人教A版普通高中数学一轮复习第六章第三节直线、平面平行的判定与性质学案

第三节直线、平面平行的判定与性质考试要求：1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的定义，归纳出有关平行的性质定理和判定定理，并加以证明．2．掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．自查自测知识点一直线与平面平行的判定定理和性质定理判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)若一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行．(√)(2)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行．(×)(3)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的无数条直线．(√)(4)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的所有直线．(×)核心回扣1．判定定理：文字语言：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．符号表示：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.2．性质定理：文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b．注意点：应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须同时具备，缺一不可．应用性质定理时要体会辅助面的作用．自查自测知识点二平面与平面平行的判定定理和性质定理1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(×)(2)若直线a∥平面α，a∥平面β，则α∥β.(×)(3)如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行．(×)2．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为．平行四边形解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．核心回扣1．判定定理：如果两个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．符号表示：a，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β.2．性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.注意点：判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：(1)平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.(2)两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.【常用结论】1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.5．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．6．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行．应用1(多选题)下列命题中，真命题为()A．若α，β都垂直于平面γ，则α∥βB．若α，β都平行于平面γ，则α∥βC．若α，β都垂直于直线l，则α∥βD．若l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α∥βBCD解析：易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故A错误．由平面平行的传递性可知B正确．由常用结论1可知C正确．过直线l作平面γ与α，β分别交于l1，l2，过直线m作平面δ与α，β分别交于m1，m2(图略)．因为l∥α，l∥β，所以l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2.因为l1⊄β，l2⊂β，所以l1∥β.同理m1∥β，又l，m是两条异面直线，所以l1，m1相交，且l1⊂α，m1⊂α，所以α∥β，故D正确．应用2如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外一点，且直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和点C，D．若PA＝4，AB＝5，PC＝3，则PD＝．274解析：由题意可知，平面PBD∩α＝AC，平面PBD∩β＝BD．因为平面α∥平面β，所以AC∥BD，因此有PAPB＝PCPD，所以44+5＝3PD直线、平面平行的基本问题1．(多选题)已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题正确的是()A．a∥c，b∥c⇒a∥bB．a∥β，b∥β⇒a∥bC．a∥c，c∥α⇒a∥αD．a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥αAD解析：由平行的传递性知a∥b，故A正确；若a∥β，b∥β，则a，b共面或异面，故B错误；若a∥c，c∥α，则a∥α或a⊂α，故C错误；由a⊄α，b⊂α，a∥b，根据线面平行的判定定理，可得a∥α，故D正确．2．(2024·烟台模拟)设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α，β垂直于同一个平面C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一条直线D解析：α内有无数条直线与β平行推不出α∥β，故A不符合题意；由α，β垂直于同一个平面，可得α∥β或α与β相交，故B不符合题意；由α，β平行于同一条直线，可得α∥β或α与β相交，故C不符合题意；α，β垂直于同一条直线⇔α∥β，故D符合题意．3．已知三条不重合的直线l，m，n和三个不重合的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3 B．2C．1 D．0C解析：两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①错误；两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误；因为l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，所以由线面平行的性质定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正确．因此真命题的个数为1.解决有关平行关系的注意点(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中，条件“线在面外”易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)可举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．直线、平面平行的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点．(1)当M为PD的中点时，求证：MN∥平面PAB；(2)当PB∥平面AMN时，求出点M的位置，并说明理由．证明：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，取AP的中点E，连接EM，EB，如图．在△PAD中，M，E分别为PD，AP的中点，所以EM∥AD，EM＝12AD．在平行四边形ABCD中，N为BC的中点，所以BN∥AD，BN＝12所以BN∥ME，BN＝ME，所以四边形BNME为平行四边形，所以MN∥BE.