高考数学二轮复习专题五函数与导数微专题12函数中的构造思想课件

微专题12函数中的构造思想微专题12函数中的构造思想

题型一构造函数研究函数的单调性例1已知函数f(x)=

x2-ax+(a-1)lnx,1<a<5,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有

>-1.证明令g(x)=f(x)+x=

x2-ax+(a-1)lnx+x,1<a<5,则g'(x)=x-a+

+1≥2

+1-a=1-

,因为1<a<5,所以g'(x)>0,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,从而当x1>x2>0时有g(x1)>g(x2),即f(x1)+x1>f(x2)+x2,f(x1)-f(x2)>-(x1-x2),则

>-1.【方法归纳】

一些不等式的证明或者大小比较的实质是函数单调性的应

用,即对要证明的不等式或比较大小的代数式分析,找出共同特征,由此构造

新函数,再利用新函数的单调性研究问题.1-1设函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,都有f'(x)>f(x)成立,则3f(ln2)与

2f(ln3)的大小关系是

.答案2f(ln3)>3f(ln2)解析令g(x)=

,则有g'(x)=

>0,所以g(x)在R上单调递增,则g(ln3)>g(ln2),即

>

,即2f(ln3)>3f(ln2).1-2若定义在

上的函数f(x),其导函数是f'(x),且f(x)<f'(x)tanx成立,则

f

与f

的大小关系是

.答案

f

>f

解析令g(x)=cosxf(x),则g'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx=cosx[f'(x)-f(x)tanx]<0在

上恒成立,则g(x)在

上单调递减,∴g

>g

,即cos

f

>cos

·f

,

f

>

f

,即

f

>f

.题型二构造函数解不等式例2(1)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f

(x)g'(x)>0,且g(1)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是

.(2)设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f'(x),且有f(x)+xf'(x)<

x,则不等式(x+2018)f(x+2018)+2f(-2)>0的解集为

.答案(1)(-∞,-1)∪(0,1)(2)(-∞,-2020)解析(1)令F(x)=f(x)g(x),则当x<0时,F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,则F(x)为增函

数,又由f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(x)为奇函数,又由g

(1)=0得F(1)=0,结合F(x)的图象可得F(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).(2)令F(x)=xf(x),则F'(x)=f(x)+xf'(x)<x<0,则F(x)在(-∞,0)上是减函数,(x+2018)f

(x+2018)+2f(-2)>0⇔(x+2018)f(x+2018)>-2f(-2),即F(x+2018)>F(-2),则x+20

18<-2,x<-2020,故不等式的解集为(-∞,-2020).【方法归纳】

利用导数公式、运算法则的逆向应用构造函数,结合导数与

函数单调性的关系研究函数的单调性,利用函数奇偶性的定义研究奇偶性,画

出新函数的大致图象,再利用图象解不等式.2-1设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf'(x)>0,则不等式f(

)>

f(

)的解集为

.答案[1,2)解析令F(x)=xf(x),则F'(x)=f(x)+xf'(x)>0,则F(x)是R上的递增函数,所以f

(

)>

f(

)⇔

f(

)>

f(

),即F(

)>F(

),则

>

,x<2,故解集是[1,2).2-2已知f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数f'(x)满足f'(x)>1,且f(2)=3,则

关于x的不等式f(x)<x+1的解集为

.答案(-∞,2)解析因为f'(x)>1⇒(f(x)-x)'>0,所以函数g(x)=f(x)-x递增,且g(2)=f(2)-2=1,所

以不等式f(x)<x+1即为g(x)<g(2),解得x<2.2-3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,当x>0时,

>0成立,则不等式f(x)>0的解集是

.答案(-1,0)∪(1,+∞)解析令g(x)=

(x≠0),则g'(x)=

>0在(0,+∞)上恒成立,则g(x)在(0,+∞)上递增,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,则g(x)是定义域上的偶函数,

f(1)=0,则g(-1)=g(1)=0,作出g(x)的大致图象如图,由图可得不等式f(x)>0的解

集是(-1,0)∪(1,+∞).

