单调递减区间为；综上：若，的单