又因为MN⊄平面PAB，BE⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB．(2)解：连接BD交AN于点O，连接OM，如图．因为PB∥平面AMN，平面PBD∩平面AMN＝OM，PB⊂平面PBD，所以PB∥OM，故PMMD＝OBOD＝BNAD即当PB∥平面AMN时，点M为线段PD上靠近点P的三等分点．解决线面平行问题的关键点(1)利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找出平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否存在直线与已知直线平行，若不存在，则需作出该直线，常考虑作三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一个平面找其交线．(2)线面平行的性质定理是空间图形中产生线线平行的主要途径，常用于作截面．1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱A1C1，BC的中点，下列结论不正确的是()A．CC1∥平面A1ABB1B．AF∥平面A1B1C1C．EF∥平面A1ABB1D．AE∥平面B1BCC1D解析：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，可得CC1∥AA1，AA1⊂平面A1ABB1，CC1⊄平面A1ABB1，所以CC1∥平面A1ABB1，故A正确．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，可得平面ABC∥平面A1B1C1，且AF⊂平面ABC，所以AF∥平面A1B1C1，故B正确．如图，取A1B1的中点N，连接BN，NE，因为E是棱A1C1的中点，所以NE∥C1B1，且NE＝12C1B1.又因为F是棱BC的中点，所以BF＝12C1B1，BF∥C1B1，所以BF∥NE，BF＝NE，所以四边形BFEN是平行四边形，所以EF∥BN.因为BN⊂平面A1ABB1，EF⊄平面A1ABB1，所以EF∥平面A1ABB因为EC1∥AC，且EC1≠AC，所以AE与CC1相交，设交点为M.因为CM⊂平面B1BCC1，所以AE与平面B1BCC1不平行，故D错误．2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于，平面A1B1C1D1内与EF平行的线段是．2A1C1解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22.因为E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为CD的中点，所以EF＝12AC＝2因为AC∥A1C1，所以EF∥A1C1.面面平行的判定与性质及平行关系的综合问题考向1面面平行的判定与性质【例2】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．(1)求证：BC∥GH；(2)若E，F，G分别为AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.证明：(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.因为平面BCHG∩平面ABC＝BC，平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，所以BC∥GH.(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC．因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB，A1B1＝AB，所以A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB．因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.[变式]本例(2)中，若把“E，F，G分别为AB，AC，A1B1的中点”改为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D．证明：如图，连接A1C交AC1于点M，连接MD．因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点．因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1.因为DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1.因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．考向2平行关系的综合问题【例3】如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，截面是平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．(1)证明：因为四边形EFGH是平行四边形，所以EF∥HG.因为HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD．因为EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB．因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.同理可证CD∥平面EFGH.(2)解：设EF＝x(0＜x＜4)．因为EF∥AB，FG∥CD，所以CFCB＝x4，FGCD＝BFBC＝所以FG＝6－32x因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH的周长C＝2x+6−32x因为0＜x＜4，所以8＜C＜12，即四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”．1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，若点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，则ADDC＝1解析：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O.所以A1D1D1C1＝A1OOB＝1，即D1为线段A1C1的中点，同理可得AD12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．(1)求证：平面MNQ∥平面PCD．(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出PEPD(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC．因为NQ⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，MQ⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD．因为NQ∩MQ＝Q，NQ，MQ⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PCD．(2)解：存在点E，使得MN∥平面ACE，且PEPD＝1如图，取PD的中点E，连接AE，NE，CE.因为N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，所以NE∥AD，NE＝12AD，MC＝1因为BC∥AD，BC＝AD，所以NE∥MC，NE＝MC，所以四边形MCEN是平行四边形，所以MN∥CE.因为MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，所以MN∥平面ACE，且PEPD＝1课时质量评价(三十四)1．如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点．若EF∥平面PBC，则()A．EF∥PA B．EF∥PBC．EF∥PC D．