2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.2等差数列的前n项和公式(精讲)(原卷版+解析)

4.2.2等差数列的前项和公式（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：等差数列前项和公式及其应用重点题型二：利用等差数列前项和公式判断重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用角度1：等差数列片段和性质角度2：比值问题（含同角标和不同角标）重点题型四：等差数列前项和的最值问题重点题型五：求数列的前项和问题重点题型六：数列求和角度1：倒序相加法角度2：裂项相消法重点题型七：数列求和在传统文化中的应用第五部分：高考（模拟）题体验第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：等差数列的前项和公式1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式知识点二：等差数列前项和公式的函数特征等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．知识点三：等差数列前项和性质(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则(4)若等差数列的项数为,则，。(5)若等差数列的项数为,则，，，第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．(2023·四川绵阳·高一期末）记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．82．(2023·四川省成都市第八中学校高一开学考试）将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层……，则第层正方体的个数是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20234．(2023·全国·高二课时练习）已知，则______．5．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列的前项和，则__________.6．(2023·全国·高三专题练习（文））已知等差数列的前n项和为，若，，则___________．第四部分：第四部分：典型例题剖析重点题型一：等差数列前项和公式及其应用典型例题例题1．(2023·安徽·高三开学考试）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．例题2．(2023·全国·高二课时练习）设数列是等差数列，公差，为其前项和，若，则首项（

）A．8 B．10 C．20 D．30例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知在等差数列中，，，，则（

）A． B． C． D．例题4．(2023·四川成都·高一期中）设是等差数列的前项和，若，．(1)求数列的通项公式；(2)求．同类题型归类练1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－1102．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（

）.A．110 B．120 C．130 D．1403．(2023·四川南充·高一期末（理））在等差数列中，已知，．(1)求的通项公式；(2)设的前n项和为，若，求n的值．重点题型二：利用等差数列前项和公式判断典型例题例题1．(2023·北京市第三中学高二期中）已知数列的前项和公式为，则数列（

）A．是公差为2的等差数列 B．是公比为2的等比数列C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知一个数列的前项和．(1)当时，求证：该数列是等差数列；(2)若数列是等差数列，求满足条件．同类题型归类练1．(2023·北京·一模）已知数列的前项和，则是（

）A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列2．（多选）（2023·江苏·高二专题练习）下列条件中能确定数列为等差数列的有（

）A．b为常数，B．为常数，C．

D．前n项和（A，B，C为常数，）重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用角度1：等差数列片段和性质典型例题例题1．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（

）．A．27 B．45 C．18 D．36例题2．(2023·全国·高二课时练习）设是等差数列的前项和为，若，，则______．例题3．(2023·全国·高三专题练习（文））设等差数列的前项和为，已知，，则___________.同类题型归类练1．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．20 B．30 C．40 D．502．(2023·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列的前n项和为．若，，则_____．角度2：比值问题（含同角标和不同角标）典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知、都是等差数列，为的前项和，为的前项和，且，则______．例题2．(2023·安徽滁州·高二期中）设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．例题3．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的项和分别为，.若对于任意的正整数都有，则（

）A． B． C． D．同类题型归类练1．(2023·全国·高二专题练习）两个等差数列和,其前项和分别为且,则等于（

）A． B． C． D．2．(2023·陕西·西安工业大学附中高一阶段练习）有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则___________.（2）若，则___________.重点题型四：等差数列前项和的最值问题典型例题例题1．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（

）A． B．52 C．54 D．55例题2．(2023·江西赣州·高二阶段练习（文））设等差数列的前项和为，且，，则当最大时，（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013例题3．（多选）(2023·重庆·西南大学附中高二期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则（

）A．数列为递增数列 B．数列为递减数列C．当时，取得最大值 D．当时，的最小值为14例题4．(2023·福建·厦门外国语学校高二期末）已知等差数列的前项和为，且，则使取得最大值的为__________．例题5．(2023·北京平谷·高二期末）已知是等差数列，，其前5项和.(1)求的通项；(2)求前项和的最大值.例题6．(2023·全国·高二）设等差数列的前项和为，已知，且，.（1）求公差的取值范围；（2）问前几项的和最大，并说明理由.同类题型归类练1．（多选）(2023·河北·石家庄二中高二期末）等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（