2-4设函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),且f'(x)>f(x),且f(3)

=1,则不等式f(x)>ex-3的解集为

.解析令g(x)=

,则g'(x)=

>0,g(x)在R上是递增函数,∵f(3)=1,∴f(x)>ex-3⇔

>

⇔g(x)>g(3),则x>3,故不等式f(x)>ex-3的解集为(3,+∞).题型三构造函数求解不等式恒成立问题例3已知函数f(x)=(lnx-k-1)x(k∈R).(1)若对于任意x∈[e,e2],都有f(x)<4lnx成立,求k的取值范围;(2)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1x2<e2k.解析(1)由题意得,已知条件可转化为不等式(x-4)lnx-(k+1)x<0对于x∈[e,e2]恒成立,即k+1>

对于x∈[e,e2]恒成立.令g(x)=

,则g'(x)=

,令t(x)=4lnx+x-4,x∈[e,e2],则t'(x)=

+1>0,所以t(x)在区间[e,e2]上单调递增,故t(x)min=t(e)=e-4+4=e>0,故g'(x)>0,所以g(x)在区间[e,e2]上单调递增,所以g(x)max=g(e2)=2-

.所以k+1>2-

,即实数k的取值范围为

.(2)证明:易知函数f(x)在区间(0,ek)上单调递减,在区间(ek,+∞)上单调递增,且f

(ek+1)=0.不妨设x1<x2,则0<x1<ek<x2<ek+1,要证x1x2<e2k,只需证x2<

,即证ek<x2<

.因为f(x)在区间(ek,+∞)上单调递增,又f(x1)=f(x2),所以证明f(x1)<f

即可,构造函数h(x)=f(x)-f

=(lnx-k-1)x-

,即h(x)=xlnx-(k+1)x+e2k

,x∈(0,ek).则h'(x)=lnx+1-(k+1)+e2k

=(lnx-k)

,因为x∈(0,ek),所以lnx-k<0,x2<e2k,即h'(x)>0,所以函数h(x)在区间(0,ek)上单调递增,故h(x)<h(ek),而h(ek)=f(ek)-f

=0,故h(x)<0,所以f(x1)<f

,即f(x2)=f(x1)<f

,所以x1x2<e2k成立.【方法归纳】

已知不等式恒成立求参数的取值范围问题的常用方法是分

离参数法和构造函数法,在无法使用参数分离法时,一般利用构造函数法求

解,将不等式f(x)≥g(x)变形为不等式f(x)≥0型,一般情况下,设F(x)=f(x)-g(x),再

转化为F(x)min≥0,x∈D(D为恒成立区间),求解含参函数y=F(x),x∈D的最小值,

使其满足F(x)min≥0,x∈D,进而总结出所求参数的取值范围.需要注意的是,构

造新函数时要遵循新函数性质较易研究的原则,比如在不等式两边变形后再

构造新函数.3-1已知函数f(x)=ex,g(x)=ax2+bx+1(a,b∈R).(1)当a=1时,求函数h(x)=

的单调减区间;(2)当a=0时,若f(x)≥g(x)对任意的x∈R恒成立,求b的取值集合.解析(1)由a=1,得h(x)=

,所以h'(x)=

=-

.由h'(x)=0,得x1=1,x2=1-b.所以当b>0时,函数h(x)的单调减区间为(-∞,1-b),(1,+∞);当b=0时,函数h(x)的单调减区间为(-∞,+∞);当b<0时,函数h(x)的单调减区间为(-∞,1),(1-b,+∞).(2)令φ(x)=f(x)-g(x),当a=0时,φ(x)=ex-bx-1,所以φ'(x)=ex-b.①当b≤0时,φ'(x)>0,函数φ(x)在R上单调递增.又φ(0)=0,所以x∈(-∞,0)时,φ(x)<0,即f(x)<g(x).②当b>0时,由φ'(x)>0,得x>lnb;由φ'(