以上均有可能B解析：由线面平行的性质定理可知EF∥PB．2．(多选题)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是()A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂βB．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥lC．若m⊥α，l⊥m，则l∥αD．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥lAD解析：若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β，故A正确；若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l或l，m异面，故B错误；若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，故C错误；由线面平行的性质定理知D正确．3．(多选题)已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的两条直线AC，BD分别交α于点A，B，交β于点C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为()A．20 B．16C．12 D．4AD解析：因为过点P的两条直线AC，BD确定的平面交α于AB，交β于CD，且平面α∥平面β，所以AB∥CD．分两种情况：当点P在两平行平面之外时，PC＝AC＋PA＝15，PAPC＝ABCD，所以当点P在两平行平面之间时，PC＝AC－PA＝3，APPC＝ABCD，所以4．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为()A．2 B．2C．22 D．23C解析：因为直线PD与平面CEF交于点H，所以平面CEF∩平面PCD＝CH.因为EF∥平面PCD，所以EF∥CH.过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，如图所示．因为EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，所以平面AEF∥平面CHM.因为平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，所以AE∥CM.又BC∥AM，所以四边形ABCM为平行四边形，所以AM＝BC＝2.又AD＝4，所以M是AD的中点，则H为PD的中点，所以CH＝CM2+MH25．如图，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB，则四边形EFGH的形状为．矩形解析：因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形．又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四边形EFGH为矩形．6．如图，正方形ABCD和直角梯形ABEF不在同一个平面内，AF∥BE，∠ABE＝90°，AF＝1，BE＝2，P是BE的中点，则平面DEF与平面PAC的位置关系为．平行解析：设AC∩BD＝O，连接OP，如图．因为O，P分别为BD，BE的中点，所以OP∥DE.因为DE⊄平面PAC，OP⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC．因为P是BE的中点，BE＝2，所以PE＝AF＝1.因为AF∥BE，所以四边形APEF是平行四边形，所以AP∥EF.因为EF⊄平面PAC，AP⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC．因为DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PAC．7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD，SC的中点，求证：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB．因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以EG∥平面BDD1B1.(2)如图，连接SD，因为F，G分别是CD，SC的中点，所以FG∥SD．因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1.由(1)知EG∥平面BDD1B1，又因为EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.8．(2024·南宁模拟)在三棱锥D-ABC中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，以下与直线MN平行的是()A．直线CD B．平面ABDC．平面ACD D．平面BCDB解析：如图，取CD的中点为E，连接AE，BE.由M，N分别是△ACD和△BCD的重心，可得AMME＝21，BNNE＝21，则EMEA＝13，ENEB＝13因为CD与AB不平行，故A错误．因为MN∥AB，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以MN∥平面ABD，故B正确．因为M∈平面ACD，N∉平面ACD，所以MN与平面ACD不平行，故C错误．因为N∈平面BCD，M∉平面BCD，所以MN与平面BCD不平行，故D错误．9．如图，已知点E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有()A．0条 B．1条C．2条 D．无数条D解析：如图，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E分别交平面KSHG于点N，M，连接MN.由面面平行的性质得MN∥平面ABCD．由于平面KSHG有无数多个，所以平行于平面ABCD的MN有无数多条．10．(多选题)如图，这是四棱锥P-ABCD的平面展开图，其中四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分别是PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中，下列结论中正确的有()A．平面EFGH∥平面ABCDB．EF∥平面BDGC．EF∥平面PBCD．FH∥平面BDGACD解析：将平面展开图还原成四棱锥，如图．显然B不正确．因为F，H分别为PD，PB的中点，所以FH∥BD，BD⊂平面BDG，FH⊄平面BDG，所以FH∥平面BDG，故D正确．因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD．因为BC∥AD，所以EF∥BC．因为BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，所以EF∥平面PBC，故C正确．由EF∥AD，AD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．同理可得EH∥平面ABCD，而EH∩EF＝E，EH，EF⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确．11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M，N在正方体的表面上运动，分别满足：AM＝2，AN∥平面BDC1.设点M，N的运动轨迹的长度分别为m，n，则mn＝2π4解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D因为点M，N在正方体的表面上运动，AM＝2，所以点M的轨迹为半径为2的球A与正方体表面的交线，即3个半径为2的四分之一圆弧，故m＝3×14×2π×在正方体中，AD1∥BC1，AB1∥DC1，AD1∩AB1＝A，DC1∩BC1＝C1，AD1，AB1⊂平面AB1D1，DC1，BC1⊂平面BDC1，故平面AB1D1∥平面BDC1.当点N在△AB1D1的三条边上运动时，满足AN∥平面BDC1，故n＝3×22＝62，