）A．公差 B．C．是各项中最大的项 D．是中最大的值2．（多选）(2023·广东·翠园中学高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列判断正确的是（

）A．， B．，C．数列中绝对值最小的项是 D．的最大值是3．（多选）(2023·广东·南海中学高二阶段练习）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（

）．A．数列是递增数列 B．C． D．，，…，中最大的是4．(2023·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为__________．5．(2023·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知数列为等差数列，公差，，是数列的前n项和.(1)求通项；(2)当n为多少时，有最小值？最小值是多少？6．(2023·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，已知，，.（1）求公差的取值范围；（2）指出中哪一个值最大，并说明理由.重点题型五：求数列的前项和问题典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，，求数列的前项和．例题2．(2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)求的值．例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：；

条件②：；

条件③：.）选择条件和．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，并求数列的前项的和同类题型归类练1．(2023·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前20项和．2．(2023·吉林·东北师大附中高二阶段练习）已知等差数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求．3．(2023·四川省遂宁市第二中学校高一期中（文））已知数列是等差数列，公差为，为数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式(2)求数列的前项和.重点题型六：数列求和角度1：倒序相加法典型例题例题1．(2023·全国·高二单元测试）设数列的通项公式为，该数列的前项和为，则______.例题2．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（

）A． B． C． D．同类题型归类练1．(2023·全国·高三专题练习（文））设，A．4 B．5 C．6 D．102．(2023·江西九江·高二期末（文））德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（

）A．96 B．97 C．98 D．99角度2：裂项相消法典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则数列的前项和（

）A． B． C． D．例题2．(2023·四川广安·模拟预测（理））数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.例题3．(2023·河南开封·高二期末（理））已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（

）A． B．C． D．例题4．(2023·湖南师大附中高三阶段练习）已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.(1)求数列的通项公式；(2)求证：.同类题型归类练1．(2023·江苏南通·高一开学考试）计算的值为______.2．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：(2)当时，求证：.重点题型七：数列求和在传统文化中的应用典型例题1．(2023·全国·高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤2．(2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列各项之和为（

）A．1666 B．1676 C．1757 D．26463．(2023·山东济南·三模）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，放置在n行n列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（

）A．91 B．169 C．175 D．1804．(2023·全国·高二课时练习）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根，现将它们堆放在一起．(1)若堆放成纵截面为正三角形（每一层比上一层多1根），如图1所示，并使剩余的圆钢尽可能少，则剩余了多少根圆钢？(2)若堆成纵截面为等腰梯形（每一层比上一层多1根），如图2所示，圆钢无剩余且堆放不少于七层，共有几种不同的堆放方案？第第五部分：高考（模拟）题体验1．（2023·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．122．（2023·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．3．(2023·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．4．（2023·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.4.2.2等差数列的前项和公式（精讲）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析重点题型一：等差数列前项和公式及其应用重点题型二：利用等差数列前项和公式判断重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用角度1：等差数列片段和性质角度2：比值问题（含同角标和不同角标）重点题型四：等差数列前项和的最值问题重点题型五：求数列的前项和问题重点题型六：数列求和角度1：倒序相加法角度2：裂项相消法重点题型七：数列求和在传统文化中的应用第五部分：高考（模拟）题体验第一部分：思第一部分：思维导图总览全局第二部分：知识点精准记忆第二部分：知识点精准记忆知识点一：等差数列的前项和公式1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式知识点二：等差数列前项和公式的函数特征等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．知识点三：等差数列前项和性质(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则(4)若等差数列的项数为,则，。(5)若等差数列的项数为,则，，，第三部分：课前自我评估测试第三部分：课前自我评估测试1．(2023·四川绵阳·高一期末）记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8答案：C【详解】由得故选：C2．(2023·四川省成都市第八中学校高一开学考试）将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层……，则第层正方体的个数是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】观察可得，第​层正方体的个数为​，第​层正方体的个数为​，比第​层多​个；第​层正方体的个数为​，比第​层多​个；...可得，每一层比上一层多的个数依次为​;故第​层正方体的个数​.故选：A3．(2023·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023答案：C【详解】设等差数列的首项和公差分别为，则，所以可看成关于n的二次函数，由二次函数的对称性及，，可得，解得k＝2022．故选：C4．(2023·全国·高二课时练习）已知，则______．答案：100【详解】由可知是一个等差数列，且公差为，首项为19，所以，故答案为：1005．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列的前项和，则__________.答案：11【详解】解：因为数列的前项和，所以；故答案为：6．(2023·全国·高三专题练习（文））已知等差数列的前n项和为，若，，则___________．答案：6061【详解】设等差数列的首项为，公差为d，则解得：，，所以．故答案为：6061第四部分：第四部分：典型例题剖析重点题型一：等差数列前项和公式及其应用典型例题例题1．(2023·安徽·高三开学考试）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A． B． C． D．答案：B【详解】由题意，设数列公差为，因为，解得，所以.故选：B.例题2．(2023·全国·高二课时练习）设数列是等差数列，公差，为其前项和，若，则首项（

