2020春人教版初中数学中考知识点梳理：第三单元 函数

第9讲平面直角坐标系与函数

一、知识清单梳理

知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例

（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系.点的坐标先读横坐标（X轴），

1.相关概念

（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对（斯），）的关系是一一对应.再读纵坐标（y轴）.

（1）各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：kJ

点P（x,y）在第一象限=x>0,y^O；:

第一家限2-第一象限

点P（x,y）在第二象限=xW0,注0;，+）］_（+，+）（1）坐标轴上的点不属于任

X

点y（x,y）在第二象限ox^u,yS。；-3-2-10123*何象限.

点。（x,y）在第四象限=x?0,y/O.差象与二■第四象限（2）平面直角坐标系中图形

-（+，~）

的平移，图形上所有点的

（2）坐标轴上点的坐标特征：

坐标变化情况相同.

①在横轴上oy=0；②在纵轴上ox=0；③原点ox=0,y=0.

（3）平面直角坐标系中求图

（3）各象限角平分线上点的坐标

2点的坐标形面积时，先观察所求图形

①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等;

是否为规则图形，若是，再

特征②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数

进一步寻找求这个图形面积

（4）点P{a,b）的对称点的坐标特征：

的因素，若找不到，就要借

①关于*釉对称的点Pi的坐标为3,一%）;②关于），轴对称的点/’2的坐标为（一〃，8）：助割补法，割补法的主要秘

③关于原点对称的点心的坐标为（一。，-b）.

诀是过点向x轴、y轴作垂

（5）点M（x,y）平移的坐标特征：

线，从而将其割补成可以直

同右平移a个4竿e位./_向_上__平_移__b_个_单__位_”_

接计算面积的图形来解决.

向左平移a个单位-向下平移b个单位―

M2（x+a,v+h）

（1）点M（a,b）到x轴，y轴的距离：到工轴的距离为回；）到丁轴的距离为图.

平行于X轴的直线上的点纵

3坐标点的（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：

坐标相等;平行于y轴的直

点陷（即,0）,此（处,0）之间的距离为国一切1，点M3，y），M2（x2,y涧的距离为比一刈；

距离问题线上的点的横坐标相笠.

点必（0,乃），M2（0,>2）间的距离为“一力1，点”G，%），“2。，”）间的距离为从一力1・

知识点二：函数

失分点警示

（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量

函数解析式，同时有几个代

叫做变量.

数式，函数自变量的取值范

（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和），，对于x的每一个值，y都有唯一确

4.函数的相关围应是各个代数式中自变量

定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数.函数的表示方法有：列表法、

的公共部分.例：函数

概念图像法、解析法.

尸&与中自变量的取值范

（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为雯；二次

根式的被开方数为韭鱼数：使实际问题有意义.

围是x2-3且xW5.

（1）分析实际问题判断函数图象的方法：读取函数图象增减性的技

巧：①当函数图象从左到右

①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；

呈“上升”（“下降，，）状态时，

②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；

£函数的图象函数y随x的增大而增大（减

③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.

小）；②函数值变化越大，图

（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：

象越陡峭；③当函数y值始

①设时间为t（或线段长为X）,找因变量与t（或X）之间存在的函数关系，用含t（或X）的终是同一个常数，那么在这

式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.个区间上的函数图象是一条

平行于X轴的线段.

第10讲一次函数

二、知识清单梳理

知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例

（1）概念：一般来说，形如y=h+双原0）的函数叫做一次函数.特别地，当b=0

时，称为正比例函数.例：当％=_|_时，函数y=Ax+k—

一次函数的

（2）图象形状：一次函数是一条经过点（0也）和（她,0）的直线.特别地，1是正比例函数，

相关概念正比例函数y=右的图象是一条恒经过点的直线.

k,bK>0,K>0,K>O,b=Ok<0,K0,k<0,（1）一次函数y=kx+b中，k确

符号

b>0b<0b>0工b=0定了倾斜方向和倾斜程度，b确定

y.

大致不心了与y轴交点的位置.

二

图象（2）比较两个一次函数函数值的

2.一次函数

大小：性质法，借助函数的图象，

的性质经过、一.、、—.、、二、四也可以运用数值代入法.

象限四四四例：已知函数产-2x+〃，函数值

图象y随x的增大而增大y随x的增大而减小），随X的增大而减小（填"增大''或

性质“减小”）.