）A．8 B．10 C．20 D．30答案：B【详解】解：由题意，即，化简得．故选：B．例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知在等差数列中，，，，则（

）A． B． C． D．答案：A【详解】因为是等差数列，，，所以，解得，则，，，，，…，构成首项为，公差为9的等差数列，则.故选：A．例题4．(2023·四川成都·高一期中）设是等差数列的前项和，若，．(1)求数列的通项公式；(2)求．答案：(1)或(2)或(1)解：设等差数列的公差为，由可得，解得或，当时，；当时，.(2)解：当时，，则；当时，.同类题型归类练1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－110答案：C【详解】，，则.故选：C2．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（

）.A．110 B．120 C．130 D．140答案：C【详解】解：设公差为d，则，所以，所以.故选：C3．(2023·四川南充·高一期末（理））在等差数列中，已知，．(1)求的通项公式；(2)设的前n项和为，若，求n的值．答案：(1)(2)12(1)由题意得，得故．(2)因为的前n项和为，所以，整理得（3n＋7）（n－12）＝0﹐故（舍去）或n＝12．重点题型二：利用等差数列前项和公式判断典型例题例题1．(2023·北京市第三中学高二期中）已知数列的前项和公式为，则数列（

）A．是公差为2的等差数列 B．是公比为2的等比数列C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列答案：A【详解】当时，，当时，，也符合上式，所以的通项公式为，故为首项是，公差为的等差数列，不是等比数列.故选：A例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知一个数列的前项和．(1)当时，求证：该数列是等差数列；(2)若数列是等差数列，求满足条件．答案：(1)证明见解析(2)(1)当时，，令，，所以时，，所以，此时，所以，所以，可得数列是公差为的等差数列.(2)，令，得，所以时，，所以，所以，可得时，数列是公差为的等差数列，若数列是等差数列，则，所以．同类题型归类练1．(2023·北京·一模）已知数列的前项和，则是（

）A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列答案：A【详解】因为，所以当时，有，，得，当时，适合上式，因为，所以该数列是以2为公差的等差数列，故选：A2．（多选）（2023·江苏·高二专题练习）下列条件中能确定数列为等差数列的有（

）A．b为常数，B．为常数，C．

D．前n项和（A，B，C为常数，）答案：AC【详解】A选项，b为常数，，，所以是等差数列，故A正确；B选项，为常数，，不一定符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，如，故B错误；C选项，，对于数列的关系式符合等差中项的形式，所以是等差数列，故C正确；D选项，前n项和（A，B，C为常数，），则当时，，两式相减得，当时，，当且仅当时，满足上式，且当时，，此时是等差数列，所以不一定是等差数列，故D错误．故选：AC．重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用角度1：等差数列片段和性质典型例题例题1．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（

）．A．27 B．45 C．18 D．36答案：B【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列，所以，所以，故选：B．例题2．(2023·全国·高二课时练习）设是等差数列的前项和为，若，，则______．答案：2【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，故答案为：2例题3．(2023·全国·高三专题练习（文））设等差数列的前项和为，已知，，则___________.答案：48【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列，所以，因为，，所以，解得，故答案为：48同类题型归类练1．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．20 B．30 C．40 D．50答案：B【详解】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选：B．2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列的前n项和为．若，，则_____．答案：42【详解】解：在等差数列中，，，成等差数列，即7，14，成等差数列，所以，解得．故答案为：42．角度2：比值问题（含同角标和不同角标）典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知、都是等差数列，为的前项和，为的前项和，且，则______．答案：2【详解】因为、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，所以，故答案为：2例题2．(2023·安徽滁州·高二期中）设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．答案：B【详解】在等差数列中，由，得，故选：B例题3．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的项和分别为，.若对于任意的正整数都有，则（

）A． B． C． D．答案：B【详解】设，，.则，，所以.故选：B.同类题型归类练1．(2023·全国·高二专题练习）两个等差数列和,其前项和分别为且,则等于（

）A． B． C． D．答案：D【详解】=.故选：D.2．(2023·陕西·西安工业大学附中高一阶段练习）有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则___________.（2）若，则___________.答案：

【详解】若，则；若，则可设，所以，，所以，故答案为：；重点题型四：等差数列前项和的最值问题典型例题例题1．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（

）A． B．52 C．54 D．55答案：D【详解】设等差数列的公差为，则，解得，故.又函数的对称轴为直线，而，故当时，取得最大值.故选：D.例题2．(2023·江西赣州·高二阶段练习（文））设等差数列的前项和为，且，，则当最大时，（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013答案：B【详解】由可得，即，由可得，即，故，则数列的前1011项为正数，从第1012项为负数的递减数列，故当最大时，1011，故选：B例题3．（多选）(2023·重庆·西南大学附中高二期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则（

）A．数列为递增数列 B．数列为递减数列C．当时，取得最大值 D．当时，的最小值为14答案：BD【详解】解：因为，且，所以，所以公差，故数列单调递减，即选项B正确，A错误；因为且，所以时，取得最大值，故C错误；因为，，所以当时，的最小值为14，即选项D正确．故选：BD．例题4．(2023·福建·厦门外国语学校高二期末）已知等差数列的前项和为，且，则使取得最大值的为__________．答案：7【详解】由题意，则，，故，等差数列，当时，取得最大值故答案为：7例题5．(2023·北京平谷·高二期末）已知是等差数列，，其前5项和.(1)求的通项；(2)求前项和的最大值.答案：(1)(2)(1)为等差数列，，，.又，即，解得，故，即(2)因为，随着的增大而减小，且，，故当或时，有最大值.例题6．(2023·全国·高二）设等差数列的前项和为，已知，且，.（1）求公差的取值范围；（2）问前几项的和最大，并说明理由.答案：（1）；（2）数列前6项和最大，理由见解析.【详解】（1）∵a3=12，∴a1=12-2d，∵S12>0，S13<0，∴，所以，所以.（2）∵S12>0，S13<0，所以，所以，所以，所以，又，所以数列前6项为正数，从第7项起为负数.∴数列前6项和最大.同类题型归类练1．（多选）(2023·河北·石家庄二中高二期末）等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（

）A．公差 B．C．是各项中最大的项 D．是中最大的值答案：ABD【详解】由得：，所以，且各项中最大的项为，故A正确，C错误；，所以，故B正确；因为，等差数列递减，所以最大，故D正确；故选：ABD2．（多选）(2023·广东·翠园中学高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列判断正确的是（

）A．， B．，C．数列中绝对值最小的项是 D．的最大值是答案：BCD【详解】因为，所以又因为，所以，所以.所以等差数列的，为递减数列，所以，故B正确，A错误.所以的最大值是，故D正确.因为，结合数列等差数列单调性，所以，即，所以数列中绝对值最小的项是，故C正确.故选：BCD3．（多选）(2023·广东·南海中学高二阶段练习）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（

）．A．数列是递增数列 B．C． D．，，…，中最大的是答案：BCD【详解】对于A、C：因为，且，所以，，又因为，所以，解得；所以等差数列是递减数列，即选项A错误，选项C正确；对于B：因为，所以，即选项C正确；对于选项D：因为等差数列是递减数列，且，，则，所以，即选项D正确.故选：BCD.4．(2023·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为__________．答案：22【详解】由已知，为等差数列的前n项和，，所以，而，所以，所以，，所以，而，所以，所，，所以，而，所以，所以，，，，所以满足的最大的正整数n的值为22.故答案为：22.5．(2023·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知数列为等差数列，公差，，是数列的前n项和.(1)求通项；(2)当n为多少时，有最小值？最小值是多少？答案：(1)(2)当时，有最小值且最小值为.(1)，故，故即.(2)当时，，当时，，当时，，故当时，有最小值且最小值为.6．(2023·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，已知，，.（1）求公差的取值范围；（2）指出中哪一个值最大，并说明理由.答案：（1）；（2）最大.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，首项为，则，由，，可得，即，，故公差的取值范围为；（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，由上可得，又，所以数列为递减数列，故中最大.重点题型五：求数列的前项和问题典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，，求数列的前项和．答案：【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，．所以．由得，即数列的前5项为正，其余各项为负．数列的前n项和．所以当时，；当时，，即．例题2．(2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)求的值．答案：(1)(2)8960（1）设等差数列的首项和公差分别为，由题意可知：，解得所以（2）由（1）知：当时，，当时，所以例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：；