（1）交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=&解出X即可；求与y轴的交点，例：

3一次函数与只需令x=@,求出y即可.故一次函数y=h+/原0）的图象与x轴的交点是一次函数y=x+2与x轴交点的

（一£0），与y轴的交点是（0,加；坐标是（-2,0）,与y轴交点的坐

坐标轴交

标是（0,2）.

点坐标

（2）正比例函数（后0）的图象恒过点（0,0）.

知识点二：确定一次函数的表达式

（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：（1）确定一次函数的表达式需要两

①设：设函数表达式为y=Ax+〃（原0）；组条件，而确定正比例函数的表

②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；

达式，只需一组条件即可.

4.确定一次函③解：求出％与b的值，得到函数表达式.

（2）只要给出一次函数与y轴交点

（2）常见类型：

数表达式坐标即可得出b的值,b值为其纵

①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；

的条件坐标，可快速解题.如:已知一次

③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1）,则可设要

函数经过点（0,2）,则可知b=2.

求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.

规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们例：将一次函数y=-2x+4的图象

5一次函数图

的k值相同.向下平移2个单位长度，所得图

象的平移②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.象的函数关系式为y=~2x+2.

知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系

例：

6.一次函数与方一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，kWO）的图象与x

（1）已知关于x的方程ax+b=O

轴交点的横坐标.

程的解为x=l,则函数y=ax+b与x

二元一次方程组j丫=Kx+b的解O两个一次函数y=Lx+b和y=kx+b图象的交轴的交点坐标为（1,0）.

7一次函数与方2

点坐标.ly=k2x+b（2）一次函数y=-3x+12中，当x

程组时，y的值为负数.

(1)函数y=kx+b的函数值y>0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b>0的

解集

8.一次函数与

(2)函数y=kx+b的函数值y<0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b<0的

不等式解集

知识点四：一次函数的实际应用

(1)设出实际问题中的变量；

9.一般步骤一次函数本身并没有最值，但

(2)建立一次函数关系式；

在实际问题中，自变量的取值

(3)利用待定系数法求出一次函数关系式；

往往有一定的限制，其图象为

(4)确定自变量的取值范围；

射线或线段.涉及最值问题的

(5)利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义：

一般思路：确定函数表达式一

(6)做答.

确定函数增减性f根据自变

(1)求一次函数的解析式.

10.常见题型量的取值范围确定最值.

(2)利用一次函数的性质解决方案问题.

第11讲反比例函数的图象和性质

三、知识清单梳理

知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例

(1)定义：形如>=§(七0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的

例：函数y=3xm+l当皿=二2时，则该

1.反比例函取值范围是韭重的一切实数.函数是反比例函数.

(2)形式：反比例函数有以下三种基本形式：

数的概念

①②丫=1^";③xy=k.(其中k为常数，且kWO)

发的符号图象经过象限y随x变化的情况(1)判断点是否在反比例函数图象上

的方法：①把点的横、纵坐标代入看是

否满足其解析式；②把点的横、纵坐标

fc>0y图象经过第每个象限内，函数y的值

一、三象限随X的增大而减小.相乘，判断其乘积是否等于k.

2.反比例函

失分点警示

0.(x、y同号)

数的图象(2)反比例函数值大小的比较时，首

和性质V每个象限内，函数)，的值先要判断自变量的取值是否同号，即是

N0J图象经过第

二、四象限随X的增大而增大.否在同一个象限内，若不在则不能运用

O

r(x、y异号)性质进行比较，可以画出草图，直观地

判断.

(1)由两条曲线组成，叫做双曲线；例：若(a,b)在反比例函数y=士的图

3.反比例函(2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；

X

数的图象(3)图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分象上,WJ(-a,-b)在该函数图象上.(填

特征别是平面直角坐标系-、三象限和二、四象限的角平分线.“在"、"不在")

只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数例：已知反比例函数图象过点(一3,

4.待定系数

k即可.一1),则它的解析式是y=3/x.

法

知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合

(1)意义：从反比例函数)，=5(原0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线失分点警示

已知相关面积，求反比例函数的表达

与坐标轴所围成的矩形面积为双以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的式，注意若函数图象在第二、四象限，

面积为l/2|k|.贝!1k<0.

5.系数k的(2)常见的面积类型：例：已知反比例函数图象上任一点作坐

标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比

几何意义

例函数解析式为：卜=2或丫=—2.