条件②：；

条件③：.）选择条件和．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，并求数列的前项的和答案：(1)(2)当时，当时（1）选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知，选①③，无法确定数列.（2），其中,当，时，当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列.同类题型归类练1．(2023·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前20项和．答案：(1)；(2).(1)由，则，由，则，所以，即，故，则.(2)由（1）知：，可得，即，故时，所以.2．(2023·吉林·东北师大附中高二阶段练习）已知等差数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求．答案：(1)；(2).(1)设等差数列的公差为，则，.(2)由（1）得：，；令，解得：；当，时，；当，时，；.3．(2023·四川省遂宁市第二中学校高一期中（文））已知数列是等差数列，公差为，为数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式(2)求数列的前项和.答案：(1)(2)Tn=(1)解法一∵{an}是等差数列，公差为d，且a1+a7=-2，S3=15，∴解得a1=8，d=-3，∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11，∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).解法二∵{an}是等差数列，∴2a4=a1+a7=-2，∴a4=-1.∵S3=15，∴3a2=15，∴a2=5.∵a4=a2+2d，即-1=5+2d，∴d=-3，∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).(2)令an≥0，则-3n+11≥0，∴3n≤11，∴n≤，又n∈N*，∴当n≤3时，an>0;当n≥4时，an<0.∵a1=8，an=-3n+11，∴当n≤3时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=，当n≥4时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15-，∴Tn=重点题型六：数列求和角度1：倒序相加法典型例题例题1．(2023·全国·高二单元测试）设数列的通项公式为，该数列的前项和为，则______.答案：【详解】，.，又，两式相加得，因此，.故答案为.例题2．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（

）A． B． C． D．答案：B【详解】解：因为，且，令,又，两式相加得：，解得，故选：B同类题型归类练1．(2023·全国·高三专题练习（文））设，A．4 B．5 C．6 D．10答案：B【详解】由于，故原式.2．(2023·江西九江·高二期末（文））德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（

）A．96 B．97 C．98 D．99答案：C【详解】令，，两式相加得：，∴，故选:C．角度2：裂项相消法典型例题例题1．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则数列的前项和（

）A． B． C． D．答案：A，.故选：A.例题2．(2023·四川广安·模拟预测（理））数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.答案：【详解】设数列的前项和为，因为，所以，，解得.故答案为：.例题3．(2023·河南开封·高二期末（理））已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】因为数列中，，所以，所以，所以．因为，所以，所以．因为数列是递增数列，当时，，当时，，，所以，所以的取值范围为．故选：A．例题4．(2023·湖南师大附中高三阶段练习）已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.(1)求数列的通项公式；(2)求证：.答案：(1)(2)证明见解析（1）由题意得：，三点共线，则，可得，即.数列是首项为1公差为1的等差数列，所以.（2），所以同类题型归类练1．(2023·江苏南通·高一开学考试）计算的值为______.答案：【详解】，故答案为：2．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：(2)当时，求证：.答案：(1)证明见解析，(2)证明见解析（1）∵（且），当时，，，又，所以，，数列是以为首项，公差为1的等差数列，，所以.当时，，又满足上式，数列的通项公式为.（2）当时，，故所以对，都有.重点题型七：数列求和在传统文化中的应用典型例题1．(2023·全国·高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤答案：D【详解】设8个儿子依次分绵斤，斤，斤，…，斤，则数列是公差为17的等差数列，因为绵的总重量为996斤，所以，解得，则第八个儿子分到的绵．故选：D．2．(2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2且被