/4；弋；、产办____x______x_

1

Sm尸寸kS—BO产1k1SaABCD=1k15AA.=1%1(OA=AC)

(1)确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为(a.b),则根据中心对称性，涉及与面积有关的问题时，①要善于把

可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式，利用方程点的横、纵坐标转化为图形的边长，对

思想求解.于不好直接求的面积往往可分割转化

6.与一次函

(2)确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函为较好求的三角形面积；②也要注意系

数的综合数解析式中求解数k的几何意义.

(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，

可采用假设法，分k>0和k<0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.例：如图所示，三个阴影部分的面积按

也可逐一选项判断、排除.从小到大的顺序排列为：SAAOC^SAOPE

（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方

的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.

知识点三：反比例函数的实际应用

（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；

7.一般步（2设出函数表达式；

（3）依题意求解函数表达式；

骤

（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.

第12讲二次函数的图象与性质

四、知识清单梳理

知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例

例：如果函数尸(〃一I)%2是二

/.一次函

形如>=以2+饭+。伍，b,c是常数，，印0)的函数，叫做二次函数.次函数，那么。的取值范围是

数的定义W0.

(1)三种解析式：①一般式：y=ax?+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a^0),其若已知条件是图象上的三个

中二次函数的顶点坐标是(h,k);③交点式：y=a(x-xi)(x-X2),其中xi,X2为点或三对对应函数值，可设一

抛物线与X轴交点的横坐标.般式；若已知顶点坐标或对称

.解析式

2(2)待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系轴方程与最值，可设顶点式；

数的方程(组)；解方程(组)，求出待定系数的值，从而求出函数的解析若已知抛物线与X轴的两个交

式.点坐标，可设交点式.

知识点二：二次函数的图象与性质

(1)比较二次函数函数值大

图象Vy小的方法：①直接代入求值

/。\法；②性质法：当自变量在对

2

y=ax+bx+c(a>0)y=aAT--¥hx+c{a<0)称轴同侧时，根据函数的性质

判断；当自变量在对称轴异侧

开口向上向工时，可先利用函数的对称性转

对称b化到同侧，再利用性质比较；

3.二次函x=-----

轴R2a④图象法：画出草图，描点后

数的图象比较函数值大小.

(b4ac-b2y

和性质12/4aJ失分点警示

(2)在自变量限定范围求二

当X>__L时,y随X的增大而增大；当x>时，)，随X的增大而减小；次函数的最值时，首先考虑对

增减

2a2a-称轴是否在取值范围内，而不

性

当占时，V随X的增大而减小.当x<时，y随x的增大而增大.能盲目根据公式求解.

2a2a

例：当0WxW5时，抛物线

21

b4ac-bb_4QC-hy=x2+2x+7的最小值为2_.

最值x-----y最小.x=----y班大J.

2a,4a2a,4。

决定抛物线的开口方当a>0时，抛物线开口向上；某些特殊形式代数式的符号：

a

向及开口大小当“V0时，抛物线开口向下.①a±b+c即为x=±l时,y

当a,6同号，-b/2aV0,对称轴在y轴左边；的值；②4a土2b+c即为x=±

a、b决定对称轴(x=-b/2a)

当b=0时，-b/2a=0,对称轴为y轴；

的位置2时，y的值.

当。，方异号，-b/2a>0,对称轴在)，轴右边.

3.系数〃、③2a+b的符号，需判断对称

当c>0时，抛物线与)，轴的交点在正半轴上；

决定抛物线与)，轴的交

c当c=0时，抛物线经过原点；轴-b/2a与］_的大小.若对称轴

b、c点的位置

当cVO时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.在直线x=l的左边，则-b/2a

/一4碇>0时，抛物线与x轴有2个交点；>1,再根据a的符号即可得

h2~决定抛物线与X轴的交

b2~4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；出结果.④2a-b的符号，需判断

4ac点个数

〃一44<0时，抛物线与x釉没有交点对称轴与工的大小.

知识点三：二次函数的平移

失分点警示：

产解，向左或向右（〃＞"■＞产心_；1M上伙＞0）或向下（yo）、尸心_方+后抛物线平移规律是“上加下减，左

4.平移与解的图象平移同个单位"的图象'平移固个单位4的图象

加右减”，左右平移易弄反.

析式的关例：将抛物线y